Često domaći majstor mora pronaći središte kruga ili okruglog dijela. Već sam pisao o jednom od načina rješavanja ovog problema u članku "kako pronaći centar kruga". Ali ima jedan značajan nedostatak - potrebno je precizno pronaći sredinu tetive i iz nje precizno konstruirati okomicu.

Srećom, postoji još jedna metoda za precizno pronalaženje centra kruga koja ne zahtijeva nikakva precizna mjerenja. Zasniva se na jednostavnom principu da ako je pravokutni trokut upisan u krug, tada će njegova hipotenuza (najduža stranica) biti promjer ovog kruga ili obima.

To potvrđuje i činjenica da je zbir uglova trougla 180 stepeni. I cijeli krug je 360 ​​stepeni. I svaki pravougaonik čija je hipotenuza jednaka prečniku kruga biće pravougaonik. I obrnuto - bilo koji pravougli trokut sa hipotenuzom predstavlja prečnik kružnice.

A šta će nam preciznije dati centar kružnice, ako ne presek dva prečnika kružnice?

Najlakši način da koristite pravi ugao kao „izvor“ je da uzmete list papira za pisanje. U fabrikama papira seku se sa velikom preciznošću. Možete koristiti stranicu iz časopisa itd.

Na okrugli dio stavljamo list papira tako da jedan od njegovih uglova bude na obodu ili rubu kruga. I označavamo tačke u kojima list dolazi u kontakt sa ostalim ivicama kruga. Označavamo ove tačke.

Nacrtajte pravu liniju između označenih tačaka. Udaljenost između njih je promjer ovog kruga. Odrežemo višak papira i nacrtamo ravnu liniju na dijelu - promjeru.

Dovoljno je da pomaknemo naš trokut na drugu poziciju i nacrtamo drugi prečnik kruga, a zatim u tački preseka prečnika dobićemo željeno središte kruga...

Dakle, bez apsolutno ikakvih mjerenja, možemo pronaći centar bilo kojeg kruga.

Pravougaonik je četverougao u kojem je svaki ugao pravi.

Dokaz

Svojstvo se objašnjava djelovanjem karakteristike 3 paralelograma (to jest, \ugao A = \ugao C , \ugao B = \ugao D )

2. Suprotne strane su jednake.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Suprotne strane su paralelne.

AB \paralelni CD,\enrazmak BC \paralelni AD

4. Susjedne strane su okomite jedna na drugu.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. Dijagonale pravougaonika su jednake.

AC = BD

Dokaz

Prema imovina 1 pravougaonik je paralelogram, što znači AB = CD.

Dakle, \trougao ABD = \trougao DCA na dva kraka (AB = CD i AD - zglob).

Ako su obje figure ABC i DCA identične, onda su i njihove hipotenuze BD i AC identične.

Dakle AC = BD.

Od svih figura (samo od paralelograma!), samo pravougaonik ima jednake dijagonale.

Dokažimo i ovo.

ABCD je paralelogram \Rightarrow AB = CD, AC = BD po uslovu. \Rightarrow \triangle ABD = \troangle DCA već sa tri strane.

Ispada da je \ugao A = \ugao D (kao uglovi paralelograma). I \ugao A = \ugao C, \ugao B = \ugao D.

To zaključujemo \ugao A = \ugao B = \ugao C = \ugao D. Svi su 90^(\circ) . Ukupno - 360^(\circ) .

Dokazano!

6. Kvadrat dijagonale jednak je zbiru kvadrata njene dvije susjedne strane.

Ovo svojstvo je tačno zbog Pitagorine teoreme.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Dijagonala dijeli pravougaonik na dva identična pravougaona trougla.

\trougao ABC = \trougao ACD, \enrazmak \trougao ABD = \trougao BCD

8. Tačka presjeka dijagonala ih dijeli na pola.

AO = BO = CO = DO

9. Točka presjeka dijagonala je centar pravougaonika i opisane kružnice.

10. Zbir svih uglova je 360 ​​stepeni.

\ugao ABC + \ugao BCD + \ugao CDA + \ugao DAB = 360^(\circ)

11. Svi uglovi pravougaonika su pravi.

\ugao ABC = \ugao BCD = \ugao CDA = \ugao DAB = 90^(\circ)

12. Prečnik kružnice opisane oko pravougaonika jednak je dijagonali pravougaonika.

13. Uvijek možete opisati krug oko pravougaonika.

Ovo svojstvo je tačno zbog činjenice da je zbir suprotnih uglova pravougaonika 180^(\circ)

\ugao ABC = \ugao CDA = 180^(\circ),\enspace \ugao BCD = \ugao DAB = 180^(\circ)

14. Pravougaonik može sadržavati upisan krug i samo jedan ako ima jednake dužine stranica (u pitanju je kvadrat).

Video kurs „Osvoji A“ obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci prvog dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

4. Formula za polumjer kružnice, koja je opisana oko pravokutnika kroz dijagonalu kvadrata:

5. Formula za polumjer kružnice, koja je opisana oko pravokutnika kroz prečnik kružnice (opisana):

6. Formula za poluprečnik kružnice, koja je opisana oko pravougaonika kroz sinus ugla koji je susedan dijagonali, i dužinu stranice suprotne ovom uglu:

7. Formula za poluprečnik kružnice, koja je opisana oko pravougaonika kroz kosinus ugla koji je susedan dijagonali, i dužinu stranice ovog ugla:

8. Formula za polumjer kružnice, koja je opisana oko pravokutnika kroz sinus oštrog ugla između dijagonala i površine pravokutnika:

Ugao između stranice i dijagonale pravougaonika.

Formule za određivanje ugla između stranice i dijagonale pravokutnika:

1. Formula za određivanje ugla između stranice i dijagonale pravougaonika kroz dijagonalu i stranicu:

2. Formula za određivanje ugla između stranice i dijagonale pravougaonika kroz ugao između dijagonala:

Ugao između dijagonala pravokutnika.

Formule za određivanje ugla između dijagonala pravokutnika:

1. Formula za određivanje ugla između dijagonala pravougaonika kroz ugao između stranice i dijagonale:

β = 2α

2. Formula za određivanje ugla između dijagonala pravougaonika kroz površinu i dijagonale.