วิธีหาความสูงจากมุมฉาก

ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง สามเหลี่ยมมุมฉาก. ระดับกลาง ไม่สำคัญว่าหลักสูตรของโรงเรียนใดจะมีวิชาเช่นเรขาคณิต ในฐานะนักเรียน เราแต่ละคนได้ศึกษาวินัยนี้และแก้ไขปัญหาบางอย่าง แต่สำหรับหลาย ๆ คน ปีการศึกษาของพวกเขานั้นล้าหลังและความรู้ที่ได้รับบางส่วนก็ถูกลบออกจากความทรงจำคุณควรทำอย่างไรหากต้องการค้นหาคำตอบสำหรับคำถามบางข้อจากหนังสือเรียนของโรงเรียน เช่น วิธีค้นหาส่วนสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ใน

ในกรณีนี้

ผู้ใช้คอมพิวเตอร์ขั้นสูงสมัยใหม่จะเปิดอินเทอร์เน็ตก่อนและค้นหาข้อมูลที่เขาสนใจ ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมนี้

รูปทรงเรขาคณิต

หมายถึง 3 ส่วนที่เชื่อมต่อถึงกันที่จุดสิ้นสุด และจุดสัมผัสของจุดเหล่านี้ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ส่วนที่ประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมเรียกว่าด้านข้าง ทางแยกของด้านข้างประกอบเป็นยอดของรูปและมุม

ประเภทของรูปสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับมุม

รูปนี้สามารถมีมุมได้ 3 แบบ คือ มุมแหลม มุมป้าน และมุมตรง ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ในบรรดารูปสามเหลี่ยมนั้นมีความโดดเด่นหลากหลายพันธุ์ดังต่อไปนี้:

ประเภทของรูปสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับความยาวของด้าน

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ตัวเลขนี้ปรากฏจาก 3 ส่วน สามเหลี่ยมประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่นตามขนาดของมัน: วิธีหาความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากด้านสองด้านที่คล้ายกันของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งประกอบเป็นมุมฉาก ณ จุดที่สัมผัสกันเรียกว่าขา ส่วนที่เชื่อมต่อเข้าด้วยกันเรียกว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" หากต้องการค้นหาความสูงในรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด คุณต้องลดเส้นลงจากด้านบน

มุมขวา

ถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก ทั้งหมดนี้เส้นนี้ควรหารมุมที่ 90? ครึ่งหนึ่งเลย ส่วนดังกล่าวเรียกว่าเส้นแบ่งครึ่ง

รูปภาพด้านบนแสดงสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเป็นความสูงที่เราจะต้องคำนวณ ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี:ในสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ระดับความสูงที่นำมาจากมุมขวา (โดยด้านตรงข้ามมุมฉาก) จะแบ่งสามเหลี่ยมมุมฉากออกเป็นสามเหลี่ยมสามรูปที่คล้ายกัน

คุณสมบัติ: 2.ความสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งลดลงถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของเส้นโครงของขาไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก (หรือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของส่วนต่างๆ ที่ความสูงหารด้านตรงข้ามมุมฉาก)

คุณสมบัติ: 3.ขานั้นเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของด้านตรงข้ามมุมฉากและการยื่นของขานี้ไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก

คุณสมบัติ: 4.ขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุม 30 องศา เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

สูตร 1

สูตร 2.ด้านตรงข้ามมุมฉากอยู่ที่ไหน , ขา.

คุณสมบัติ: 5.ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับครึ่งหนึ่งและเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

คุณสมบัติ: 6. ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

44. ทฤษฎีบทของโคไซน์ ข้อพิสูจน์: ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นทแยงมุมและด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน กำหนดประเภทของรูปสามเหลี่ยม สูตรคำนวณความยาวของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม การคำนวณโคไซน์ของมุมสามเหลี่ยม

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของส่วน:

ระดับ. โปรแกรมสัมมนาเรื่องแผนผังพื้นฐาน

คุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน นิยามของมุมสองมุมที่ประชิดกันเมื่อมีด้านหนึ่งเหมือนกันและอีกสองมุมเป็นเส้นตรง

หากคุณต้องการเนื้อหาเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหา เราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

เมื่อแก้ไขปัญหาทางเรขาคณิต จะมีประโยชน์ในการปฏิบัติตามอัลกอริทึมดังกล่าว ในขณะที่อ่านเงื่อนไขของปัญหาก็จำเป็น

