Például az egyenlőtlenség a \(x>5\) kifejezés.

Az egyenlőtlenségek típusai:

Ha \(a\) és \(b\) számok vagy , akkor az egyenlőtlenség meghívásra kerül számszerű. Valójában ez csak két szám összehasonlítása. Az ilyen egyenlőtlenségek fel vannak osztva hűségesÉs hűtlen.

Például:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

A \(17+3\geq 115\) egy helytelen numerikus egyenlőtlenség, mivel a \(17+3=20\) és a \(20\) kisebb, mint \(115\) (és nem nagyobb vagy egyenlő) .

Ha \(a\) és \(b\) változót tartalmazó kifejezések, akkor van egyenlőtlenség változóval. Az ilyen egyenlőtlenségeket a tartalomtól függően típusokra osztják:

Mi a megoldás az egyenlőtlenségre?

Ha a változó helyett egy számot behelyettesítünk egy egyenlőtlenségbe, az numerikussá válik.

Ha egy adott x érték az eredeti egyenlőtlenséget valódi numerikussá változtatja, akkor azt hívjuk megoldás az egyenlőtlenségre. Ha nem, akkor ez az érték nem megoldás. És hogy megoldani az egyenlőtlenséget– meg kell találnia az összes megoldást (vagy meg kell mutatnia, hogy nincs).

Például, ha a \(7\) számot behelyettesítjük a \(x+6>10\) lineáris egyenlőtlenségbe, akkor a megfelelő numerikus egyenlőtlenséget kapjuk: \(13>10\). És ha behelyettesítjük a \(2\), akkor helytelen numerikus egyenlőtlenség lesz \(8>10\). Vagyis a \(7\) megoldás az eredeti egyenlőtlenségre, de a \(2\) nem.

Az \(x+6>10\) egyenlőtlenségnek azonban más megoldásai is vannak. Valóban, \(5\), és \(12\), és \(138\) helyettesítésekor megkapjuk a helyes numerikus egyenlőtlenségeket... És hogyan találjuk meg az összes lehetséges megoldást? Ehhez a mi esetünkben a következőket használják:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Vagyis minden négynél nagyobb szám megfelel nekünk. Most le kell írnia a választ. Az egyenlőtlenségek megoldásait általában numerikusan írjuk fel, a számtengelyen pedig árnyékolással jelöljük. A mi esetünkben a következőkkel rendelkezünk:

Válasz: \(x\in(4;+\infty)\)

Mikor változik meg az egyenlőtlenség előjele?

Van egy nagy csapda az egyenlőtlenségekben, amelyekbe a diákok nagyon „szeretnek” beleesni:

Ha egy egyenlőtlenséget megszorozunk (vagy osztunk) negatív számmal, az megfordul (a „több” a „kevesebb”, a „több vagy egyenlő” a „kisebb vagy egyenlő” és így tovább)

Miért történik ez? Ennek megértéséhez nézzük meg a \(3>1\) numerikus egyenlőtlenség transzformációit. Ez igaz, a három valóban nagyobb, mint egy. Először próbáljuk meg megszorozni bármely pozitív számmal, például kettővel:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Amint látjuk, szorzás után az egyenlőtlenség igaz marad. És nem számít, milyen pozitív számmal szorozzuk meg, mindig megkapjuk a helyes egyenlőtlenséget. Most próbáljunk meg szorozni egy negatív számmal, például mínusz hárommal:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Az eredmény egy helytelen egyenlőtlenség, mert a mínusz kilenc kevesebb, mint a mínusz három! Vagyis ahhoz, hogy az egyenlőtlenség igaz legyen (és ezért a szorzás negatívval való átalakítása „törvényes volt”), meg kell fordítani az összehasonlító előjelet, így: \(−9<− 3\).
A felosztással ugyanúgy fog működni, ezt magad is ellenőrizheted.

A fent leírt szabály az egyenlőtlenségek minden típusára vonatkozik, nem csak a numerikusra.

Válasz: \(x\in(-1;\infty)\)

Egyenlőtlenségek és fogyatékosság

Az egyenlőtlenségeknek, csakúgy, mint az egyenleteknek, lehetnek korlátozásai , azaz x értékére. Ennek megfelelően azokat az értékeket, amelyek a DZ szerint elfogadhatatlanok, ki kell zárni a megoldások köréből.

Példa: Oldja meg a \(\sqrt(x+1) egyenlőtlenséget<3\)

Megoldás: Nyilvánvaló, hogy ahhoz, hogy a bal oldal kisebb legyen, mint \(3\), a gyök kifejezésnek kisebbnek kell lennie, mint \(9\) (végül is \(9\)-ből csak \(3\)). Kapunk:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Minden? Bármely \(8\)-nál kisebb x értéke megfelel nekünk? Nem! Mert ha vesszük például a követelménynek megfelelőnek tűnő \(-5\) értéket, az nem lesz megoldás az eredeti egyenlőtlenségre, hiszen egy negatív szám gyökének kiszámításához vezet.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Ezért figyelembe kell vennünk az X értékére vonatkozó korlátozásokat is - nem lehet olyan, hogy a gyökér alatt negatív szám legyen. Így van a második követelményünk x-re:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

És ahhoz, hogy x legyen a végső megoldás, mindkét követelményt egyszerre kell teljesítenie: kisebbnek kell lennie \(8\)-nál (hogy megoldás legyen) és nagyobbnak kell lennie \(-1\)-nél (hogy elvileg elfogadható legyen). A számegyenesen ábrázolva megkapjuk a végső választ:

Válasz: \(\bal[-1;8\jobb)\)

Továbbra is keressük az egy változót magában foglaló egyenlőtlenségek megoldásának módjait. Már tanulmányoztuk a lineáris és másodfokú egyenlőtlenségeket, amelyek a racionális egyenlőtlenségek speciális esetei. Ebben a cikkben tisztázni fogjuk, hogy milyen típusú egyenlőtlenségeket tekintünk racionálisnak, és elmondjuk, milyen típusokra oszthatók (egész és tört). Ezt követően megmutatjuk, hogyan lehet ezeket helyesen megoldani, megadjuk a szükséges algoritmusokat és elemezzük a konkrét problémákat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A racionális egyenlőség fogalma

Amikor az egyenlőtlenségek megoldásának témáját tanulmányozzák az iskolában, azonnal veszik a racionális egyenlőtlenségeket. Készségeket szereznek és csiszolnak az ilyen típusú kifejezésekkel való munkavégzés során. Fogalmazzuk meg ennek a fogalomnak a definícióját:

1. definíció

A racionális egyenlőtlenség olyan változókkal rendelkező egyenlőtlenség, amely mindkét részben racionális kifejezéseket tartalmaz.

Vegye figyelembe, hogy a definíció semmilyen módon nem befolyásolja a változók számának kérdését, ami azt jelenti, hogy tetszőleges számú változó lehet. Ezért lehetségesek 1, 2, 3 vagy több változós racionális egyenlőtlenségek. Leggyakrabban csak egy változót, ritkábban kettőt tartalmazó kifejezésekkel kell foglalkozni, és a nagyszámú változót tartalmazó egyenlőtlenségeket általában egyáltalán nem veszik figyelembe az iskolai kurzusban.

Így egy racionális egyenlőtlenséget ismerhetünk fel, ha megnézzük az írását. Mind a jobb, mind a bal oldalon racionális kifejezésekkel kell rendelkeznie. Íme néhány példa:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

De itt van egy 5 + x + 1 alakú egyenlőtlenség< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Minden racionális egyenlőtlenséget egész és tört számra osztanak.

2. definíció

Az egész racionális egyenlőség egész racionális kifejezésekből áll (mindkét részben).

3. definíció

Tört racionális egyenlőség olyan egyenlőség, amely az egyik vagy mindkét részében törtkifejezést tartalmaz.

