Неверные равенства и верные неравенства. Понятие равенства, знак равенства, связанные определения. Работа на доске

1. Понятие равенства и неравенства

2. Свойства равенств и неравенств. Примеры решения равенств и неравенств

Числовые равенства и неравенства

Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f = g , которое называют числовым равенством.

Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 - 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 - 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = = 7-3. Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство - это высказывание, истинное или ложное.

Числовое равенство истинно, если значения числовых выражении, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.

Свойства равенств и неравенств

Напомним некоторые свойства истинных числовых равенств.

1. Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

2. Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f > g (или f < g), которое называют числовым неравенством.

Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7. Если соеди­нить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравен­ство 6 + 2 < 13-7. Таким образом, с логической точки зрения число­вое неравенство - это высказывание, истинное или ложное.

Числовые неравенства обладают рядом свойств. Рассмотрим неко­торые.

1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.

2. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.

3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство.

Упражнения

1. Установите, какие из следующих числовых равенств и нера­венств истинны:

а) (5,05: 1/40 - 2,8 ·5/6) ·3 +16·0,1875 = 602;

б) (1/14 – 2/7) : (-3) – 6 1/13: (-6 1/13)> (7- 8 4/5) ·2 7/9 – 15: (1/8 – 3/4);

в) 1,0905:0,025 - 6,84·3,07 + 2,38:100 < 4,8:(0,04·0,006).

2. Проверьте, истинны ли числовые равенства: 13 93 = 31 39, 14 82 = 41 28, 23 64 = 32 46. Можно ли утверждать, что произведение лю­бых двух натуральных чисел не изменится, если в каждом множителе переставить цифры?

3. Известно, что х > у - истинное неравенство. Будут ли истинными следующие неравенства:

a)2х > 2у; в) 2х-7< 2у-7;

б)-x /3<-y /3; г)-2х-7<-2у-7?

4. Известно, что а < b - истинное неравенство. Поставьте вместо * знак «>» или «<» так, чтобы получилось истинное неравенство:

а) -3,7a * -3,7b ; г) –a /3 * -b /3 ;

б) 0,12а * 0,12b ; д) -2(а + 5) * -2(b + 5);

в)a /7 * b /7; е) 2/7 (a -1) * 2/7 (b -1).

5. Дано неравенство 5 > 3. Умножьте обе его части на 7; 0,1; 2,6; 3/4. Можно ли на основании полученных результатов утверждать, что для любого положительного числа а неравенство > 3а истинно?

6. Выполните задания, которые предназначаются ученикам на­чальных классов, и сделайте вывод о том, как трактуются в началь­ном курсе математики понятия числового равенства и числового не­ равенства.

Класс: 3

Презентация к уроку












Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: открытие новых знаний.

Технология: технология развития критического мышления через чтение и письмо, игровая технология.

Цели: Расширить знания учащихся о равенствах и неравенствах, познакомить с понятием верных и неверных равенств и неравенств.

Дидактическая задача: Организовать совместную, самостоятельную деятельность учащихся по изучению нового материала.

Задачи урока:

  1. Предметные :
    • познакомить с признаками равенства и неравенства; расширить представления учащихся о равенствах и неравенствах;
    • познакомить с понятием верного и неверного равенства и неравенства;
    • развитие навыков нахождения значения выражения, содержащего переменную;
    • формирование вычислительных навыков.
  2. Метапредметные :
    1. Познавательные:
      • способствовать развитию внимания, памяти, мышления;
      • развитие умения извлекать информацию, ориентироваться в своей системе знаний и осознавать необходимость нового знания;
      • овладение приемами отбора и систематизации материала, уменими сопоставлять и сравнивать, преобразовывать информацию (в схему, таблицу).
    2. Регулятивные:
      • развитие зрительного восприятия;
      • продолжить работу над формированием действий самоконтроля и самооценки учащихся;
    3. Коммуникативные:
      • пронаблюдать над взаимодействием детей в парах, внести необходимые коррективы;
      • воспитывать взаимопомощь.
  3. Личностные :
    • повышение учебной мотивации учащихся путем использования на уроке интерактивной школьной доски Star Board;
    • совершенствование навыков работы со Star Board.

Оборудование:

  • Учебник «Математика» 3 класс, 2часть (Л.Г. Петерсон);
  • индивидуальный раздаточный лист ;
  • карточки для работы в парах;
  • презентация к уроку, выведенная на панель Star Board;
  • компьютер, проектор, панель Star Board.