• วาดรูป. ภาพวาดควรสอดคล้องกับเงื่อนไขของปัญหาให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ดังนั้นงานหลักคือการช่วยค้นหาวิธีแก้ไข
• ใส่ข้อมูลทั้งหมดจากคำชี้แจงปัญหาลงในแบบร่าง
• เขียนแนวคิดทางเรขาคณิตทั้งหมดที่ปรากฏในโจทย์
• จำทฤษฎีบททั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเหล่านี้
• วาดความสัมพันธ์ทั้งหมดระหว่างองค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิตที่ตามมาจากทฤษฎีบทเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น หากปัญหามีคำว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยม คุณจะต้องจำคำจำกัดความและคุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งและระบุส่วนและมุมที่เท่ากันหรือตามสัดส่วนในภาพวาด

ในบทความนี้ คุณจะพบคุณสมบัติพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยมที่คุณต้องรู้เพื่อแก้ปัญหาได้สำเร็จ

สามเหลี่ยม.

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

1. ,

ที่นี่ - ด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยม - ความสูงลดลงมาทางด้านนี้

2. ,

ตรงนี้ และ เป็นด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยม และคือมุมระหว่างด้านเหล่านี้:

3. สูตรของนกกระสา:

นี่คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยม คือ กึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม

4. ,

นี่คือระยะกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม และคือรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน

อนุญาต เป็นความยาวของส่วนแทนเจนต์.

จากนั้นสูตรของเฮรอนสามารถเขียนได้ดังนี้:

6. ,

ที่นี่ - ความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยม - รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

หากจุดหนึ่งถูกนำไปที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมซึ่งแบ่งด้านนี้ด้วยอัตราส่วน m: n ดังนั้นส่วนที่เชื่อมต่อจุดนี้กับจุดยอดของมุมตรงข้ามจะแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป โดยพื้นที่นั้นอยู่ในอัตราส่วน ม:น:

อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะเท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมเข้ากับตรงกลางของด้านตรงข้าม

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งแล้วหารด้วยจุดตัดในอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด

จุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมปกติจะแบ่งค่ามัธยฐานออกเป็นสองส่วน โดยส่วนที่เล็กกว่าจะเท่ากับรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน และส่วนที่ใหญ่กว่าจะเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

รัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงเป็น 2 เท่าของรัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวง: R=2r

ความยาวมัธยฐานสามเหลี่ยมโดยพลการ

,

ที่นี่ - ค่ามัธยฐานที่ลากไปด้านข้าง - ความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

นี่คือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมที่เชื่อมจุดยอดของมุมนี้กับด้านตรงข้าม

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมแบ่งด้านออกเป็นส่วนตามสัดส่วนของด้านที่อยู่ติดกัน:

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเป็นศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

จุดทุกจุดของเส้นแบ่งครึ่งมุมอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน

ความสูงของสามเหลี่ยม

นี่คือส่วนตั้งฉากที่ตกลงจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้ามหรือต่อเนื่องกัน ในรูปสามเหลี่ยมป้าน ระดับความสูงที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมแหลมจะอยู่นอกรูปสามเหลี่ยม

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเรียกว่า ศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของรูปสามเหลี่ยม

เพื่อหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมเมื่อลากไปทางด้านข้าง คุณจะต้องค้นหาพื้นที่ด้วยวิธีใดก็ได้ที่มีอยู่ จากนั้นใช้สูตร:

จุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากที่ลากไปทางด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

รัศมีเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม สามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

นี่คือความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยม และเป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยม

,

โดยที่คือความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมและเป็นมุมตรงข้าม (สูตรนี้ตามมาจากทฤษฎีบทไซน์)

อสมการสามเหลี่ยม

ด้านแต่ละด้านของสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่าผลรวมและมากกว่าผลต่างของอีกสองด้าน

ผลรวมของความยาวของด้านสองด้านใดๆ จะมากกว่าความยาวของด้านที่สามเสมอ:

ตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่าคือมุมที่ใหญ่กว่า ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่กว่าคือด้านที่ใหญ่กว่า:

ถ้า แล้วในทางกลับกัน

ทฤษฎีบทของไซน์:

ด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม:

ทฤษฎีบทโคไซน์:

ด้านกำลังสองของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือโดยไม่มีผลคูณของด้านเหล่านี้สองเท่าด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างด้านทั้งสอง:

สามเหลี่ยมมุมฉาก

- นี่คือรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีมุมหนึ่งเป็น 90°

ผลรวมของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 90°

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม 90° ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ยาวที่สุด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา:

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับ

,

นี่คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ - ขา - ด้านตรงข้ามมุมฉาก:

จุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมมุมฉาก อยู่ตรงกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากเข้าหาด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

การหาค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของสามเหลี่ยมมุมฉากดู

อัตราส่วนขององค์ประกอบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

กำลังสองของความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมฉากเท่ากับผลคูณของเส้นโครงของขาไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก:

กำลังสองของขาเท่ากับผลคูณของด้านตรงข้ามมุมฉากและการยื่นของขาไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ขานอนอยู่ตรงข้ามมุม เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว.