Például az 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 és 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 egyenlőtlenségek tört racionális és 0, 5 x ≤ 3 (2–5 év)És 1: x + 3 > 0- egész.

Elemeztük, melyek a racionális egyenlőtlenségek, és azonosítottuk fő típusaikat. Továbbléphetünk a megoldási módok áttekintésére.

Tegyük fel, hogy megoldást kell találnunk egy teljes racionális egyenlőtlenségre r(x)< s (x) , amely csak egy x változót tartalmaz. Ahol r(x)És s(x) bármilyen racionális egész számot vagy kifejezést jelentenek, és az egyenlőtlenség jele eltérhet. A probléma megoldásához át kell alakítanunk, és egyenértékű egyenlőséget kell kapnunk.

Kezdjük azzal, hogy a kifejezést jobbról balra mozgatjuk. A következőket kapjuk:

r (x) − s (x) alakú< 0 (≤ , > , ≥)

Tudjuk r (x) − s (x) egész érték lesz, és bármely egész kifejezés polinommá alakítható. Váltsunk át r (x) − s (x) h(x)-ben. Ez a kifejezés egy azonos polinom lesz. Tekintettel arra, hogy r (x) − s (x) és h (x) ugyanazzal a megengedett x értéktartománnyal rendelkezik, továbbléphetünk a h (x) egyenlőtlenségekre.< 0 (≤ , >, ≥), amely egyenértékű lesz az eredetivel.

Gyakran egy ilyen egyszerű transzformáció is elegendő az egyenlőtlenség megoldásához, mivel az eredmény lehet lineáris vagy másodfokú egyenlőtlenség, amelynek értéke könnyen kiszámítható. Elemezzük az ilyen problémákat.

1. példa

Feltétel: oldjon meg egy egész racionális egyenlőtlenséget x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Megoldás

Kezdjük azzal, hogy a kifejezést jobbról balra mozgatjuk az ellenkező előjellel.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 - 1 ≤ 0

Most, hogy elvégeztük az összes műveletet a bal oldali polinomokkal, továbbléphetünk a lineáris egyenlőtlenségre 3 x − 2 ≤ 0, megegyezik a feltételben megadottal. Könnyen megoldható:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Válasz: x ≤ 2 3 .

2. példa

Feltétel: megtalálni a megoldást az egyenlőtlenségre (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Megoldás

A kifejezést átvisszük a bal oldalról a jobbra, és további átalakításokat hajtunk végre a rövidített szorzóképletek segítségével.

(x 2 + 1) 2 - 3 x 2 - (x 2 - x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 - 3 x 2 - x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Átalakításaink eredményeként olyan egyenlőtlenséget kaptunk, amely x bármely értékére igaz lesz, ezért az eredeti egyenlőtlenség megoldása tetszőleges valós szám lehet.

Válasz: tényleg bármilyen szám.

3. példa

Feltétel: oldja meg az egyenlőtlenséget x + 6 + 2 x 3 - 2 x (x 2 + x - 5) > 0.

Megoldás

A jobb oldalról nem viszünk át semmit, mivel ott 0 van. Kezdjük rögtön azzal, hogy a bal oldalt polinommá alakítjuk:

x + 6 + 2 x 3 - 2 x 3 - 2 x 2 + 10 x > 0 - 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Levezettünk egy, az eredetivel ekvivalens másodfokú egyenlőtlenséget, amely többféle módszerrel is könnyen megoldható. Használjunk grafikus módszert.

Kezdjük a hármas négyzet gyökeinek kiszámításával − 2 x 2 + 11 x + 6:

D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6

Most a diagramon megjelöljük az összes szükséges nullát. Mivel a vezető együttható kisebb, mint nulla, a grafikonon a parabola ágai lefelé mutatnak.

Szükségünk lesz a parabola x tengely feletti tartományára, mivel az egyenlőtlenségben van > jel. A szükséges intervallum az (− 0 , 5 , 6) ezért ez az értéktartomány lesz a megoldás, amire szükségünk van.

Válasz: (− 0 , 5 , 6) .

Vannak bonyolultabb esetek is, amikor egy harmadik vagy magasabb fokú polinomot kapunk a bal oldalon. Az ilyen egyenlőtlenség feloldásához az intervallum módszer alkalmazása javasolt. Először kiszámítjuk a polinom összes gyökét h(x), ami leggyakrabban polinom faktorálásával történik.

4. példa

Feltétel: kiszámítja (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .

Megoldás

Kezdjük, mint mindig, a kifejezés balra mozgatásával, majd ki kell terjesztenünk a zárójeleket, és hasonló kifejezéseket kell hoznunk.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

Az átalakítások eredményeként az eredetivel egyenértékű egyenlőséget kaptunk, melynek bal oldalán egy harmadfokú polinom található. A megoldáshoz használjuk az intervallum módszert.

Először kiszámoljuk a polinom gyökereit, amihez meg kell oldanunk a köbegyenletet x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Vannak racionális gyökerei? Csak a szabad kifejezés osztói közé tartozhatnak, i.e. a ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 számok között. Helyettesítsük be őket egyenként az eredeti egyenletbe, és derítsük ki, hogy az 1, 2 és 3 számok lesznek a gyökerei.

Tehát a polinom x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 termékként írható le (x - 1) · (x - 2) · (x - 3), és az egyenlőtlenség x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6< 0 ként ábrázolható (x - 1) · (x - 2) · (x - 3)< 0 . Egy ilyen típusú egyenlőtlenség esetén könnyebben tudjuk meghatározni az intervallumok előjeleit.

Ezután végrehajtjuk az intervallum módszer hátralévő lépéseit: rajzoljunk egy számegyenest, és mutassunk rá 1, 2, 3 koordinátákkal. Az egyenest 4 intervallumra osztják, amelyben meg kell határozniuk a jeleket. Árnyékoljuk az intervallumokat mínusszal, mivel az eredeti egyenlőtlenségnek van előjele < .

Nincs más dolgunk, mint felírni a kész választ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​.

Válasz: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Bizonyos esetekben az r (x) − s (x) egyenlőtlenségből induljunk ki< 0 (≤ , >, ≥) - h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , ahol h(x)– 2-nél nagyobb fokú polinom, nem megfelelő. Ez azokra az esetekre is kiterjed, amikor az r(x) − s(x)-t egyszerűbb lineáris binomiálisok és másodfokú trinomiálisok szorzataként kifejezni, mint h(x)-t egyedi tényezőkké alakítani. Nézzük meg ezt a problémát.

5. példa

Feltétel: megtalálni a megoldást az egyenlőtlenségre (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) ≥ 2 x (x 2 - 2 x - 1).

Megoldás

Ez az egyenlőtlenség egész számokra vonatkozik. Ha a kifejezést a jobb oldalról balra mozgatjuk, kinyitjuk a zárójeleket és végrehajtjuk a kifejezések redukcióját, azt kapjuk, x 4 - 4 x 3 - 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Egy ilyen egyenlőtlenség feloldása nem egyszerű, hiszen egy negyedfokú polinom gyökereit kell keresni. Nincs egyetlen racionális gyöke (például 1, − 1, 19 vagy − 19 nem megfelelőek), és nehéz más gyökereket keresni. Ez azt jelenti, hogy nem használhatjuk ezt a módszert.

De vannak más megoldások is. Ha a kifejezéseket az eredeti egyenlőtlenség jobb oldaláról balra mozgatjuk, zárójelbe tehetjük a közös tényezőt x 2 - 2 x - 1:

(x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) - 2 x (x 2 - 2 x - 1) ≥ 0 (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 2 · x - 19) ≥ 0 .

Az eredetivel egyenértékű egyenlőtlenséget kaptunk, és ennek megoldása megadja a kívánt választ. Keressük meg a bal oldalon a kifejezés nulláit, amelyekre másodfokú egyenleteket oldunk meg x 2 − 2 x − 1 = 0És x 2 − 2 x − 19 = 0. Gyökereik 1 ± 2, 1 ± 2 5. Továbblépünk az x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 egyenlőségre, amely az intervallum módszerrel oldható meg:

Az ábra szerint a válasz - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.

