DEFINĪCIJA

Decimālais logaritms sauc par 10 bāzes logaritmu:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Šis logaritms ir eksponenciālā vienādojuma risinājums. Dažreiz (īpaši ārzemju literatūrā) decimāllogaritms tiek apzīmēts arī kā , lai gan pirmie divi apzīmējumi ir raksturīgi arī naturālajam logaritmam.

Pirmās decimālo logaritmu tabulas 1617. gadā publicēja angļu matemātiķis Henrijs Brigss (1561-1630) (tādēļ ārzemju zinātnieki decimāllogaritmus bieži sauc arī par Brigsu), taču šajās tabulās bija kļūdas. Balstoties uz slovēņu un austriešu matemātiķa Georga Bartalomeja Vega (Juri Veha jeb Vehovec, 1754-1802) tabulām (1783), 1857. gadā vācu astronoms un mērnieks Karls Bremikers (1804-1877) publicēja pirmo bezkļūdu izdevumu. Piedaloties krievu matemātiķim un skolotājam Leontijam Filippovičam Magņitskim (Teļjatins jeb Teļašins, 1669-1739), 1703. gadā Krievijā tika izdotas pirmās logaritmu tabulas. Decimāllogaritmi tika plaši izmantoti aprēķiniem.

Decimāllogaritmu īpašības

Šim logaritmam ir visas logaritmam raksturīgās īpašības uz patvaļīgu bāzi:

1. Pamata logaritmiskā identitāte:

5. .

7. Pāreja uz jaunu bāzi:

Decimālā logaritma funkcija ir funkcija. Šīs līknes grafiku bieži sauc logaritmisks.

Funkcijas y=lg x īpašības

1) Definīcijas darbības joma: .

2) vairākas nozīmes: .

3) Vispārējā funkcija.

4) Funkcija ir neperiodiska.

5) Funkcijas grafiks krustojas ar x asi punktā .

6) Zīmes noturības intervāli: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} ka priekš .

Viņi bieži izmanto skaitli desmit. Tiek izsaukti skaitļu logaritmi, kuru pamatā ir desmitā bāze decimālzīme. Veicot aprēķinus ar decimālo logaritmu, ierasts operēt ar zīmi lg, bet ne žurnāls; šajā gadījumā skaitlis desmit, kas nosaka bāzi, nav norādīts. Jā, nomainīsim žurnāls 10 105 uz vienkāršotu lg105; A žurnāls 10 2 ieslēgts lg2.

Priekš decimāllogaritmi raksturīgas tās pašas pazīmes, kas piemīt logaritmiem, kuru bāze ir lielāka par vienu. Proti, decimāllogaritmus raksturo tikai pozitīviem skaitļiem. Skaitļu decimāllogaritmi, kas lielāki par vienu, ir pozitīvi, bet skaitļiem, kas mazāki par vienu, ir negatīvi; No diviem nenegatīviem skaitļiem lielākais ir līdzvērtīgs lielākam decimāllogaritmam utt. Turklāt decimāllogaritmiem ir atšķirīgas iezīmes un īpatnības, kas izskaidro, kāpēc ir ērti dot priekšroku skaitlim desmit kā logaritmu bāzi.

Pirms šo īpašību izpētes, iepazīsimies ar šādiem formulējumiem.

Skaitļa decimāllogaritma vesela daļa A tiek saukts raksturīgs, un daļskaitlis ir mantisašis logaritms.

Skaitļa decimāllogaritma raksturojums A ir norādīta kā , bet mantisa kā (lg A}.

Pieņemsim, teiksim, log 2 ≈ 0,3010 attiecīgi = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Tāpat log 543.1 ≈2.7349. Attiecīgi = 2, (log 543,1)≈ 0,7349.

Plaši tiek izmantots pozitīvo skaitļu decimāllogaritmu aprēķins no tabulām.

Decimāllogaritmu raksturīgās pazīmes.

Pirmā decimāllogaritma zīme. nenegatīvs vesels skaitlis, ko attēlo viens un kam seko nulles, ir pozitīvs vesels skaitlis, kas vienāds ar nulles skaitu atlasītā skaitļa ierakstā .

Pieņemsim, ka log 100 = 2, log 1 00 000 = 5.

Vispārīgi runājot, ja

Tas A= 10n , no kuras mēs iegūstam

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Otrā zīme. Pozitīvas decimāldaļas desmit logaritms, kas parādīts kā viens ar nullēm sākumā, ir - P, Kur P- nullju skaits šī skaitļa attēlojumā, ņemot vērā nulles veselus skaitļus.

Apsvērsim , log 0,001 = - 3, log 0,000001 = -6.