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและระดับความสูง

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมฐานจะเท่ากัน

มุมเอเพ็กซ์.

และ - ด้านข้าง

และ - มุมที่ฐาน

ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐาน

ความสนใจ!ความสูง เส้นแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐานที่ลากไปด้านข้างไม่ตรงกัน

สามเหลี่ยมปกติ

(หรือ สามเหลี่ยมด้านเท่า ) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านและมุมทุกด้านเท่ากัน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติเท่ากับ

ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมคือที่ไหน

จุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมปกติเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมปกติและอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน

จุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมปกติแบ่งค่ามัธยฐานออกเป็นสองส่วน โดยส่วนที่เล็กกว่าจะเท่ากับรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน และส่วนที่ใหญ่กว่าจะเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

ถ้ามุมหนึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็น 60° แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ

เส้นกลางของสามเหลี่ยม

นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของทั้งสองด้าน

ในภาพ DE - เส้นกึ่งกลางสามเหลี่ยมเอบีซี

เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่ง: DE||AC, AC=2DE

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

นี่คือมุมที่อยู่ติดกับมุมใดๆ ของสามเหลี่ยม

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมที่ไม่อยู่ติดกัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติมุมภายนอก:

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม:

1 - ถ้าสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันตามลำดับกับสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมนั้นก็จะเท่ากันทุกประการ

2 - ถ้าด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้านหนึ่งและสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

3 ถ้าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเท่ากันกับสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้านตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

สำคัญ:เนื่องจากในสามเหลี่ยมมุมฉากสองมุมจะเท่ากันอย่างเห็นได้ชัด ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปต้องการความเท่าเทียมกันของสององค์ประกอบเท่านั้น: สองด้านหรือด้านและมุมแหลม

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม:

1 - หากด้านสองด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสองด้านของสามเหลี่ยมอีกด้าน และมุมระหว่างด้านทั้งสองเท่ากัน สามเหลี่ยมเหล่านี้จะคล้ายกัน

2 - ถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้าน สามเหลี่ยมนั้นจะคล้ายกัน

3 - ถ้ามุมสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสองมุมของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นคล้ายกัน

สำคัญ:ในรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ด้านที่คล้ายกันอยู่ตรงข้ามกับมุมที่เท่ากัน

ทฤษฎีบทของเมเนลอส

ให้เส้นตัดกันรูปสามเหลี่ยม และเป็นจุดตัดกับด้าน เป็นจุดตัดกับด้าน และเป็นจุดตัดกับด้านต่อเนื่อง แล้ว

(เอบีซี)และคุณสมบัติของมันดังแสดงในรูป สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉาก - ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก

เคล็ดลับที่ 1: วิธีหาความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ด้านที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา ภาพแสดงด้านข้าง โฆษณา, กระแสตรง และ BD, กระแสตรง- ขาและด้านข้าง เครื่องปรับอากาศและ NE- ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบท 1 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 30° ขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุมนี้จะหักครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

เอชซี

เอบี- ด้านตรงข้ามมุมฉาก;

ค.ศและ ดี.วี

สามเหลี่ยม
มีทฤษฎีบทคือ:
ระบบแสดงความคิดเห็น ซีเคแอลอี

วิธีแก้ไข: 1) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าใดๆ ก็ตามจะเท่ากัน 2) ถ้าสามเหลี่ยมมีมุมแหลมมุมหนึ่ง แสดงว่าสามเหลี่ยมนี้มีมุมแหลม ไม่จริง. ประเภทของรูปสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมจะเรียกว่ามุมแหลมถ้ามุมทั้งสามมุมนั้นแหลม นั่นคือ น้อยกว่า 90° 3) ถ้าจุดนั้นอยู่

หรือในอีกรายการหนึ่ง

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สูตรความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร?