Válasz: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Tegyük hozzá, hogy néha nem lehet megtalálni a polinom összes gyökerét h(x), ezért nem ábrázolhatjuk lineáris binomiálisok és másodfokú trinomiálisok szorzataként. Ezután oldjon meg egy h (x) alakú egyenlőtlenséget< 0 (≤ , >, ≥) nem tudjuk, ami azt jelenti, hogy az eredeti racionális egyenlőtlenséget sem lehet megoldani.

Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk az r (x) alakú tört racionális egyenlőtlenségeket.< s (x) (≤ , >, ≥) , ahol r (x) és s(x) racionális kifejezések, x egy változó. A jelzett kifejezések közül legalább egy törtszámú lesz. A megoldási algoritmus ebben az esetben a következő lesz:

1. Meghatározzuk az x változó megengedett értékeinek tartományát.
2. A kifejezést az egyenlőtlenség jobb oldaláról balra mozgatjuk, és a kapott kifejezést r (x) − s (x) törtként ábrázolja. Ráadásul hol p(x)És q(x) olyan egész kifejezések lesznek, amelyek lineáris binomiálisok, felbonthatatlan másodfokú trinomiálisok, valamint természetes kitevővel rendelkező hatványok szorzatai.
3. Ezután a kapott egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel oldjuk meg.
4. Az utolsó lépés az, hogy a megoldás során kapott pontokat kizárjuk az x változó elfogadható értékeinek tartományából, amelyet az elején definiáltunk.

Ez az algoritmus tört racionális egyenlőtlenségek megoldására. A legtöbb világos, kisebb magyarázatokra csak a 2. bekezdésre van szükség. A kifejezést jobbról balra mozgattuk, és r (x) − s (x) lett.< 0 (≤ , >, ≥), majd hogyan lehet p (x) q (x) alakba hozni< 0 (≤ , > , ≥) ?

Először is határozzuk meg, hogy ez az átalakítás mindig végrehajtható-e. Elméletileg egy ilyen lehetőség mindig fennáll, hiszen bármely racionális kifejezés racionális törtté alakítható. Itt van egy tört polinomokkal a számlálóban és a nevezőben. Idézzük fel az algebra alaptételét és a Bezout-tételt, és határozzuk meg, hogy bármely, egy változót tartalmazó n fokú polinom átalakítható lineáris binomiálisok szorzatává. Ezért elméletileg mindig átalakíthatjuk a kifejezést így.

A gyakorlatban a polinomok faktorálása gyakran meglehetősen nehéz, különösen, ha a fokszám 4-nél magasabb. Ha a bővítést nem tudjuk végrehajtani, akkor ezt az egyenlőtlenséget nem tudjuk feloldani, de az iskolai kurzusokon általában nem foglalkoznak ilyen problémákkal.

Ezután el kell döntenünk, hogy a kapott p (x) q (x) egyenlőtlenség< 0 (≤ , >, ≥) ekvivalens r (x) − s (x) vonatkozásában< 0 (≤ , >, ≥) és az eredetire. Fennáll annak lehetősége, hogy egyenlőtlennek bizonyul.

Az egyenlőtlenség ekvivalenciája akkor lesz biztosított, ha az elfogadható értékek tartománya p(x)q(x) megfelelni fog a kifejezési tartománynak r (x) − s (x). Ekkor nem kell követni a töredékes racionális egyenlőtlenségek megoldására vonatkozó utasítások utolsó pontját.

De az értéktartomány a p(x)q(x) szélesebb lehet, mint r (x) − s (x) például a törtek csökkentésével. Példa lehet x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 - ról x · x - 1 x + 3 - ra . Vagy ez megtörténhet, ha hasonló kifejezéseket hoz, például ide:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 - 1 x + 3

Ilyen esetekben az algoritmus utolsó lépése került hozzáadásra. Végrehajtásával megszabadul azoktól a külső változóértékektől, amelyek az elfogadható értékek tartományának bővülése miatt merülnek fel. Vegyünk néhány példát, hogy érthetőbb legyen, miről beszélünk.

6. példa

Feltétel: megoldásokat találni az x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 racionális egyenlőségre.

Megoldás

A fent leírt algoritmus szerint járunk el. Először meghatározzuk az elfogadható értékek tartományát. Ebben az esetben az x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 egyenlőtlenségrendszer határozza meg, amelynek megoldása a (−) halmaz lesz. ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

Ezt követően át kell alakítanunk, hogy kényelmes legyen az intervallum módszer alkalmazása. Mindenekelőtt az algebrai törteket a legkisebb közös nevezőre redukáljuk (x – 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Összecsukjuk a kifejezést a számlálóban az összeg négyzetének képletével:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Az eredményül kapott kifejezés elfogadható értékeinek tartománya (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) . Látjuk, hogy hasonló az eredeti egyenlőséghez. Megállapítjuk, hogy az x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 egyenlőtlenség ekvivalens az eredetivel, ami azt jelenti, hogy nincs szükségünk az algoritmus utolsó lépésére.

Az intervallum módszert használjuk:

Látjuk a ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) megoldást, amely az eredeti x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - racionális egyenlőtlenség megoldása lesz. 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Válasz: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

7. példa

Feltétel: számítsd ki a megoldást x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Megoldás

Meghatározzuk az elfogadható értékek tartományát. Ebben az egyenlőtlenségben minden valós számmal egyenlő lesz, kivéve a − 2, − 1, 0 és 1 .

A kifejezéseket jobbról balra mozgatjuk:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Az eredményt figyelembe véve ezt írjuk:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Az -1 x - 1 kifejezésnél az érvényes értékek tartománya egy kivételével az összes valós szám halmaza. Látjuk, hogy az értéktartomány kibővült: − 2 , − 1 és 0 . Ez azt jelenti, hogy végre kell hajtanunk az algoritmus utolsó lépését.

Mivel az - 1 x - 1 > 0 egyenlőtlenséghez jutottunk, felírhatjuk ennek megfelelőjét 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Kizárjuk azokat a pontokat, amelyek nem szerepelnek az eredeti egyenlőség elfogadható értékeinek tartományában. Ki kell zárnunk (− ∞ , 1)-ből a − 2 , − 1 és 0 . Így az x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 racionális egyenlőtlenség megoldása a (− ∞ , − 2 értékek lesznek ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Válasz: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Befejezésül adunk egy másik példát egy olyan problémára, amelyben a végső válasz az elfogadható értékek tartományától függ.

8. példa

Feltétel: keressük meg az 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 egyenlőtlenség megoldását.

Megoldás

A feltételben megadott egyenlőtlenség megengedett értéktartományát az x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - rendszer határozza meg. 1 x - 1 ≠ 0.

Ennek a rendszernek nincsenek megoldásai, mert

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Ez azt jelenti, hogy az eredeti 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 egyenlőségnek nincs megoldása, mivel a változónak nincsenek olyan értékei, amelyekre ez lenne. érzék.

Válasz: nincsenek megoldások.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Továbbra is elmélyülünk az „egyenlőtlenségek egy változóval történő megoldása” témakörben. A lineáris egyenlőtlenségeket és a másodfokú egyenlőtlenségeket már ismerjük. Ezek speciális esetek racionális egyenlőtlenségek, amelyet most tanulmányozni fogunk. Kezdjük azzal, hogy megtudjuk, milyen típusú egyenlőtlenségeket nevezünk racionálisnak. Ezután megvizsgáljuk azok felosztását teljes racionális és töredékes racionális egyenlőtlenségekre. Ezt követően pedig megvizsgáljuk, hogyan lehet racionális egyenlőtlenségeket megoldani egy változóval, felírjuk a megfelelő algoritmusokat, és megfontoljuk a tipikus példák megoldásait részletes magyarázattal.