Vispārīgi runājot, ja

,

Tas a= 10-n un izrādās

lga= lg 10n =-n log 10 =-n

Trešā zīme. Nenegatīva skaitļa, kas lielāks par vienu, decimāllogaritma raksturlielums ir vienāds ar ciparu skaitu šī skaitļa veselajā daļā, izņemot vienu.

Analizēsim šo pazīmi: 1) Logaritma lg 75.631 raksturlielums ir vienāds ar 1.

Patiešām, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Tas nozīmē,

log 75,631 = 1 + b,

Decimāldaļas maiņa decimāldaļdaļā pa labi vai pa kreisi ir līdzvērtīga darbībai šīs daļdaļas reizināšanai ar desmit pakāpju ar veselu eksponentu P(pozitīvs vai negatīvs). Un tāpēc, kad decimālpunkts pozitīvā decimāldalībā tiek pārvietots pa kreisi vai pa labi, šīs daļdaļas decimāllogaritma mantisa nemainās.

Tātad (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Tātad, mums ir divas pilnvaras. Ja ņemat skaitli no apakšējās rindas, varat viegli atrast jaudu, līdz kurai jums būs jāpaaugstina divi, lai iegūtu šo skaitli. Piemēram, lai iegūtu 16, jums jāpaaugstina divi līdz ceturtajai pakāpei. Un, lai iegūtu 64, jums jāpaaugstina divi līdz sestajai pakāpei. To var redzēt no tabulas.

Un tagad, faktiski, logaritma definīcija:

X logaritma bāze ir jauda, ​​līdz kurai a jāpalielina, lai iegūtu x.

Apzīmējums: log a x = b, kur a ir bāze, x ir arguments, b ir tas, ar ko faktiski ir vienāds ar logaritmu.

Piemēram, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2. bāzes logaritms no 8 ir trīs, jo 2 3 = 8). Ar tādiem pašiem panākumiem log 2 64 = 6, jo 2 6 = 64.

Darbību, ar kuru tiek atrasts skaitļa logaritms noteiktai bāzei, sauc par logaritmizāciju. Tātad, pievienosim mūsu tabulai jaunu rindu:

Diemžēl ne visus logaritmus var aprēķināt tik vienkārši. Piemēram, mēģiniet atrast log 2 5. Skaitlis 5 nav tabulā, bet loģika nosaka, ka logaritms atradīsies kaut kur intervālā. Tā kā 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Šādus skaitļus sauc par iracionāliem: skaitļus aiz komata var rakstīt bezgalīgi, un tie nekad neatkārtojas. Ja logaritms izrādās neracionāls, labāk to atstāt šādi: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ir svarīgi saprast, ka logaritms ir izteiksme ar diviem mainīgajiem (bāze un arguments). Daudzi cilvēki sākumā sajauc, kur ir pamats un kur ir arguments. Lai izvairītos no kaitinošiem pārpratumiem, vienkārši apskatiet attēlu:

[Paraksts attēlam]

Mūsu priekšā ir nekas vairāk kā logaritma definīcija. Atcerieties: logaritms ir spēks, kurā jāiebūvē bāze, lai iegūtu argumentu. Tā ir bāze, kas tiek pacelta līdz jaudai - attēlā tā ir izcelta sarkanā krāsā. Izrādās, ka pamatne vienmēr ir apakšā! Es saviem skolēniem pastāstu šo brīnišķīgo likumu jau pirmajā stundā – un nerodas apjukums.

Esam izdomājuši definīciju – atliek vien iemācīties skaitīt logaritmus, t.i. atbrīvoties no "baļķa" zīmes. Vispirms mēs atzīmējam, ka no definīcijas izriet divi svarīgi fakti:

1. Argumentam un bāzei vienmēr jābūt lielākam par nulli. Tas izriet no pakāpes definīcijas ar racionālu eksponentu, līdz kuram tiek reducēta logaritma definīcija.
2. Pamatnei ir jāatšķiras no vienas, jo viena jebkurā pakāpē joprojām paliek viena. Šī iemesla dēļ jautājums “uz kādu spēku jāpaceļ viens, lai iegūtu divus” ir bezjēdzīgs. Tāda grāda nav!

Tādus ierobežojumus sauc pieļaujamo vērtību diapazons(ODZ). Izrādās, ka logaritma ODZ izskatās šādi: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Ņemiet vērā, ka skaitlim b (logaritma vērtība) nav ierobežojumu. Piemēram, logaritms var būt negatīvs: log 2 0,5 = −1, jo 0,5 = 2–1.

Taču tagad tiek aplūkotas tikai skaitliskās izteiksmes, kur nav nepieciešams zināt logaritma VA. Visus ierobežojumus problēmu autori jau ir ņēmuši vērā. Bet, kad stājas spēkā logaritmiskie vienādojumi un nevienādības, DL prasības kļūs obligātas. Galu galā pamats un arguments var saturēt ļoti spēcīgas konstrukcijas, kas ne vienmēr atbilst iepriekš minētajiem ierobežojumiem.