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากสามารถพบได้ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ขึ้นอยู่กับข้อมูลในคำชี้แจงปัญหา

หรือในอีกรายการหนึ่ง

โดยที่ BK และ KC คือเส้นโครงของขาที่อยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉาก (ส่วนที่ความสูงใช้แบ่งด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ระดับความสูงของด้านตรงข้ามมุมฉากสามารถพบได้ผ่านพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก หากเราใช้สูตรหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม

(ครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านหนึ่งและความสูงที่ลากไปด้านนี้) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉากและความสูงที่ลากไปทางด้านตรงข้ามมุมฉาก เราจะได้:

จากตรงนี้ เราสามารถหาความสูงเป็นอัตราส่วนของพื้นที่สองเท่าของรูปสามเหลี่ยมต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา:

นั่นคือ ความยาวของความสูงที่ลากเข้าหาด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับอัตราส่วนผลคูณของขาต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก ถ้าเราแทนความยาวของขาด้วย a และ b ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากด้วย c สูตรสามารถเขียนใหม่ได้เป็น

เนื่องจากรัศมีของเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก ความยาวของความสูงจึงสามารถแสดงเป็นขาและรัศมีของเส้นรอบวงวงกลมได้:

เนื่องจากความสูงที่ลากไปทางด้านตรงข้ามมุมฉากทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉากอีกสองรูป ความยาวของมันจึงสามารถหาได้จากความสัมพันธ์ในสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ABK

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ACK

ความยาวของความสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถแสดงเป็นความยาวของขาได้ เพราะ

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หากเรายกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ:

คุณสามารถหาสูตรอื่นสำหรับเชื่อมโยงความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากกับขาของมันได้:

สูตรความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร?

สามเหลี่ยมมุมฉาก. ระดับเฉลี่ย.

คุณต้องการทดสอบความแข็งแกร่งของคุณและดูว่าคุณพร้อมแค่ไหนสำหรับการสอบ Unified State หรือ Unified State?

ทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คุณจำได้ดีว่าขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร? ถ้าไม่ดีมากลองดูที่ภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ

ค่อนข้างเป็นไปได้ว่าคุณเคยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาหลายครั้งแล้ว แต่คุณเคยสงสัยหรือไม่ว่าทำไมทฤษฎีบทดังกล่าวถึงเป็นจริง? ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร? เรามาทำเหมือนชาวกรีกโบราณกันดีกว่า มาวาดรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านกัน

มาดูกันว่าเราแบ่งด้านข้างของมันออกเป็นความยาวอย่างชาญฉลาดแค่ไหนและ!

ตอนนี้เรามาเชื่อมต่อจุดที่ทำเครื่องหมายไว้

อย่างไรก็ตามที่นี่เราสังเกตเห็นอย่างอื่น แต่คุณเองก็ดูภาพวาดและคิดว่าเหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น

สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่มีพื้นที่เท่าใด? ขวา, . แล้วพื้นที่ที่เล็กกว่าล่ะ? แน่นอน, . พื้นที่ทั้งสี่มุมที่เหลืออยู่ ลองนึกภาพว่าเราพาพวกมันทีละสองตัวแล้วพิงกันด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก เกิดอะไรขึ้น สี่เหลี่ยมสองอัน ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของ "รอยตัด" เท่ากัน

มารวบรวมทั้งหมดเข้าด้วยกันตอนนี้

ดังนั้นเราจึงไปเยี่ยมชมพีทาโกรัส - เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาในวิธีโบราณ

สามเหลี่ยมมุมฉากและตรีโกณมิติ

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะเป็นดังนี้:

ไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้าม

และทั้งหมดนี้อีกครั้งในรูปแบบแท็บเล็ต:

คุณสังเกตเห็นสิ่งหนึ่งที่สะดวกมากไหม? ดูป้ายอย่างระมัดระวัง

สะดวกมาก!

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ครั้งที่สอง โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

III. โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

IV. ตามแนวขาและมุมแหลม

ความสนใจ! สิ่งสำคัญมากที่นี่คือขามีความ "เหมาะสม" ตัวอย่างเช่น หากเป็นไปตามนี้:

สามเหลี่ยมจึงไม่เท่ากันแม้ว่าพวกมันจะมีมุมแหลมเหมือนกันมุมเดียวก็ตาม

มีความจำเป็นเช่นนั้น ในรูปสามเหลี่ยมทั้งสองขาอยู่ติดกัน หรือทั้งสองข้างอยู่ตรงข้ามกัน.