Oldalnavigáció.

Mik a racionális egyenlőtlenségek?

Az iskolai algebra órákon, amint az egyenlőtlenségek megoldásáról megindul a beszélgetés, azonnal racionális egyenlőtlenségekkel találkozunk. Eleinte azonban nem a nevükön nevezik őket, mivel ebben a szakaszban az egyenlőtlenségek típusai kevéssé érdekelnek, és a fő cél az egyenlőtlenségek kezelésében való kezdeti készségek megszerzése. Magát a „racionális egyenlőtlenség” kifejezést később, a 9. osztályban vezetik be, amikor elkezdődik az ilyen típusú egyenlőtlenségek részletes vizsgálata.

Nézzük meg, mik a racionális egyenlőtlenségek. Íme a meghatározás:

A megadott definíció nem mond semmit a változók számáról, ami azt jelenti, hogy tetszőleges szám megengedett. Ennek függvényében racionális egyenlőtlenségeket különböztetünk meg eggyel, kettővel stb. változók. A tankönyv egyébként hasonló definíciót ad, de az egyváltozós racionális egyenlőtlenségekre. Ez érthető is, hiszen az iskola az egyváltozós egyenlőtlenségek megoldására helyezi a hangsúlyt (a továbbiakban is csak a racionális egyenlőtlenségek egy változós megoldásáról lesz szó). Egyenlőtlenségek két változóval kevésnek számítanak, és a három vagy több változós egyenlőtlenségekre gyakorlatilag nem fordítanak figyelmet.

Tehát a racionális egyenlőtlenség felismerhető a jelöléséről; ehhez csak nézze meg a bal és jobb oldalán lévő kifejezéseket, és győződjön meg arról, hogy racionális kifejezések. Ezek a megfontolások lehetővé teszik, hogy példákat hozzunk a racionális egyenlőtlenségekre. Például x>4 , x 3 +2 y≤5 (y-1) (x 2 +1), racionális egyenlőtlenségek. És egyenlőtlenség nem racionális, mivel a bal oldala a gyökérjel alatt változót tartalmaz, és ezért nem racionális kifejezés. Az egyenlőtlenség szintén nem racionális, mivel mindkét része nem racionális kifejezés.

A további leírás megkönnyítése érdekében bevezetjük a racionális egyenlőtlenségek egész és tört egyenlőtlenségekre való felosztását.

Meghatározás.

Racionális egyenlőtlenségnek nevezzük egész, ha mindkét része egész racionális kifejezés.

Meghatározás.

Tört racionális egyenlőtlenség egy racionális egyenlőtlenség, amelynek legalább egy része törtkifejezés.

Tehát 0,5 x≤3 (2–5 év), egész egyenlőtlenségek, és 1:x+3>0 és - töredékesen racionális.

Most már világosan megértjük, mi a racionális egyenlőtlenség, és nyugodtan elkezdhetjük megérteni az egész és a tört racionális egyenlőtlenségek egyetlen változóval történő megoldásának elveit.

Teljes egyenlőtlenségek megoldása

Tűzzünk ki magunknak egy feladatot: tegyük fel, hogy egy teljes racionális egyenlőtlenséget kell megoldanunk egyetlen x változóval, amelynek alakja r(x) , ≥), ahol r(x) és s(x) néhány egész racionális kifejezés. A megoldáshoz ekvivalens egyenlőtlenségi transzformációkat fogunk használni.

Mozgassuk a kifejezést a jobb oldalról balra, ami egy r(x)−s(x) alakú ekvivalens egyenlőtlenséghez vezet.<0 (≤, >, ≥) nullával a jobb oldalon. Nyilvánvalóan a bal oldalon képzett r(x)−s(x) kifejezés is egész szám, és ismert, hogy bármely . Miután az r(x)−s(x) kifejezést azonosan egyenlő h(x) polinommá alakítottuk (itt megjegyezzük, hogy az r(x)−s(x) és h(x) kifejezésnek ugyanaz az x változója), továbblépünk a h(x) ekvivalens egyenlőtlenségre<0 (≤, >, ≥).

A legegyszerűbb esetekben az elvégzett transzformációk elegendőek a kívánt megoldás eléréséhez, mivel az eredeti teljes racionális egyenlőtlenségtől egy olyan egyenlőtlenséghez vezetnek, amelyet tudjuk, hogyan kell megoldani, például egy lineáris vagy másodfokú egyenlőtlenséghez. Nézzünk példákat.

Példa.

Keresse meg az x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 racionális egyenlőtlenség megoldását.

Megoldás.

Először mozgassuk a kifejezést jobbról balra: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. A bal oldalon mindent kitöltve a 3 x−2≤0 lineáris egyenlőtlenséghez jutunk, amely ekvivalens az eredeti egész egyenlőtlenséggel. A megoldás nem nehéz:
3x≤2,
x≤2/3.

Válasz:

x≤2/3.

Példa.

Oldja meg az egyenlőtlenséget (x 2 +1) 2 -3 x 2 > (x 2 -x) (x 2 +x).

Megoldás.

A szokásos módon kezdjük a kifejezés átvitelével a jobb oldalról, majd a bal oldalon hajtjuk végre a transzformációkat a következő használatával:
(x 2 +1) 2 -3 x 2 - (x 2 -x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .

Így ekvivalens transzformációk végrehajtásával az 1>0 egyenlőtlenséghez jutottunk, amely az x változó bármely értékére igaz. Ez azt jelenti, hogy az eredeti egész egyenlőtlenség megoldása tetszőleges valós szám.

Válasz:

x - bármilyen.

Példa.

Oldja meg az egyenlőtlenséget x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

Megoldás.

A jobb oldalon egy nulla található, így nem kell semmit mozgatni róla. Alakítsuk át az egész kifejezést a bal oldalon polinommá:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .

Másodfokú egyenlőtlenséget kaptunk, amely ekvivalens az eredeti egyenlőtlenséggel. Bármilyen általunk ismert módszerrel megoldjuk. Oldjuk meg grafikusan a másodfokú egyenlőtlenséget.

Keresse meg a –2 x 2 +11 x+6 másodfokú trinom gyökereit:

Készítünk egy sematikus rajzot, amelyen megjelöljük a talált nullákat, és figyelembe vesszük, hogy a parabola ágai lefelé irányulnak, mivel a vezető együttható negatív:

Mivel egy > előjelű egyenlőtlenséget oldunk meg, az érdekel bennünket, hogy a parabola milyen intervallumokban helyezkedik el az x tengely felett. Ez a (-0,5, 6) intervallumon történik, amely a kívánt megoldás.

Válasz:

(−0,5, 6) .

Bonyolultabb esetekben a kapott h(x) egyenlőtlenség bal oldalán<0 (≤, >, ≥) egy harmadik vagy magasabb fokú polinom lesz. Az ilyen egyenlőtlenségek megoldására alkalmas az intervallum módszer, amelynek első lépésében meg kell találni a h(x) polinom összes gyökét, ami gyakran keresztül történik.

Példa.

Keresse meg a megoldást a teljes racionális egyenlőtlenségre (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

Megoldás.

Vigyünk át mindent a bal oldalra, ami után ott van:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

Az elvégzett manipulációk az eredetivel egyenértékű egyenlőtlenséghez vezetnek bennünket. Bal oldalán egy harmadfokú polinom található. Intervallum módszerrel oldható meg. Ehhez először is meg kell találni az x 3 +4 x 2 +11 x−6=0-n nyugvó polinom gyökereit. Nézzük meg, hogy vannak-e racionális gyökerei, amelyek csak a szabad tag osztói között lehetnek, vagyis a ±1, ±2, ±3, ±6 számok között. Ha ezeket a számokat az x változó helyett az x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 egyenletbe behelyettesítjük, kiderül, hogy az egyenlet gyökerei az 1, 2 és 3 számok. Ez lehetővé teszi, hogy az x 3 +4 x 2 +11 x−6 polinomot (x−1) (x−2) (x−3) szorzatként ábrázoljuk, és az x 3 +4 x 2 +11 x− egyenlőtlenséget. 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

És akkor már csak az intervallum módszer standard lépéseit kell végrehajtani: jelölje be a számegyenesen azokat az 1, 2 és 3 koordinátájú pontokat, amelyek ezt a sort négy intervallumra osztják, határozzák meg és helyezzék el a jeleket, rajzolják az árnyékolást a intervallumok mínusz előjellel (mivel egy mínuszjelű egyenlőtlenséget oldunk meg<) и записать ответ.