Ход урока

I. Организационный момент.

И так, друзья, внимание.
Ведь прозвенел звонок
Садитесь поудобнее,
Начнем скорей урок!

II. Устный счет.

– Сегодня мы отправимся с вами в гости. Прослушав стихотворение, вы сможете назвать имя хозяйки. (Чтение стихотворение ученицей)

В веках математика овеяна славой,
Светило всех земных светил.
Ее царицей величавой
Недаром Гаусс окрестил.
Мы славим разум человека,
Дела его волшебных рук,
Надежду нынешнего века,
Царицу всех земных наук.

– И так, нас ждет Математика. В её царстве много княжеств, но сегодня мы посетим одно из них (слайд 4)

– Название княжества вы узнаете, решив примеры и расставив ответы в порядке возрастания. (Высказывание )

7200: 90 = 80 С 280: 70 = 4 И
5400: 9 = 600 Ы 3500: 70 = 50 З
2700: 300 = 9 В 4900: 700 = 7 А
4800: 80 = 60 А 1600: 40 = 40 Ы
560: 8 = 70 К 1800: 600 = 3 Е
4200: 6 = 700 В 350: 70 = 5 Н

– Давайте вспомним, что такое высказывание? (Утверждение )

– Каким может быть высказывание? (Верным или неверным)

– Мы сегодня с вами будем работать с математическими высказываниями. Что к ним относится? (выражение, равенства, неравенства, уравнения)

III. Стадия 1. ВЫЗОВ. Подготовка к изучению нового.

(слайд 5 см. примечание)

– Княжна Высказывание предлагае вам первое испытание.

– Перед вами карточки. Найдите лишнюю карточку, покажите (а + 6 – 45 * 2).

– Почему она лишняя? (Выражение)

– Является ли выражение законченным утверждением? (Нет, не является, т.к. оно не доведено до логического завершения)

– А что такое равенство и неравенство, можно ли их назвать высказыванием?

– Назовите верные равенства.

– Как по-другому назвать верные равенства? (истинные)

– А неверные? (ложные)

– О каких равенствах нельзя сказать, что они истинные? (с переменной)

– Математика постоянно учит нас доказывать истинность или ложность наших высказываний.

IV. Сообщение цели урока.

– И сегодня мы должны узнать, что такое равенство и неравенство и научиться определять их истинность и ложность.

– Перед вами высказывания. Прочитайте их внимательно. Если вы считаете, его верным, то поставьте в первом столбике «+», если нет – «–».

До чтения После чтения
Равенства – это два выражения, соединенных знаком «=»
Выражения могут быть числовыми и буквенными.
Если два выражения числовые, то равенство является высказыванием.
Числовые равенства могут быть истинными или ложными.
6 * 3 = 18 – верное числовое равенство
16: 3 = 8 – неверное числовое равенство
Два выражения, соединенных знаком «>» или «<» - неравенство.
Числовые неравенства являются высказываниями.

Коллективная проверка с обоснованием своего предположения.

V. Стадия 2. ОСМЫСЛЕНИЕ. Изучение нового.

– Как мы можем проверить, верны ли наши предположения.

(учебник с. 74.)

– Что же такое равенство?

– Что же такое неравенство?

– Мы выполнили задание княжны Высказывание, и в награду она приглашает нас на праздник.

VI. Физкультминутка.

VII. Стадия 3. РЕФЛЕКСИЯ-РАЗМЫШЛЕНИЯ

1. с. 75, 5 (выведен на экран) (слайд 8)

– Прочитайте задание, что надо сделать?

8 + 12 = 20 а > b
8 + 12 + 20 а – b
8 + 12 > 20 а + b = с
20 = 8 + 12 а + b * с

– Сколько равенств подчеркнули? Проверим.

– Сколько неравенст?

– Что помогло выполнить задание? (знаки «=», «>», «<»)

– Почему остались не подчеркнутые записи? (выражения)

2. Игра «Молчанка» (слайд 9)

(Учащиеся на узких полосках записывают равенства и показывают учителю, затем проверяют себя).

Запиши в виде равенства высказывание:

  • 5 больше 3 на 2 (5 – 3 = 2)
  • 12 больше 2 в 6 раз (12: 2 = 6)
  • х меньше у на 3 (у – х = 3)

3. Решение уравнений (слайд 10)

– Что перед нами? (уравнения, равенства)

– Можем ли мы сказать верные они или ложные? (нет, есть переменная)

– Как найти, при каком значении переменной верны равенства? (решить)

  • 1 колонка – 1 столбик
  • 2 колонка – 2 столбик
  • 3 колонка – 3 столбик

Поменяйтесь тетрадями и проверьте работу своего товарища. Оцените.