คุณสังเกตไหมว่าสัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉากแตกต่างจากสัญญาณปกติของสามเหลี่ยมอย่างไร? ดูหัวข้อ "สามเหลี่ยม" และให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม "ธรรมดา" องค์ประกอบสามอย่างจะต้องเท่ากัน: สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา สองมุมและด้านระหว่างพวกเขา หรือสาม ด้านข้าง แต่เพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก องค์ประกอบที่สอดคล้องกันเพียงสององค์ประกอบก็เพียงพอแล้ว เยี่ยมมากใช่มั้ย?

สถานการณ์จะใกล้เคียงกันโดยมีสัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

III. โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

ค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

แทนที่จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด

ลองวาดเส้นทแยงมุมแล้วพิจารณาจุดที่เส้นทแยงมุมตัดกัน คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม?

จุดตัดของเส้นทแยงมุมแบ่งออกเป็นครึ่งหนึ่ง

และอะไรต่อจากนี้?

มันเลยกลายเป็นว่า

จำข้อเท็จจริงข้อนี้ไว้! ช่วยได้มาก!

สิ่งที่น่าแปลกใจยิ่งกว่านั้นคือสิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน

จะได้ประโยชน์อะไรจากการที่ค่ามัธยฐานที่ลากเข้าหาด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก? เรามาดูรูปกันดีกว่า

ดูอย่างระมัดระวัง เรามี: นั่นคือระยะทางจากจุดถึงจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมกลายเป็นว่าเท่ากัน แต่มีเพียงจุดเดียวในสามเหลี่ยม ซึ่งมีระยะห่างจากจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน และนี่คือจุดศูนย์กลางของวงกลม แล้วเกิดอะไรขึ้น?

มาเริ่มกันที่ "นอกจากนี้" -

แต่สามเหลี่ยมที่คล้ายกันก็มีมุมเท่ากันหมด!

เดียวกันสามารถพูดเกี่ยวกับและ

ทีนี้มาวาดมันด้วยกัน:

มีมุมคมเหมือนกัน!

จะได้ประโยชน์อะไรจากความคล้ายคลึงกัน "สามเท่า" นี้?

ตัวอย่างเช่น - สองสูตรสำหรับความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ให้เราเขียนความสัมพันธ์ของฝ่ายที่เกี่ยวข้อง:

หากต้องการหาความสูง ให้แก้สัดส่วนแล้วได้ สูตรแรก "ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก":

จะได้รับอันที่สองได้อย่างไร?

ทีนี้ลองใช้ความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยมและ

ลองใช้ความคล้ายคลึงกัน: .

จะเกิดอะไรขึ้นตอนนี้?

เราแก้สัดส่วนอีกครั้งแล้วได้สูตรที่สอง "ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก":

คุณต้องจำทั้งสองสูตรนี้ให้ดีและใช้อันที่สะดวกกว่า มาเขียนมันลงไปอีกครั้ง

ตอนนี้ด้วยการประยุกต์ใช้และรวมความรู้นี้กับความรู้อื่น ๆ คุณจะแก้ปัญหาด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากได้!

ความคิดเห็น

อนุญาตให้เผยแพร่เนื้อหาโดยไม่ต้องได้รับการอนุมัติหากมีลิงก์ dofollow ไปยังหน้าแหล่งที่มา

นโยบายความเป็นส่วนตัว

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ

คุณสมบัติของระดับความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากตกลงไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดีในการดำเนินการทางกฎหมายและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานรัฐบาลในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ขอบคุณสำหรับข้อความ!

ความคิดเห็นของคุณได้รับการยอมรับแล้ว และหลังจากการกลั่นกรอง ความคิดเห็นของคุณจะถูกเผยแพร่ในหน้านี้

คุณต้องการค้นหาสิ่งที่ซ่อนอยู่ภายใต้การตัดและรับเอกสารพิเศษเกี่ยวกับการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State และการสอบ Unified State หรือไม่? ฝากอีเมลของคุณไว้

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก

พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (เอบีซี)และคุณสมบัติของมันดังแสดงในรูป สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉาก - ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก ด้านที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา ภาพแสดงด้านข้าง โฆษณา, กระแสตรง และ BD, กระแสตรง- ขาและด้านข้าง เครื่องปรับอากาศและ NE- ด้านตรงข้ามมุมฉาก

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

ทฤษฎีบท 1 ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากและขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคล้ายกันกับด้านตรงข้ามมุมฉากและขาของสามเหลี่ยมอื่น สามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ

ทฤษฎีบท 2 ถ้าสองขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับสองขาของสามเหลี่ยมอีกอันหนึ่ง สามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ

ทฤษฎีบท 3 ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคล้ายกับด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมอื่น แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

ทฤษฎีบท 4 ถ้าขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกัน (ตรงข้าม) ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกัน (ตรงกันข้าม) ของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

คุณสมบัติของขาตรงข้ามกับมุม 30°:

ทฤษฎีบท 1

ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 30° ขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนี้จะหักครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบท 2 ถ้าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก มุมที่อยู่ตรงข้ามจะเป็น 30°

ถ้าระดับความสูงถูกดึงจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยมดังกล่าวจะถูกแบ่งออกเป็นสองอันที่เล็กกว่า คล้ายกับอันที่ส่งออกและคล้ายกัน ข้อสรุปต่อไปนี้เป็นไปตามนี้:

1. ความสูงคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (ค่าเฉลี่ยตามสัดส่วน) ของสองส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉาก
2. ขาแต่ละข้างของรูปสามเหลี่ยมคือค่าเฉลี่ยสัดส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนที่อยู่ติดกัน

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาทำหน้าที่เป็นระดับความสูง จุดออร์โธเซนเตอร์คือจุดที่ความสูงของรูปสามเหลี่ยมตัดกัน มันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดยอดของมุมขวาของรูป

เอชซี- ความสูงที่เกิดจากมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม

เอบี- ด้านตรงข้ามมุมฉาก;

ค.ศและ ดี.วี- ส่วนที่เกิดขึ้นเมื่อหารด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยความสูง

กลับไปดูข้อมูลสาขาวิชา "เรขาคณิต"

สามเหลี่ยมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยจุดสามจุด (จุดยอด) ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและมีสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้ สามเหลี่ยมมุมฉากคือสามเหลี่ยมที่มีมุมใดมุมหนึ่งอยู่ที่ 90° (มุมฉาก)
มีทฤษฎีบทคือ:ผลรวมของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 90°
ระบบแสดงความคิดเห็น ซีเคแอลอี

คำสำคัญ:สามเหลี่ยม มุมขวา ขา ด้านตรงข้ามมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัส วงกลม

สามเหลี่ยมนั้นเรียกว่า สี่เหลี่ยมถ้ามันมีมุมฉาก
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตั้งฉากกันสองด้านเรียกว่า ขา- ด้านที่สามเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก

• ตามคุณสมบัติของมุมฉากและมุมเอียง ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวกว่าขาแต่ละข้าง (แต่น้อยกว่าผลรวม)
• ผลรวมของมุมแหลมสองมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับมุมฉาก
• สามเหลี่ยมมุมฉากสองระดับความสูงตรงกับขาของมัน ดังนั้น หนึ่งในสี่จุดที่น่าทึ่งจึงตกอยู่ที่จุดยอดของมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม
• เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ที่กึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉากคือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้

พิจารณา ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามใจชอบ แล้ววาดส่วนสูง CD = hc จากจุดยอด C ของมุมฉาก

มันจะแบ่งสามเหลี่ยมที่กำหนดออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันคือ ACD และ BCD สามเหลี่ยมแต่ละรูปมีมุมแหลมร่วมกับสามเหลี่ยม ABC ดังนั้นจึงคล้ายกับสามเหลี่ยม ABC

สามเหลี่ยมทั้งสาม ABC, ACD และ BCD มีความคล้ายคลึงกัน

จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม จะได้ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• ค = เอซี + บีซี;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตยุคลิด ซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สูตรทางเรขาคณิตในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา

สูตรพีชคณิตในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา
นั่นคือ แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมด้วย c และความยาวของขาด้วย a และ b:
a2 + b2 = c2

ทฤษฎีบทคอนเวิร์สพีทาโกรัส

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สำหรับจำนวนบวกสามเท่าใดๆ a, b และ c แบบนั้น
a2 + b2 = c2,
มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก;
• สองขา;
• ตามขาและมุมแหลม
• ตามแนวด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

ดูเพิ่มเติมที่:
พื้นที่ของสามเหลี่ยม, สามเหลี่ยมหน้าจั่ว, สามเหลี่ยมด้านเท่า

เรขาคณิต. 8 ระดับ. ทดสอบ 4. ตัวเลือก 1 .