Honnan van (−∞, 1)∪(2, 3) .

Válasz:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

Meg kell jegyezni, hogy néha nem megfelelő az r(x)−s(x) egyenlőtlenségből.<0 (≤, >, ≥) lépjen a h(x) egyenlőtlenségre<0 (≤, >, ≥), ahol h(x) kettőnél nagyobb fokú polinom. Ez azokra az esetekre vonatkozik, amikor nehezebb a h(x) polinomot faktorálni, mint az r(x)-s(x) kifejezést lineáris binomiálisok és másodfokú trinomok szorzataként ábrázolni, például a közös tényező kiszámításával. . Magyarázzuk meg ezt egy példával.

Példa.

Oldja meg az egyenlőtlenséget (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).

Megoldás.

Ez egy teljes egyenlőtlenség. Ha a kifejezést a jobb oldaláról balra mozgatjuk, majd nyissuk ki a zárójeleket és adjunk hozzá hasonló kifejezéseket, akkor megkapjuk az egyenlőtlenséget x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Megoldása nagyon nehéz, mivel egy negyedfokú polinom gyökereit kell megtalálni. Könnyű ellenőrizni, hogy nincsenek racionális gyökerei (lehet 1, -1, 19 vagy -19), de problémás a többi gyökér keresése. Ezért ez az út egy zsákutca.

Keressünk más lehetséges megoldásokat. Könnyen belátható, hogy miután a kifejezést az eredeti egész egyenlőtlenség jobb oldaláról balra visszük, a zárójelekből kivehetjük az x 2 −2 x−1 közös tényezőt:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.

Az elvégzett transzformáció ekvivalens, ezért a kapott egyenlőtlenség megoldása az eredeti egyenlőtlenség megoldása is lesz.

És most a kapott egyenlőtlenség bal oldalán találjuk a kifejezés nulláit, ehhez x 2 −2·x−1=0 és x 2 −2·x−19=0 kell. Gyökereik a számok . Ez lehetővé teszi, hogy eljusson az ekvivalens egyenlőtlenséghez, és az intervallum módszerrel megoldható:

A választ a rajz szerint írjuk le.

Válasz:

Befejezésül annyit szeretnék még hozzátenni, hogy nem mindig lehet megtalálni a h(x) polinom összes gyökét, és ennek következtében lineáris binomiálisok és négyzetes trinomok szorzatává bővíteni. Ezekben az esetekben nincs mód a h(x) egyenlőtlenség megoldására.<0 (≤, >, ≥), ami azt jelenti, hogy nem lehet megoldást találni az eredeti egész számú racionális egyenletre.

Tört racionális egyenlőtlenségek megoldása

Most oldjuk meg a következő problémát: tegyük fel, hogy meg kell oldanunk egy tört racionális egyenlőtlenséget egy r(x) alakú x változóval. , ≥), ahol r(x) és s(x) néhány racionális kifejezés, és ezek közül legalább az egyik tört. Azonnal mutassuk be a megoldási algoritmust, ami után megtesszük a szükséges magyarázatokat.

Algoritmus tört racionális egyenlőtlenségek megoldására egy r(x) változóval , ≥):

• Először meg kell találnia az x változó elfogadható értékeinek tartományát (APV) az eredeti egyenlőtlenséghez.
• Ezután a kifejezést az egyenlőtlenség jobb oldaláról balra kell mozgatni, és az ott képzett r(x)−s(x) kifejezést p(x)/q(x) tört alakjára kell konvertálni, ahol p(x) és q(x) egész számok kifejezések, amelyek lineáris binomiálisok, felbonthatatlan másodfokú trinomiálisok és hatványaik természetes kitevőjével szoroznak.
• Ezután meg kell oldanunk a kapott egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel.
• Végül az előző lépésben kapott megoldásból ki kell zárni azokat a pontokat, amelyek nem szerepelnek az x változó ODZ-jében az első lépésben megtalált eredeti egyenlőtlenségnél.

Így megkapjuk a töredékes racionális egyenlőtlenség kívánt megoldását.

Az algoritmus második lépése magyarázatot igényel. Ha a kifejezést az egyenlőtlenség jobb oldaláról balra visszük, az r(x)−s(x) egyenlőtlenséget kapjuk.<0 (≤, >, ≥), amely megegyezik az eredetivel. Itt minden világos. De kérdéseket vet fel a további átalakítása p(x)/q(x) alakra.<0 (≤, >, ≥).

Az első kérdés: „Mindig megvalósítható-e”? Elméletileg igen. Tudjuk, hogy bármi lehetséges. A racionális tört számlálója és nevezője polinomokat tartalmaz. Az algebra alaptételéből és Bezout tételéből pedig az következik, hogy bármely n fokú egyváltozós polinom ábrázolható lineáris binomiálisok szorzataként. Ez megmagyarázza ennek az átalakításnak a lehetőségét.

A gyakorlatban a polinomok faktorálása meglehetősen nehéz, és ha fokuk négynél magasabb, akkor ez nem mindig lehetséges. Ha a faktorizáció lehetetlen, akkor az eredeti egyenlőtlenségre nem lehet megoldást találni, de ilyen esetek általában nem fordulnak elő az iskolában.

Második kérdés: „A p(x)/q(x) egyenlőtlenség<0 (≤, >, ≥) ekvivalens az r(x)−s(x) egyenlőtlenséggel<0 (≤, >, ≥), és ezért az eredetire”? Ez lehet egyenértékű vagy egyenlőtlen. Ez egyenértékű, ha a p(x)/q(x) kifejezés ODZ-je egybeesik az r(x)−s(x) kifejezés ODZ-jével. Ebben az esetben az algoritmus utolsó lépése redundáns lesz. De a p(x)/q(x) kifejezés ODZ-je szélesebb lehet, mint az r(x)−s(x) kifejezés ODZ-je. Az ODZ kiterjedése akkor fordulhat elő, ha a frakciók csökkennek, például amikor elköltözünk Nak nek . Az ODZ terjeszkedése hasonló kifejezések bevezetésével is elősegíthető, mint például az innen való elköltözéskor. Nak nek . Az algoritmus utolsó lépése erre az esetre készült, amelynél az ODZ kiterjesztése miatt felmerülő külső döntéseket kizárjuk. Kövessük ezt, ha megnézzük az alábbi példák megoldásait.

A lineáris, másodfokú és törtegyenlőtlenségek megoldására szolgáló program nemcsak a problémára ad választ, hanem részletes megoldást ad magyarázatokkal, i. megjeleníti a megoldási folyamatot a matematikai és/vagy algebrai ismeretek tesztelésére.

Sőt, ha az egyik egyenlőtlenség megoldása során meg kell oldani például egy másodfokú egyenletet, akkor annak részletes megoldása is megjelenik (spoilerben van).

Ez a program hasznos lehet a középiskolásoknak a tesztekre való felkészülésben, a szülőknek pedig annak nyomon követésében, hogyan oldják meg gyermekeik az egyenlőtlenségeket.