VIII. Итог урока.

– С какими понятиями мы сегодня работали?

– Какими могут быть равенства? (ложными или истинными)

– Как вы думаете, только ли на уроках математики надо уметь отличать ложные высказывания от истинных? (Человек в своей жизни очень много сталкивается с различной информацией, и надо уметь отделять истинную от ложной).

IX. Оценивание работы учащихся и выставление отметок.

– За что нас может благодарить царица Математика?

Примечание. Если учитель использует интерактивную школьную доску Star Board, данный слайд заменяется карточками, набранными на доске. При проверке учащиеся работают на доске.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение города Иркутска средняя общеобразовательная школа № 23

Урок разработала: .

Тип урока : урок открытия нового знания.

Технология построения урока : технология развития критического мышления. Системно-деятельностный подход, здоровьесберегающие технологии.

Тема урока: Верные и неверные равенства и неравенства.

Цели урока : учить находить (распознавать) верные и неверные равенства и неравенства.
Закрепить умение записывать равенства и неравенства с помощью символов. Формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать по разным основаниям, моделировать выбор способов деятельности, группировать.
Развивать умение спрашивать, интересоваться чужим мнением и высказывать своё; вступать в диалог.

Основные термины, понятия : равенства, неравенства, верные, неверные, сравнение., знаки «больше», «меньше», «равно».

Планируемые результаты:
- учащиеся должны иметь представление о верных и неверных неравенствах;
- учащиеся должны иметь общее понятие о верных и неверных равенствах;
- учащиеся должны распознавать верные и неверные равенства и верные и неверные неравенства;
- учащиеся должны уметь провести анализ предложенной ситуации;
- учащиеся должны уметь воспроизводить полученные знания.

Личностные УУД:
- определять общие для всех правила поведения;
- определять правила работы в парах;
- оценивать усваиваемое содержание учебного материала (исходя из личностных ценностей);
- устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.

Регулятивные УУД:
- определять и формулировать цель деятельности на уроке ;
- формулировать учебные задачи, делать выводы;
- работать по предложенному плану, инструкции;
- высказывать свое предположение на основе учебного материала;
- отличать верно выполненное задание от неверного.

Познавательные УУД:
- ориентироваться в учебнике, тетради;
- ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания);
- находить ответы на вопросы, используя свои знания;
- проводить анализ учебного материала;
- проводить сравнение, объясняя критерии сравнения.

Коммуникативные УУД:
- слушать и понимать речь других;
- учиться с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, доказывать свое мнение.

Организация пространства
Формы работы : фронтальная, работа в парах, индивидуальная.

ХОД УРОКА

Организационный момент.

Придумано кем-то

Просто и мудро

При встрече здороваться:

«Доброе утро!»

Доброе утро, дорогие мои ученики! Доброе утро всем присутствующим!

Мы рады, что на нашем уроке присутствую гости. Ведь недаром народная мудрость гласит: «Гости в доме – хозяевам радость!» Давайте повернемся к уважаемым учителям, поздороваемся с ними, кивнем головкой. Молодцы, вы показали себя вежливыми , воспитанными учениками.

Ученица:

Мы гостей сегодня ждали

И с волнением встречали:

Хорошо ли мы умеем

И писать и отвечать?

Не судите очень строго,

Ведь учились мы немного.

Учитель : Мы начинаем урок математики, а это значит, нас ждут важные открытия. Какие качества пригодятся вам на уроке математики? (Наблюдательность, находчивость, внимательность, точность, аккуратность и т. д.).

1 стадия. «Вызов».

Учитель: А начнем с зарядки для ума. (Один отвечает, а дети сигналят).

2. Сумма чисел 3 и 3 ?

3. Уменьшаемое 7, вычитаемое 4, значение разности?

4. 1 слагаемое 1, второе слагаемое 6, значение суммы?

5. Разность чисел 6 и 4?

6. 5 увеличить на 1?

7. 6 уменьшить на 6?

8. 4, это 2 и?

9. Число предыдущее числа 7?

10. Число последующее числа 9?

11. Горело 7 свечей, 2 свечи погасили. Сколько свечей осталось? (Две свечи.)