Tagad apskatīsim vispārējo logaritmu aprēķināšanas shēmu. Tas sastāv no trim soļiem:

1. Izsakiet bāzi a un argumentu x kā pakāpju ar minimālo iespējamo bāzi, kas lielāka par vienu. Pa ceļam labāk ir atbrīvoties no decimālzīmēm;
2. Atrisiniet mainīgā b vienādojumu: x = a b ;
3. Iegūtais skaitlis b būs atbilde.

Tas ir viss! Ja logaritms izrādīsies neracionāls, tas būs redzams jau pirmajā solī. Prasība, ka bāzei jābūt lielākai par vienu, ir ļoti svarīga: tas samazina kļūdu iespējamību un ievērojami vienkāršo aprēķinus. Līdzīgi ir ar decimāldaļskaitļiem: ja jūs tās nekavējoties pārveidosit par parastajām daļām, kļūdu būs daudz mazāk.

Apskatīsim, kā šī shēma darbojas, izmantojot konkrētus piemērus:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 5 25

1. Iedomāsimies bāzi un argumentu kā pieci pakāpju: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
2. Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Mēs saņēmām atbildi: 2.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu:

[Paraksts attēlam]

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 4 64

1. Iedomāsimies bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Mēs saņēmām atbildi: 3.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 16 1

1. Iedomāsimies bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Mēs saņēmām atbildi: 0.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 7 14

1. Iedomāsimies bāzi un argumentu kā septiņu pakāpju: 7 = 7 1 ; 14 nevar attēlot kā septiņu pakāpju, jo 7 1< 14 < 7 2 ;
2. No iepriekšējās rindkopas izriet, ka logaritms netiek skaitīts;
3. Atbilde ir bez izmaiņām: žurnāls 7 14.

Neliela piezīme par pēdējo piemēru. Kā jūs varat būt pārliecināts, ka skaitlis nav precīzs cita skaitļa pakāpe? Tas ir ļoti vienkārši — vienkārši iekļaujiet to galvenajos faktoros. Un, ja šādus faktorus nevar savākt pakāpēs ar vienādiem eksponentiem, tad sākotnējais skaitlis nav precīzs pakāpe.

Uzdevums. Uzziniet, vai skaitļi ir precīzas pilnvaras: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - precīza pakāpe, jo ir tikai viens reizinātājs;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nav precīza jauda, ​​jo ir divi faktori: 3 un 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - precīza pakāpe;
35 = 7 · 5 - atkal nav precīza jauda;
14 = 7 · 2 - atkal nav precīza pakāpe;

Ņemiet vērā arī to, ka paši pirmskaitļi vienmēr ir paši precīzas pilnvaras.

Decimālais logaritms

Daži logaritmi ir tik izplatīti, ka tiem ir īpašs nosaukums un simbols.

X decimālais logaritms ir logaritms līdz 10. bāzei, t.i. Jauda, ​​līdz kurai jāpalielina skaitlis 10, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: lg x.

Piemēram, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - utt.

Turpmāk, kad mācību grāmatā parādās tāda frāze kā “Atrast lg 0.01”, ņemiet vērā, ka tā nav drukas kļūda. Šis ir decimālais logaritms. Tomēr, ja neesat pazīstams ar šo apzīmējumu, vienmēr varat to pārrakstīt:
log x = log 10 x

Viss, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem, attiecas arī uz decimāllogaritmiem.

Dabiskais logaritms

Ir vēl viens logaritms, kam ir savs apzīmējums. Dažos veidos tas ir pat svarīgāks par decimāldaļu. Mēs runājam par naturālo logaritmu.

X naturālais logaritms ir logaritms uz bāzi e, t.i. jauda, ​​līdz kurai jāpalielina skaitlis e, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: ln x .

Daudzi jautās: kāds ir cipars e? Tas ir iracionāls skaitlis, kura vērtību nevar atrast un pierakstīt. Es sniegšu tikai pirmos skaitļus:
e = 2,718281828459...

Mēs neiedziļināsimies sīkāk par to, kas ir šis numurs un kāpēc tas ir vajadzīgs. Vienkārši atcerieties, ka e ir dabiskā logaritma bāze:
ln x = log e x

Tādējādi ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - utt. No otras puses, ln 2 ir iracionāls skaitlis. Kopumā jebkura racionāla skaitļa naturālais logaritms ir iracionāls. Protams, izņemot vienu: ln 1 = 0.

Dabiskajiem logaritmiem ir spēkā visi noteikumi, kas ir spēkā parastajiem logaritmiem.