Ez a program hasznos lehet az általános iskolákban tanuló középiskolásoknak a tesztekre, vizsgákra való felkészüléskor, az Egységes Államvizsga előtti tudásfelmérésekor, a szülőknek pedig számos matematikai és algebrai feladat megoldásának kézben tartásához. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a matematikai vagy algebrai házi feladatot szeretné a lehető leggyorsabban elvégezni? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Így Ön saját képzést és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén a képzettség növekszik.

Az egyenlőtlenségek beírásának szabályai

Bármely latin betű működhet változóként.
Például: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) stb.

A számok egész vagy tört számként is megadhatók.
Ezenkívül a törtszámok nem csak tizedes, hanem közönséges tört formájában is beírhatók.

A tizedes törtek bevitelének szabályai.
A tizedes törtekben a tört részt ponttal vagy vesszővel lehet elválasztani a teljes résztől.
Például a következőképpen adhat meg tizedes törteket: 2,5x - 3,5x^2

A közönséges törtek bevitelének szabályai.
Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.

A nevező nem lehet negatív.

Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
A teljes részt az és jel választja el a törttől: &
Bemenet: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Eredmény: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Kifejezések beírásakor használhat zárójelet. Ebben az esetben az egyenlőtlenségek megoldásánál először a kifejezések egyszerűsödnek.
Például: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Válassza ki a kívánt egyenlőtlenségjelet, és írja be a polinomokat az alábbi mezőkbe.

Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki és frissítse az oldalt.

Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérlek várj mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Egyenlőtlenségrendszerek egy ismeretlennel. Numerikus intervallumok

7. osztályban ismerkedtél meg a rendszer fogalmával, és megtanultad megoldani a két ismeretlenes lineáris egyenletrendszert. Ezután megvizsgáljuk a lineáris egyenlőtlenségek rendszereit egy ismeretlennel. Intervallumok (intervallumok, félintervallumok, szakaszok, sugarak) felhasználásával egyenlőtlenségi rendszerek megoldáshalmazai írhatók fel. Megismerheti a számintervallumok jelölését is.

Ha a \(4x > 2000\) és \(5x \leq 4000\) egyenlőtlenségekben az ismeretlen x szám azonos, akkor ezeket az egyenlőtlenségeket együtt tekintjük, és azt mondjuk, hogy egyenlőtlenségrendszert alkotnak: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right. $$

A göndör zárójel azt mutatja, hogy meg kell találnia x olyan értékeit, amelyekre a rendszer mindkét egyenlőtlensége helyes numerikus egyenlőtlenséggé alakul. Ez a rendszer egy példa egy ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlőtlenségek rendszerére.

Az egy ismeretlennel rendelkező egyenlőtlenségrendszer megoldása az ismeretlennek az az értéke, amelynél a rendszer összes egyenlőtlensége valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik. Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása azt jelenti, hogy minden megoldást megtalálunk erre a rendszerre, vagy megállapítjuk, hogy nincs ilyen.

A \(x \geq -2 \) és \(x \leq 3 \) egyenlőtlenségek kettős egyenlőtlenségként írhatók fel: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Az egy ismeretlennel rendelkező egyenlőtlenségrendszerek megoldásai különféle numerikus halmazok. Ezeknek a készleteknek neve van. Így a számtengelyen az x számok halmazát úgy, hogy \(-2 \leq x \leq 3 \) a -2 és 3 pontokban végződő szakasz reprezentálja.

Ha \(a egy szegmens, és [a; b]

Ha \(a egy intervallum, és jelölése (a; b)

A \(x\) számhalmazok, amelyek kielégítik az \(a \leq x egyenlőtlenségeket, félintervallumok, és jelölésük [a; b) és (a; b])

Szegmenseket, intervallumokat, félintervallumokat és sugarakat nevezünk numerikus intervallumok.

Így a numerikus intervallumok egyenlőtlenségek formájában adhatók meg.

A két ismeretlenben lévő egyenlőtlenség megoldása egy számpár (x; y), amely az adott egyenlőtlenséget valódi numerikus egyenlőtlenséggé változtatja. Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldás halmazát. Így az x > y egyenlőtlenség megoldásai például (5; 3), (-1; -1) számpárok lesznek, mivel \(5 \geq 3 \) és \(-1 \geq - 1\)

Egyenlőtlenségi rendszerek megoldása

Már megtanultad megoldani a lineáris egyenlőtlenségeket egy ismeretlennel. Tudod, mi az egyenlőtlenségek rendszere és a rendszer megoldása? Ezért az egyenlőtlenségrendszerek egy ismeretlennel való megoldásának folyamata nem okoz nehézséget.

És mégis, emlékeztessünk: egy egyenlőtlenségrendszer megoldásához minden egyenlőtlenséget külön kell megoldani, majd meg kell találni a megoldások metszéspontját.

Például az eredeti egyenlőtlenségrendszert a következőre redukáltuk:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Ennek az egyenlőtlenségrendszernek a megoldásához jelölje meg az egyes egyenlőtlenségek megoldását a számegyenesen, és keresse meg a metszéspontjukat:

A metszéspont a [-2; 3] - ez a megoldás az eredeti egyenlőtlenségrendszerre.

Miután megkaptuk a kezdeti információkat a változókkal való egyenlőtlenségekről, áttérünk azok megoldásának kérdésére. Algoritmusokkal és példákkal elemezzük a lineáris egyenlőtlenségek egyváltozós megoldását és az összes megoldási módot. Csak az egyváltozós lineáris egyenleteket veszik figyelembe.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mi a lineáris egyenlőtlenség?

Először is meg kell határoznia egy lineáris egyenletet, és meg kell találnia a szabványos formáját, valamint azt, hogy miben fog különbözni a többitől. Az iskolai kurzusból azt kaptuk, hogy az egyenlőtlenségek között nincs alapvető különbség, ezért több definíciót kell használni.

1. definíció

Lineáris egyenlőtlenség egy változóval x egy a · x + b > 0 alakú egyenlőtlenség, ha a > helyett bármely egyenlőtlenségjelet használunk< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

2. definíció

Egyenlőtlenségek a x< c или a · x >c, ahol x egy változó, a és c pedig néhány szám, nevezzük lineáris egyenlőtlenségek egy változóval.

Mivel semmit nem mondanak arról, hogy az együttható lehet-e 0, ezért szigorú egyenlőtlenség 0 x > c és 0 x formájú< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Különbségeik a következők:

• az elsőben a · x + b > 0, a másodikban a · x > c – jelölések;
• az a együttható elfogadhatósága nullával egyenlő, a ≠ 0 - az elsőben, és a = 0 - a másodikban.

Úgy gondolják, hogy az a · x + b > 0 és a · x > c egyenlőtlenségek ekvivalensek, mert úgy kapják, hogy egy tagot egyik részből a másikba visznek át. A 0 x + 5 > 0 egyenlőtlenség megoldása oda vezet, hogy meg kell oldani, és az a = 0 eset nem fog működni.

3. definíció

Úgy gondolják, hogy egy x változóban lévő lineáris egyenlőtlenségek a forma egyenlőtlenségei a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0És a x + b ≥ 0, ahol a és b valós számok. Az x helyett egy szabályos szám is lehet.

A szabály alapján azt kapjuk, hogy 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 lineárisra redukálhatónak nevezzük.

Hogyan oldjuk meg a lineáris egyenlőtlenséget

Az ilyen egyenlőtlenségek megoldásának fő módja az, hogy ekvivalens transzformációkat használunk az x elemi egyenlőtlenségek megtalálásához< p (≤ , >, ≥) , p amely egy bizonyos szám, ha a ≠ 0, és a alakú< p (≤ , >, ≥) ha a = 0.

Egy változó egyenlőtlenségének megoldásához használhatja az intervallum módszert, vagy ábrázolhatja grafikusan. Ezek bármelyike ​​külön-külön is használható.