12. Портфель Коли помещается в портфеле Васи, а портфель Васи можно спрятать в портфель Севы. Какой из этих портфелей самый большой?

13. (Схема на доске). В Китае людей живет больше, чем в Индии, а в Индии людей живет больше, чем в России. В какой из этих стран самая большая численность населения?

2 УЗ. Внимательно посмотрите на доску.

5…9 8 … 8 7-1 … 4 8 – 4 … 3 + 1

На какие группы можно разбить все, что изображено, записано на доске?

Ответы детей: - Предметы живой природы, математические записи, геометрические фигуры; - Равенства и неравенства и др.

Дети формулируют тему урока: Равенства и неравенства.

Равенства

Неравенства

(На доске)

В рабочей тетради запишите в 1 столбик равенства. (1 ребенок у доски). Во второй столбик запишите неравенства. (1 ребенок у доски, дети запись не видят).

Проверка. Вывод.

Физминутка для глаз.

Методический прием: плюс - минус – вопрос. Учитель: - ребята, у каждого на парте лежит таблица №1. Как вы думаете, какое задание я могу вам предложить? (Варианты детей). В 3 столбце вам нужно на каждое утверждение отметить значком: «+» вы ставите, если утверждение правильно, «-» - если неправильно, и «?» - если затрудняетесь ответить. Значки всегда ставим карандашом. Кому все понятно, вы можете приступить к работе. (Пауза). А с ребятами, которые сомневаются, я предлагаю начать работу вместе.

Таблица № 1.

*Равенство?

*Неравенство?

3 + 4 = 7

**Равенство?

6 = 4 + 2

**Равенство?

6 < 7

Равенство?

Равенство?

2 + 3 + 1 = 2 + 4

Неравенство?

9 > 7

Неравенство?

6 <3

Равенство?

Равенство?

Неравенство?

2 - 1 < 8

Неравенство?

8 > 4 + 4

Равенство?

5 – 3 = 2

Равенство?

8 – 3 = 2 + 3

Неравенство?

9 > 9

Легко было справиться с заданием? С какими трудностями столкнулись?

Физминутка

1. Сколько точек в этом круге,

столько раз поднимем руки.

2. Сколько елочек зеленых,

столько сделаем наклонов

3. Сколько здесь кружков,

столько сделаем прыжков.

4. Дружно звездочки считаем,

столько вместе приседаем.

Прием: З-Х-У.

Итак, что я знаю?! Заполните 1 столбец таблицы.

Таблица № 2.

- Что бы вам хотелось узнать сегодня на уроке? (Ответы детей). Заполните 2 столбец таблицы. (Дети самостоятельно формулируют тему урока).

2 стадия. Осмысление.

Прием. Инсерт (система маркировки текста (матем. записей)).

Ребята, как вы думаете, как нам узнать, правильно ли мы рассуждали или нет? (Возможные ответы детей: Найти ответ в глобальной сети интернет, спросить у взрослых, спросить у учителя, в учебнике).

Откройте, пожалуйста, учебник на стр. 38 (3, 8), № 96 (9, 6). И найдите мальчика и девочку, которые также как и вы справлялись с заданием. «Катя и Саша выполняли одинаковые задания. Посмотрите, что у них получилось». С помощью каких значков мы можем прокомментировать ответ. В учебнике ставим «+», если правильно, «-», если неправильно. Работаем в паре.

Молодцы! Поднимите руки те, кто узнал новое на уроке математике (Ответы детей: равенства и неравенства бывают верными (правильная запись) и неверными (запись с ошибками). Можем ли мы заполнить 3 столбец таблицы? (Дети заполняют).

Метод «тонких вопросов».

(1 ученик у доски, остальные дети работают в парах).

Раздаточный материал : «равенства», «неравенства», «верные», «верные», «неверные», «неверные», «9>3», «5 + 1 < 8», «6 < 4», «7 > 5 + 4», «5 – 1 = 4», «9 = 4 + 2», «6 = 6», «3 = 8».

Равенства =

Неравенства >, <

- Тема урока: Равенства и неравенства. - Какие бывают равенства? (верные и неверные). - Какие бываю неравенства? (верные и неверные). - Какие равенства и неравенства называют верными, а какими – неверными? (примеры).

Неверные

Неверные

(На доске)

3 стадия. Рефлексия.

Ребята, продолжите фразу:

«Сегодня на уроке математике я узнал….»;

«Мне было интересно…»;

«Теперь я умею…».

Спасибо за урок! На уроке старались думать, отвечать правильно, доказывая свое мнение, значит, добьетесь больших успехов в математике! Молодцы!


Обратной стороной равенства выступает неравенство . В этой статье мы введем понятие неравенства, и дадим начальную информацию о них в контексте математики.

Сначала разберем, что такое неравенство, введем понятия не равно, больше, меньше. Дальше поговорим о записи неравенств с помощью знаков не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно. После этого затронем основные типы неравенств, дадим определения строгих и нестрогих, верных и неверных неравенств. Дальше мимоходом перечислим основные свойства неравенств. Наконец, остановимся на двойных, тройных и т.д. неравенствах, и разберем, какой смысл они несут в себе.

Навигация по странице.

Что такое неравенство?

Понятие неравенства , как и , связано со сравнением двух объектов. И если равенство характеризуется словом «одинаковые», то неравенство, напротив, говорит о различии сравниваемых объектов. Например, объекты и - одинаковые, про них можно сказать, что они равные. А вот два объекта и отличаются, то есть, они не равны или неравные .

Неравенство сравниваемых объектов познается вместе со смыслом таких слов, как выше, ниже (неравенство по высоте), толще, тоньше (неравенство по толщине), дальше, ближе (неравенство по удаленности от чего-либо), длиннее, короче (неравенство по длине), тяжелее, легче (неравенство по весу), ярче, тусклее (неравенство по яркости), теплее, холоднее и т.п.

Как мы уже отмечали при знакомстве с равенствами, можно говорить как о равенстве двух объектов в целом, так и о равенстве их некоторых характеристик. Это же относится и к неравенствам. В качестве примера приведем два объекта и . Очевидно, они не одинаковые, то есть, в целом они неравные. Они не равны по размеру, также они не равны по цвету, однако, можно говорить о равенстве их форм – они оба являются кругами.

В математике общий смысл неравенства сохраняется. Но в ее контексте речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений каких-либо величин (длин, весов, площадей, температур и т.п.), фигур, векторов и т.п.

Не равно, больше, меньше

Иногда ценность представляет именно сам факт неравенства двух объектов. А когда сравниваются значения каких-либо величин, то, выяснив их неравенство, обычно идут дальше, и выясняют, какая величина больше , а какая – меньше .

Смысл слов «больше» и «меньше» мы познаем практически с первых дней нашей жизни. На интуитивном уровне мы воспринимаем понятие больше и меньше в плане размера, количества и т.п. А дальше постепенно начинаем осознавать, что при этом фактически речь идет о сравнении чисел , отвечающим количеству некоторых предметов или значениям некоторых величин. То есть, в этих случаях мы выясняем, какое из чисел больше, а какое – меньше.

Приведем пример. Рассмотрим два отрезка AB и CD , и сравним их длины . Очевидно, они не равны, также очевидно, что отрезок AB длиннее отрезка CD . Таким образом, согласно смыслу слова «длиннее», длина отрезка AB больше длины отрезка CD , и в то же время длина отрезка CD меньше длины отрезка AB .

Еще пример. С утра была зафиксирована температура воздуха 11 градусов Цельсия, а в обед – 24 градуса. Согласно , 11 меньше 24 , следовательно, значение температуры с утра было меньше, чем ее значение в обед (температура в обед стала больше, чем была температура с утра).

Запись неравенств с помощью знаков

На письме приняты несколько знаков для записи неравенств. Первый из них – знак не равно , он представляет собой перечеркнутый знак равно: ≠. Знак не равно ставится между неравными объектами. Например, запись |AB|≠|CD| обозначает, что длина отрезка AB не равна длине отрезка CD . Аналогично, 3≠5 – три не равно пяти.

Аналогично используются знак больше > и знак меньше ≤. Знак больше записывается между большим и меньшим объектами, а знак меньше – между меньшим и большим. Приведем примеры использования этих знаков. Запись 7>1 читается как семь больше одного, а записать, что площадь треугольника ABC меньше площади треугольника DEF с использованием знака ≤ можно как SABC≤SDEF .

Также широко в ходу знак больше или равно вида ≥, а также знак меньше или равно ≤. Подробнее об их смысле и назначении поговорим в следующем пункте.

Еще заметим, что алгебраические записи со знаками не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно, аналогичные рассмотренным выше, называют неравенствами. Более того, имеет место определение неравенств в смысле вида их записи:

Определение.

Неравенства – это имеющие смысл алгебраические выражения, составленные с использованием знаков ≠, <, >, ≤, ≥.

Строгие и нестрогие неравенства

Определение.

Знаки меньше называют знаками строгих неравенств , а записанные с их помощью неравенства – строгими неравенствами .

В свою очередь

Определение.

Знаки меньше или равно ≤ и больше или равно ≥ называют знаками нестрогих неравенств , а составленные с их использованием неравенства – нестрогими неравенствами .

Сфера применения строгих неравенств понятна из вышеприведенной информации. А для чего нужны нестрогие неравенства? На практике с их помощью удобно моделировать ситуации, которые можно описать фразами «не больше» и «не меньше». Фраза «не больше» по сути означает меньше или столько же, ей отвечает знак меньше или равно вида ≤. Аналогично, «не меньше» значит столько же или больше, ей соответствует знак больше или равно ≥.

Отсюда становится понятно, почему знаки < и > получили название знаков строгих неравенств, а ≤ и ≥ - нестрогих. Первые исключают возможность равенства объектов, а вторые – допускают ее.

В заключение этого пункта покажем пару примеров использования нестрогих неравенств. Например, с помощью знака больше или равно можно записать тот факт, что a является неотрицательным числом, как |a|≥0 . Еще пример: известно, что среднее геометрическое двух положительных чисел a и b меньше или равно их среднему арифметическому, то есть, .

Верные и неверные неравенства

Неравенства могут быть верными или неверными.

Определение.

Неравенство является верным , если оно соответствует введенному выше смыслу неравенства, в противном случае оно является неверным .

Приведем примеры верных и неверных неравенств. Например, 3≠3 – это неверное неравенство, так как числи 3 и 3 равные. Другой пример: пусть S – это площадь некоторой фигуры, тогда S<−7 – неверное неравенство, так как известно, что площадь фигуры по определению выражается неотрицательным числом. И еще пример неверного неравенства: |AB|>|AB| . А вот неравенства −3<12 , |AB|≤|AC|+|BC| и |−4|≥0 – верные. Первое из них отвечает , второе – выражает неравенство треугольника , а третье – согласуется с определением модуля числа.

Отметим, что наряду со словосочетанием «верное неравенство» используются такие словосочетания: «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.п., означающие одно и то же.

Свойства неравенств

Согласно тому, как мы ввели понятие неравенства, можно описать основные свойства неравенств . Понятно, что объект не может быть не равен самому себе. В этом состоит первое свойство неравенств. Второе свойство не менее очевидно: если первый объект не равен второму, то второй не равен первому.

Введенные на некотором множестве понятия «меньше» и «больше» задают на исходном множестве так называемые отношения «меньше» и «больше». Это же относится и к отношениям «меньше или равно» и «больше или равно». Они также обладают характерными свойствами.

Начнем со свойств отношений, которым соответствуют знаки < и >. Перечислим их, после чего дадим необходимые комментарии для пояснения:

  • антирефлексивность;
  • антисимметричность;
  • транзитивность.

Свойство антирефлексивности с помощью букв можно записать так: для любого объекта a неравенства a>a и ab , то ba . Наконец, свойство транзитивности состоит в том, что из ab и b>c следует, что a>c . Это свойство также воспринимается достаточно естественно: если первый объект меньше (больше) второго, а второй меньше (больше) третьего, то понятно, что первый объект подавно меньше (больше) третьего.

В свою очередь отношениям «меньше или равно» и «больше или равно» присущи следующие свойства:

  • рефлексивности: имеют место неравенства a≤a и a≥a (так как они включают в себя случай a=a );
  • антисимметричности: если a≤b , то b≥a , и если a≥b , то b≤a ;
  • транзитивности: из a≤b и b≤c следует, что a≤c , а из a≥b и b≥c следует, что a≥c .

Двойные, тройные неравенства и т.д.

Свойство транзитивности, которое мы затронули в предыдущем пункте, позволяет составлять так называемые двойные, тройные и т.д. неравенства, представляющие собой цепочки неравенств. Для примера приведем двойное неравенство a

Теперь разберем, как понимать такие записи. Их следует трактовать в согласии со смыслом содержащихся в них знаков. Например, двойное неравенство a

В заключение заметим, что иногда удобно использовать записи в виде цепочек, содержащих одновременно как знаки равно, не равно, так и знаки строгих и нестрогих неравенств. Например, x=2

Список литературы.

  • Моро М. И. . Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
  • Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.