ค.ศ : ซีดี = ซีดี : บี.ดี. ดังนั้น CD2 = AD ∙ บี.ดี. พวกเขาพูดว่า:

ค.ศ : เอซี = เอซี : เอบี ดังนั้น AC2 = AB ∙ อ. พวกเขาพูดว่า:

บีดี : พ.ศ. = พ.ศ : เอบี ดังนั้น BC2 = AB ∙ บี.ดี.

แก้ไขปัญหา:

1.

ก) 70 ซม. ข) 55 ซม. ค) 65 ซม. ง) 45 ซม. จ) 53 ซม.

2. ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากเข้าหาด้านตรงข้ามมุมฉากจะแบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นส่วน 9 และ 36

กำหนดความยาวของความสูงนี้

ก) 22,5; ข) 19; ค) 9; ง) 12; จ) 18.

4.

ก) 30,25; ข) 24,5; ค) 18,45; ง) 32; จ) 32,25.

5.

ก) 25; ข) 24; ค) 27; ง) 26; จ) 21.

6.

ก) 8; ข) 7; ค) 6; ง) 5; จ) 4.

7.

8. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 30

จะหาความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร?

จงหาระยะห่างจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก ถ้ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้คือ 17

ก) 17; ข) 16; ค) 15; ง) 14; จ) 12.

10.

ก) 15; ข) 18; ค) 20; ง) 16; จ) 12.

ก) 80; ข) 72; ค) 64; ง) 81; จ) 75.

12.

ก) 7,5; ข) 8; ค) 6,25; ง) 8,5; จ) 7.

ตรวจสอบคำตอบ!

G8.04.1. ส่วนตามสัดส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

เรขาคณิต. 8 ระดับ. ทดสอบ 4. ตัวเลือก 1 .

ใน Δ ABC ∠ACV = 90° ขา AC และ BC, ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB

CD คือความสูงของสามเหลี่ยมที่ลากไปทางด้านตรงข้ามมุมฉาก

เส้นโครง AD ของขา AC เข้าสู่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

เส้นโครง BD ของขา BC ลงบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

ซีดีระดับความสูงแบ่งสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน (และต่อกัน): Δ ADC และ Δ CDB

จากสัดส่วนของด้านข้างของ Δ ADC และ Δ CDB ที่คล้ายกันจะเป็นดังนี้:

ค.ศ : ซีดี = ซีดี : บี.ดี.

คุณสมบัติของระดับความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากตกลงไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ดังนั้น CD2 = AD ∙ บี.ดี. พวกเขาพูดว่า: ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากเข้าหาด้านตรงข้ามมุมฉากคือค่าสัดส่วนเฉลี่ยระหว่างส่วนที่ยื่นออกมาของขาไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก

จากความคล้ายคลึงกันของ Δ ADC และ Δ ACB จะเป็นดังนี้:

ค.ศ : เอซี = เอซี : เอบี ดังนั้น AC2 = AB ∙ อ. พวกเขาพูดว่า: ขาแต่ละข้างคือค่าสัดส่วนเฉลี่ยระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากทั้งหมดกับเส้นโครงของขานี้ไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในทำนองเดียวกัน จากความคล้ายคลึงกันของ Δ CDB และ Δ ACB จะได้ดังนี้:

บีดี : พ.ศ. = พ.ศ : เอบี ดังนั้น BC2 = AB ∙ บี.ดี.

แก้ไขปัญหา:

1. ค้นหาความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก หากมันแบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นส่วนๆ 25 ซม. และ 81 ซม.

ก) 70 ซม. ข) 55 ซม. ค) 65 ซม. ง) 45 ซม. จ) 53 ซม.

2. ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากจะแบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นส่วน 9 และ 36 หาความยาวของระดับความสูงนี้

ก) 22,5; ข) 19; ค) 9; ง) 12; จ) 18.

4. ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากเข้าหาด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 22 ส่วนยื่นของขาข้างหนึ่งคือ 16 จงหาส่วนยื่นของขาอีกข้างหนึ่ง

ก) 30,25; ข) 24,5; ค) 18,45; ง) 32; จ) 32,25.

5. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 18 และเส้นโครงของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 12 จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก

ก) 25; ข) 24; ค) 27; ง) 26; จ) 21.

6. ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 32. จงหาด้านที่ยื่นไปทางด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 2

ก) 8; ข) 7; ค) 6; ง) 5; จ) 4.

7. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 45 จงหาด้านที่ยื่นไปทางด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 9

8. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 30 จงหาระยะห่างจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก ถ้ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้คือ 17

ก) 17; ข) 16; ค) 15; ง) 14; จ) 12.

10. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 41 และเส้นโครงของขาข้างหนึ่งคือ 16 จงหาความยาวของระดับความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

ก) 15; ข) 18; ค) 20; ง) 16; จ) 12.

ก) 80; ข) 72; ค) 64; ง) 81; จ) 75.

12. ผลต่างของเส้นโครงของขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 15 และระยะห่างจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 4 จงหารัศมีของวงกลมที่จำกัดขอบเขต

ก) 7,5; ข) 8; ค) 6,25; ง) 8,5; จ) 7.

สามเหลี่ยมมุมฉาก- นี่คือสามเหลี่ยมที่มีมุมใดมุมหนึ่งเป็นเส้นตรงซึ่งเท่ากับ 90 องศา

• ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก (ในรูประบุเป็น คหรือเอบี)
• ด้านที่อยู่ติดกับมุมขวาเรียกว่าขา สามเหลี่ยมมุมฉากแต่ละอันมีสองขา (ในรูปถูกกำหนดให้เป็น กและ b หรือ AC และ BC)

สูตรและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก

(ดูภาพด้านบน)

ก, ข- ขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ค- ด้านตรงข้ามมุมฉาก

α, β - มุมแหลมของรูปสามเหลี่ยม

ส- สี่เหลี่ยม

ชม.- ความสูงลดลงจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

ม กจากมุมตรงข้าม ( α )

ม.ข- ค่ามัธยฐานลากไปด้านข้าง ขจากมุมตรงข้าม ( β )

มค- ค่ามัธยฐานลากไปด้านข้าง คจากมุมตรงข้าม ( γ )

ใน สามเหลี่ยมมุมฉาก ขาข้างใดข้างหนึ่งมีค่าน้อยกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก(สูตร 1 และ 2) คุณสมบัตินี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

โคไซน์ของมุมแหลมใดๆน้อยกว่าหนึ่ง (สูตร 3 และ 4) คุณสมบัตินี้ต่อจากคุณสมบัติก่อนหน้า เนื่องจากขาข้างใดข้างหนึ่งน้อยกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก อัตราส่วนของขาต่อด้านตรงข้ามมุมฉากจึงน้อยกว่าหนึ่งเสมอ

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) (สูตร 5). คุณสมบัตินี้ถูกใช้อย่างต่อเนื่องเมื่อแก้ไขปัญหา

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา (สูตร 6)

ผลรวมของค่ามัธยฐานกำลังสองที่ขาจะเท่ากับห้ากำลังสองของค่ามัธยฐานกับด้านตรงข้ามมุมฉากและห้ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากหารด้วยสี่ (สูตร 7) นอกเหนือจากที่กล่าวมาข้างต้นก็มี อีก 5 สูตรดังนั้นจึงขอแนะนำให้คุณอ่านบทเรียน “ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉาก” ซึ่งอธิบายคุณสมบัติของค่ามัธยฐานโดยละเอียดยิ่งขึ้น

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลคูณของขาหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก (สูตร 8)

กำลังสองของขาจะแปรผกผันกับกำลังสองของความสูงที่ลดลงจนถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก (สูตร 9) อัตลักษณ์นี้เป็นผลสืบเนื่องประการหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย

ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง (สองรัศมี) ของวงกลมที่ขอบ (สูตร 10) ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก คือเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นรอบวง- คุณสมบัตินี้มักใช้ในการแก้ปัญหา

รัศมีที่จารึกไว้วี สามเหลี่ยมมุมฉาก วงกลมสามารถหาได้เป็นครึ่งหนึ่งของนิพจน์ รวมทั้งผลรวมของขาของสามเหลี่ยมลบด้วยความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากด้วย หรือเป็นผลคูณของขาหารด้วยผลรวมของทุกด้าน (เส้นรอบวง) ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด (สูตร 11)
ไซน์ของมุม สัมพันธ์กับสิ่งที่ตรงกันข้ามมุมนี้ ขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก(ตามคำจำกัดความของไซน์) (สูตร 12). คุณสมบัตินี้ใช้ในการแก้ไขปัญหา เมื่อทราบขนาดของด้านข้าง คุณจะพบมุมที่ด้านข้างสร้างขึ้นได้

โคไซน์ของมุม A (α, alpha) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับ ทัศนคติ ที่อยู่ติดกันมุมนี้ ขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก(ตามคำจำกัดความของไซน์) (สูตร 13)