Egyenértékű transzformációk használata

Az a x + b alakú lineáris egyenlőtlenség megoldása< 0 (≤ , >, ≥), ekvivalens egyenlőtlenségi transzformációkat kell alkalmazni. Az együttható nulla lehet vagy nem. Tekintsük mindkét esetet. Ennek kiderítéséhez be kell tartania egy 3 pontból álló sémát: a folyamat lényegét, az algoritmust és magát a megoldást.

4. definíció

Algoritmus a lineáris egyenlőtlenség megoldására a x + b< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0 esetén

• a b szám az ellentétes előjelű egyenlőtlenség jobb oldalára kerül, ami lehetővé teszi, hogy megkapjuk az a x megfelelőt< − b (≤ , > , ≥) ;
• Az egyenlőtlenség mindkét oldalát el kell osztani egy számmal, amely nem egyenlő 0-val. Sőt, ha a pozitív, az előjel megmarad; ha a negatív, akkor az ellenkezőjére változik.

Tekintsük ennek az algoritmusnak az alkalmazását példák megoldására.

1. példa

Oldja meg a 3 x + 12 ≤ 0 alak egyenlőtlenségét!

Megoldás

Ennek a lineáris egyenlőtlenségnek a = 3 és b = 12. Ez azt jelenti, hogy x a együtthatója nem egyenlő nullával. Alkalmazzuk a fenti algoritmusokat és oldjuk meg.

A 12-es tagot át kell helyezni az egyenlőtlenség másik részébe, és meg kell változtatni az előtte lévő előjelet. Ekkor 3 x ≤ − 12 alakú egyenlőtlenséget kapunk. Mindkét részt el kell osztani 3-mal. Az előjel nem változik, mivel a 3 pozitív szám. Azt kapjuk, hogy (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, ami x ≤ − 4 eredményt ad.

Egy x ≤ − 4 alakú egyenlőtlenség ekvivalens. Vagyis 3 x + 12 ≤ 0 megoldása bármely valós szám, amely kisebb vagy egyenlő, mint 4. A választ x ≤ − 4 egyenlőtlenségként vagy a (− ∞, − 4] alakú numerikus intervallumként írjuk fel.

A fent leírt teljes algoritmus a következőképpen van megírva:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ – 12 ; x ≤ − 4 .

Válasz: x ≤ − 4 vagy (− ∞ , − 4 ] .

2. példa

Jelölje meg a − 2, 7 · z > 0 egyenlőtlenség összes elérhető megoldását.

Megoldás

A feltételből azt látjuk, hogy a z együtthatója egyenlő -2,7, és b kifejezetten hiányzik, vagy egyenlő nullával. Nem használhatja az algoritmus első lépését, hanem azonnal lépjen tovább a másodikra.

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a 2, 7 számmal. Mivel a szám negatív, az egyenlőtlenség előjelét meg kell fordítani. Vagyis azt kapjuk, hogy (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Írjuk le röviden a teljes algoritmust:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Válasz: z< 0 или (− ∞ , 0) .

3. példa

Oldja meg a - 5 x - 15 22 ≤ 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás

A feltétel szerint azt látjuk, hogy meg kell oldani az a együtthatós egyenlőtlenséget az x változóra, amely egyenlő -5, a b együtthatóval, amely a - 15 22 törtnek felel meg. Az egyenlőtlenséget az algoritmus követésével kell megoldani, azaz: mozgassuk a - 15 22-t egy másik, ellentétes előjelű részre, osszuk el mindkét részt -5-tel, változtassuk meg az egyenlőtlenség előjelét:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

A jobb oldali utolsó átmenet során a szám különböző előjelekkel való osztásának szabályát alkalmazzuk 15 22: - 5 = - 15 22: 5, majd a közönséges törtet elosztjuk a természetes számmal - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Válasz: x ≥ - 3 22 és [ - 3 22 + ∞) .

Tekintsük azt az esetet, amikor a = 0. Az a x + b alak lineáris kifejezése< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Minden az egyenlőtlenség megoldásának meghatározásán alapul. Bármely x értékre b alakú numerikus egyenlőtlenséget kapunk< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Minden ítéletet egy algoritmus formájában fogunk figyelembe venni a 0 x + b lineáris egyenlőtlenségek megoldására< 0 (≤ , > , ≥) :

5. definíció

A forma numerikus egyenlőtlensége b< 0 (≤ , >, ≥) igaz, akkor az eredeti egyenlőtlenségnek bármilyen értékre van megoldása, és hamis, ha az eredeti egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

4. példa

Oldja meg a 0 x + 7 > 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás

Ez a 0 x + 7 > 0 lineáris egyenlőtlenség bármilyen x értéket felvehet. Ekkor 7 > 0 alakú egyenlőtlenséget kapunk. Az utolsó egyenlőtlenséget igaznak tekintjük, ami azt jelenti, hogy bármilyen szám lehet a megoldása.

Válasz: intervallum (− ∞ , + ∞) .

5. példa

Keress megoldást a 0 x − 12, 7 ≥ 0 egyenlőtlenségre.

Megoldás

Bármely szám x változójának behelyettesítésekor azt kapjuk, hogy az egyenlőtlenség − 12, 7 ≥ 0 alakot ölt. Ez helytelen. Vagyis 0 x − 12, 7 ≥ 0-nak nincs megoldása.

Válasz: nincsenek megoldások.

Tekintsük olyan lineáris egyenlőtlenségek megoldását, ahol mindkét együttható nulla.

6. példa

Határozzuk meg a feloldhatatlan egyenlőtlenséget 0 x + 0 > 0 és 0 x + 0 ≥ 0 értékekből.

Megoldás

Ha x helyett tetszőleges számot helyettesítünk, akkor két 0 > 0 és 0 ≥ 0 alakú egyenlőtlenséget kapunk. Az első helytelen. Ez azt jelenti, hogy 0 x + 0 > 0-nak nincs megoldása, 0 x + 0 ≥ 0-nak pedig végtelen sok megoldása van, azaz tetszőleges szám.

Válasz: a 0 x + 0 > 0 egyenlőtlenségnek nincs megoldása, de a 0 x + 0 ≥ 0-nak vannak megoldásai.

Ezt a módszert az iskolai matematika tantárgy tárgyalja. Az intervallum módszer különféle típusú egyenlőtlenségeket képes feloldani, beleértve a lineárisokat is.

Az intervallum módszert lineáris egyenlőtlenségekre alkalmazzuk, ha az x együttható értéke nem egyenlő 0-val. Ellenkező esetben más módszerrel kell számolnia.

6. definíció

Az intervallum módszere a következő:

• az y = a · x + b függvény bevezetése;
• nullák keresése a definíciós tartomány intervallumokra való felosztásához;
• fogalmaik jeleinek meghatározása intervallumokon.

Állítsunk össze egy algoritmust az a x + b lineáris egyenletek megoldására< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0 esetén az intervallum módszerrel:

• az y = a · x + b függvény nulláinak megtalálása egy a · x + b = 0 alakú egyenlet megoldásához. Ha a ≠ 0, akkor a megoldás egyetlen gyök lesz, amely x 0 jelölést vesz fel;
• koordinátaegyenes felépítése x 0 koordinátájú pont képével, szigorú egyenlőtlenséggel a pontot kilyukasztott, nem szigorú egyenlőtlenséggel – árnyékolttal jelöljük;
• az y = a · x + b függvény előjeleinek meghatározása intervallumokon; ehhez meg kell találni a függvény értékeit az intervallumon lévő pontokban;
• egyenlőtlenség megoldása > vagy ≥ előjelekkel a koordinátaegyenesen, árnyékolás hozzáadásával a pozitív intervallumhoz,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Nézzünk meg néhány példát a lineáris egyenlőtlenségek intervallummódszerrel történő megoldására.

6. példa

Oldja meg a − 3 x + 12 > 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás

Az algoritmusból következik, hogy először meg kell találni a − 3 x + 12 = 0 egyenlet gyökerét. Azt kapjuk, hogy − 3 · x = − 12 , x = 4 . Egy koordinátavonalat kell húzni, ahol a 4-es pontot jelöljük. Kiszúrják, mert szigorú az egyenlőtlenség. Tekintsük az alábbi rajzot.

Időközönként meg kell határozni a jeleket. A (− ∞, 4) intervallumon történő meghatározásához ki kell számítani az y = − 3 x + 12 függvényt x = 3-nál. Innen azt kapjuk, hogy − 3 3 + 12 = 3 > 0. Az intervallum előjele pozitív.

Meghatározzuk az előjelet a (4, + ∞) intervallumból, majd behelyettesítjük az x = 5 értékkel. Megvan, hogy − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Az egyenlőtlenséget a > előjellel oldjuk meg, és az árnyékolást a pozitív intervallumon keresztül hajtjuk végre. Tekintsük az alábbi rajzot.

A rajzból jól látható, hogy a kívánt megoldás (− ∞ , 4) vagy x alakú< 4 .

Válasz: (− ∞ , 4) vagy x< 4 .

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan kell grafikusan ábrázolni, 4 lineáris egyenlőtlenséget kell példaként figyelembe venni: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 és 0, 5 x − 1 ≥ 0. Megoldásaik x értékei lesznek< 2 , x ≤ 2 , x >2 és x ≥ 2. Ehhez ábrázoljuk az alább látható y = 0, 5 x − 1 lineáris függvényt.

Ez egyértelmű

7. definíció

• a 0, 5 x − 1 egyenlőtlenség megoldása< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• a 0, 5 x − 1 ≤ 0 megoldást annak az intervallumnak tekintjük, ahol az y = 0, 5 x − 1 függvény kisebb, mint O x, vagy egybeesik;
• a 0, 5 · x − 1 > 0 megoldást intervallumnak tekintjük, a függvény O x felett helyezkedik el;
• a 0, 5 · x − 1 ≥ 0 megoldást annak az intervallumnak tekintjük, ahol az O x vagy feletti grafikon egybeesik.

Az egyenlőtlenségek grafikus megoldásának lényege, hogy megtaláljuk azokat az intervallumokat, amelyeket a grafikonon ábrázolni kell. Ebben az esetben azt találjuk, hogy a bal oldalon y = a · x + b, a jobb oldalon pedig y = 0, és egybeesik O x-szel.

Az y = a x + b függvény grafikonját ábrázoljuk:

• miközben megoldjuk az a x + b egyenlőtlenséget< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• az a · x + b ≤ 0 egyenlőtlenség megoldásakor azt az intervallumot határozzuk meg, ahol a grafikon az O x tengelye alatt van ábrázolva, vagy ahol egybeesik;
• az a · x + b > 0 egyenlőtlenség megoldása során azt az intervallumot határozzuk meg, ahol a grafikon O x felett van ábrázolva;
• Az a · x + b ≥ 0 egyenlőtlenség megoldásakor azt az intervallumot határozzuk meg, ahol a grafikon O x felett van, vagy egybeesik.

7. példa

Oldja meg a - 5 · x - 3 > 0 egyenlőtlenséget grafikon segítségével.

Megoldás

Szükséges a - 5 · x - 3 > 0 lineáris függvény grafikonjának elkészítése. Ez az egyenes csökken, mert x együtthatója negatív. Az O x - 5 · x - 3 > 0 metszéspontjának koordinátáinak meghatározásához a - 3 5 értéket kapjuk. Ábrázoljuk grafikusan.

A > jelű egyenlőtlenséget megoldva, akkor az O x feletti intervallumra kell figyelni. Jelöljük ki pirossal a sík kívánt részét, és kapjuk meg

A szükséges rés az O x piros rész. Ez azt jelenti, hogy a nyílt számsugár - ∞ , - 3 5 az egyenlőtlenség megoldása lesz. Ha a feltétel szerint nem szigorú egyenlőtlenségünk lenne, akkor a pont értéke - 3 5 is megoldás lenne az egyenlőtlenségre. És egybeesne O x-szel.

Válasz: - ∞ , - 3 5 vagy x< - 3 5 .

A grafikus megoldást akkor használjuk, ha a bal oldal az y = 0 x + b függvénynek felel meg, azaz y = b. Ekkor az egyenes párhuzamos lesz O x-szel, vagy egybeesik b = 0-val. Ezek az esetek azt mutatják, hogy az egyenlőtlenségnek nincs megoldása, vagy a megoldás tetszőleges szám lehet.

8. példa

Határozzuk meg a 0 x + 7 egyenlőtlenségekből!< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Megoldás

Az y = 0 x + 7 ábrázolása y = 7, ekkor egy koordinátasíkot adunk meg egy O x-el párhuzamos és O x feletti egyenessel. Tehát 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Az y = 0 x + 0 függvény grafikonját y = 0-nak tekintjük, vagyis az egyenes egybeesik O x-szel. Ez azt jelenti, hogy a 0 x + 0 ≥ 0 egyenlőtlenségnek sok megoldása van.

Válasz: A második egyenlőtlenségnek van megoldása bármely x értékre.

Lineárisra redukáló egyenlőtlenségek

Az egyenlőtlenségek megoldása egy lineáris egyenlet megoldására redukálható, amelyeket lineárissá redukáló egyenlőtlenségeknek nevezünk.

Ezeket az egyenlőtlenségeket az iskolai kurzusban figyelembe vettük, mivel ezek az egyenlőtlenségek feloldásának speciális esetei, ami zárójelek nyitásához és a hasonló kifejezések csökkentéséhez vezetett. Vegyük például, hogy 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

A fent megadott egyenlőtlenségeket mindig lineáris egyenletté redukáljuk. Ezt követően kinyitják a zárójeleket, és hasonló kifejezéseket adnak meg, áthelyezve a különböző részekből, megváltoztatva a jelet az ellenkezőjére.

Amikor az 5 − 2 x > 0 egyenlőtlenséget lineárisra redukáljuk, úgy ábrázoljuk, hogy alakja − 2 x + 5 > 0, a másodperc csökkentésére pedig azt kapjuk, hogy 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Meg kell nyitni a zárójeleket, hasonló kifejezéseket hozni, az összes kifejezést balra kell mozgatni, és hasonló kifejezéseket kell hozni. Ez így néz ki:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Ez a megoldás egy lineáris egyenlőtlenséghez vezet.

Ezeket az egyenlőtlenségeket lineárisnak tekintjük, mivel azonos megoldási elvűek, ami után lehetőség van elemi egyenlőtlenségekre redukálni.

Az ilyen típusú egyenlőtlenség megoldásához lineárisra kell redukálni. Ezt így kell megtenni:

9. definíció

• nyitott zárójelek;
• gyűjtsön változókat a bal oldalon és számokat a jobb oldalon;
• hasonló kifejezéseket adjon meg;
• ossza el mindkét oldalát x együtthatójával.

9. példa

Oldja meg az 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 egyenlőtlenséget.

Megoldás

Kinyitjuk a zárójeleket, ekkor 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 alakú egyenlőtlenséget kapunk. A hasonló tagok redukálása után azt kapjuk, hogy 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Miután a kifejezéseket balról jobbra mozgatjuk, azt kapjuk, hogy 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Ebből következik, hogy a 0 x + 32 ≤ 0 kiszámításával kapott egyenlőtlenség 32 ≤ 0. Látható, hogy az egyenlőtlenség hamis, ami azt jelenti, hogy a feltétel által adott egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

Válasz: nincs megoldás.

Érdemes megjegyezni, hogy sok más típusú egyenlőtlenség is levezethető lineáris vagy a fent bemutatott típusú egyenlőtlenségekre. Például 5 2 x − 1 ≥ 1 egy exponenciális egyenlet, amely 2 x − 1 ≥ 0 lineáris formájú megoldásra redukálódik. Ezeket az eseteket fogjuk figyelembe venni az ilyen típusú egyenlőtlenségek megoldása során.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt