บ่อยครั้งในชีวิตเราต้องเผชิญกับปริมาณโดยประมาณต่างๆ การคำนวณโดยประมาณนั้นเป็นการคำนวณที่มีข้อผิดพลาดอยู่เสมอ

แนวคิดเรื่องข้อผิดพลาดแน่นอน

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของค่าโดยประมาณคือขนาดของความแตกต่างระหว่างค่าที่แน่นอนกับค่าโดยประมาณ
นั่นคือคุณต้องลบค่าโดยประมาณออกจากค่าที่แน่นอนและรับค่าโมดูโลผลลัพธ์ที่ได้ ดังนั้น, ข้อผิดพลาดแน่นอนค่าจะเป็นค่าบวกเสมอ

วิธีการคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์

มาแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้อาจมีลักษณะอย่างไรในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น เรามีกราฟที่มีค่าหนึ่ง ให้มันเป็นพาราโบลา: y=x^2

จากกราฟเราสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้ในบางจุด ตัวอย่างเช่น ที่ x=1.5 ค่า y จะเท่ากับ 2.2 โดยประมาณ (yµ2.2)

การใช้สูตร y=x^2 เราสามารถหาค่าที่แน่นอนได้ที่จุด x=1.5 y= 2.25

ทีนี้มาคำนวณความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการวัดของเรากัน |2.25-2.2|=|0.05| = 0.05.

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือ 0.05 ในกรณีเช่นนี้ พวกเขายังบอกด้วยว่าค่านี้คำนวณด้วยความแม่นยำ 0.05

มันมักจะเกิดขึ้นที่ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนได้เสมอไป ดังนั้นจึงไม่สามารถค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ได้เสมอไป

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดโดยใช้ไม้บรรทัด หรือค่าของมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ เราก็จะได้ค่าโดยประมาณ แต่ไม่สามารถคำนวณค่าที่แน่นอนได้ ใน ในกรณีนี้เราสามารถระบุตัวเลขโดยที่ค่าของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต้องไม่มากกว่านั้น

ในตัวอย่างที่มีไม้บรรทัด ค่านี้จะเท่ากับ 0.1 ซม. เนื่องจากค่าหารบนไม้บรรทัดคือ 1 มิลลิเมตร ในตัวอย่างสำหรับไม้โปรแทรกเตอร์ 1 องศา เพราะสเกลไม้โปรแทรกเตอร์จะไล่ระดับทุกองศา ดังนั้นค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์ในกรณีแรกคือ 0.1 และในกรณีที่สองคือ 1

ต้องการความช่วยเหลือในการศึกษาของคุณหรือไม่?

ไม่มีการวัดใดปราศจากข้อผิดพลาด หรือถ้าให้แม่นยำกว่านั้น ความน่าจะเป็นของการวัดโดยไม่มีข้อผิดพลาดจะเข้าใกล้ศูนย์ ประเภทและสาเหตุของข้อผิดพลาดมีความหลากหลายมากและได้รับอิทธิพลจากปัจจัยหลายประการ (รูปที่ 1.2)

ลักษณะทั่วไปของปัจจัยที่มีอิทธิพลสามารถจัดระบบได้จากมุมมองต่างๆ เช่น ตามอิทธิพลของปัจจัยที่ระบุไว้ (รูปที่ 1.2)

จากผลการวัด ข้อผิดพลาดสามารถแบ่งได้เป็น 3 ประเภท: เป็นระบบ สุ่ม และข้อผิดพลาด

ข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ ในทางกลับกันพวกเขาจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มเนื่องจากการเกิดขึ้นและลักษณะของการสำแดงของพวกเขา พวกเขาสามารถกำจัดได้ ในรูปแบบต่างๆเช่น โดยการแนะนำการแก้ไข

ข้าว. 1.2

ข้อผิดพลาดแบบสุ่ม เกิดจากปัจจัยการเปลี่ยนแปลงที่ซับซ้อน ซึ่งมักไม่ทราบและวิเคราะห์ได้ยาก อิทธิพลที่มีต่อผลการวัดสามารถลดลงได้ เช่น โดยการวัดซ้ำพร้อมกับการประมวลผลทางสถิติเพิ่มเติมของผลลัพธ์ที่ได้รับโดยใช้วิธีทฤษฎีความน่าจะเป็น

ถึง คิดถึง ซึ่งรวมถึงข้อผิดพลาดร้ายแรงที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขการทดลองกะทันหัน ข้อผิดพลาดเหล่านี้มักเกิดขึ้นโดยบังเอิญ และเมื่อตรวจพบแล้ว จะต้องกำจัดทิ้ง

ความแม่นยำของการวัดประเมินโดยข้อผิดพลาดในการวัด ซึ่งแบ่งตามลักษณะของการเกิดเป็นเครื่องมือและระเบียบวิธี และตามวิธีการคำนวณเป็นแบบสัมบูรณ์ สัมพันธ์ และลดลง

เครื่องดนตรี ข้อผิดพลาดนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยระดับความแม่นยำ เครื่องมือวัดซึ่งระบุไว้ในหนังสือเดินทางของเขาในรูปแบบของข้อผิดพลาดหลักและข้อผิดพลาดเพิ่มเติมที่เป็นมาตรฐาน

มีระเบียบแบบแผน ข้อผิดพลาดเกิดจากความไม่สมบูรณ์ของวิธีการวัดและเครื่องมือ

แน่นอน ข้อผิดพลาดคือความแตกต่างระหว่าง G u ที่วัดได้และค่า G ที่แท้จริงของปริมาณที่กำหนดโดยสูตร:

Δ=ΔG=G ยู -G

โปรดทราบว่าปริมาณนั้นมีมิติเท่ากับปริมาณที่วัดได้

ญาติ พบข้อผิดพลาดจากความเท่าเทียมกัน

δ=±ΔG/G ยู ·100%

ที่ให้ไว้ ข้อผิดพลาดคำนวณโดยใช้สูตร (ระดับความแม่นยำของอุปกรณ์วัด)

δ=±ΔG/G ปกติ ·100%

โดยที่ G norms คือค่าการทำให้เป็นมาตรฐานของปริมาณที่วัดได้ มันถูกนำมาใช้เท่ากับ:

ก) ค่าสุดท้ายของสเกลเครื่องมือ ถ้าเครื่องหมายศูนย์อยู่ที่ขอบหรืออยู่นอกสเกล

b) ผลรวมของค่าสุดท้ายของสเกลโดยไม่คำนึงถึงสัญญาณของบัญชีหากเครื่องหมายศูนย์อยู่ภายในมาตราส่วน

c) ความยาวของมาตราส่วน หากมาตราส่วนไม่เท่ากัน

ระดับความแม่นยำของอุปกรณ์ถูกสร้างขึ้นในระหว่างการทดสอบและเป็นข้อผิดพลาดมาตรฐานที่คำนวณโดยใช้สูตร

γ=±ΔG/G บรรทัดฐาน ·100% ถ้า∆G ม. = const

โดยที่ ΔG m เป็นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ของอุปกรณ์

G k – ค่าสุดท้ายของขีดจำกัดการวัดของอุปกรณ์ c และ d เป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่คำนึงถึงพารามิเตอร์การออกแบบและคุณสมบัติของกลไกการวัดของอุปกรณ์

ตัวอย่างเช่น สำหรับโวลต์มิเตอร์ที่มีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คงที่ ค่าความเท่าเทียมกันจะคงอยู่

δ ม = ±ค

ข้อผิดพลาดแบบสัมพันธ์และข้อผิดพลาดที่ลดลงสัมพันธ์กันโดยการอ้างอิงต่อไปนี้:

ก) สำหรับค่าใดๆ ของข้อผิดพลาดที่ลดลง

δ=±γ·G บรรทัดฐาน/G u

b) สำหรับข้อผิดพลาดที่ลดลงมากที่สุด

δ=±γ m ·G บรรทัดฐาน/G u

จากความสัมพันธ์เหล่านี้ ตามมาว่าเมื่อทำการวัด เช่น ด้วยโวลต์มิเตอร์ ในวงจรที่มีค่าแรงดันไฟฟ้าเท่ากัน ยิ่งแรงดันไฟฟ้าที่วัดได้ต่ำ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ก็จะยิ่งมากขึ้น และหากเลือกโวลต์มิเตอร์นี้ไม่ถูกต้องข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ก็สามารถเทียบเคียงกับค่าได้จีเอ็น ซึ่งเป็นที่ยอมรับไม่ได้ โปรดทราบว่าตามคำศัพท์ของปัญหาที่กำลังแก้ไขเช่นเมื่อทำการวัดแรงดันไฟฟ้า G = U เมื่อทำการวัดกระแส C = I การกำหนดตัวอักษรในสูตรสำหรับการคำนวณข้อผิดพลาดจะต้องถูกแทนที่ด้วยสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่างที่ 1.1โวลต์มิเตอร์ที่มีค่า γ m = 1.0% U n = บรรทัดฐาน G, G k = 450 V, วัดแรงดันไฟฟ้า U คุณเท่ากับ 10 V ให้เราประมาณค่าข้อผิดพลาดในการวัด

สารละลาย.

คำตอบ.ข้อผิดพลาดในการวัดคือ 45% ด้วยข้อผิดพลาดดังกล่าว แรงดันไฟฟ้าที่วัดได้จึงไม่ถือว่าเชื่อถือได้

ที่ ความพิการการเลือกอุปกรณ์ (โวลต์มิเตอร์) ข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธีสามารถนำมาพิจารณาได้ด้วยการแก้ไขที่คำนวณโดยใช้สูตร

ตัวอย่างที่ 1.2 คำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของโวลต์มิเตอร์ V7-26 เมื่อวัดแรงดันไฟฟ้าในวงจร ดี.ซี- ระดับความแม่นยำของโวลต์มิเตอร์ระบุโดยค่าความผิดพลาดที่ลดลงสูงสุด γ m =±2.5% ขีดจำกัดสเกลโวลต์มิเตอร์ที่ใช้ในงานคือ U norm = 30 V

สารละลาย.ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คำนวณโดยใช้สูตรที่ทราบ:

(เนื่องจากข้อผิดพลาดที่ลดลงตามคำจำกัดความแสดงโดยสูตร จากนั้นคุณจะพบข้อผิดพลาดที่แท้จริงจากที่นี่:

คำตอบ.ΔU = ±0.75 โวลต์

ขั้นตอนสำคัญในกระบวนการวัดคือการประมวลผลผลลัพธ์และกฎการปัดเศษ ทฤษฎีการคำนวณโดยประมาณช่วยให้ทราบระดับความแม่นยำของข้อมูลเพื่อประเมินระดับความแม่นยำของผลลัพธ์ก่อนที่จะดำเนินการ: เพื่อเลือกข้อมูลที่มีระดับความแม่นยำที่เหมาะสมเพียงพอเพื่อให้มั่นใจถึงความแม่นยำที่ต้องการของผลลัพธ์ แต่ไม่มากเกินไปที่จะบันทึกเครื่องคิดเลขจากการคำนวณที่ไร้ประโยชน์ หาเหตุผลเข้าข้างตนเองของกระบวนการคำนวณโดยอิสระจากการคำนวณที่จะไม่ส่งผลกระทบต่อตัวเลขและผลลัพธ์ที่แน่นอน

เมื่อประมวลผลผลลัพธ์ จะใช้กฎการปัดเศษ

• กฎข้อที่ 1 หากทิ้งหลักแรกมากกว่าห้า หลักสุดท้ายคงไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก

• กฎข้อที่ 2 หากหลักแรกที่ถูกทิ้งน้อยกว่าห้า จะไม่มีการบวกเพิ่ม

• กฎข้อที่ 3 หากตัวเลขที่ถูกทิ้งคือห้าและไม่มีเลขนัยสำคัญอยู่ข้างหลัง ให้ทำการปัดเศษให้เป็นเลขคู่ที่ใกล้ที่สุด เช่น หลักสุดท้ายที่เก็บไว้จะยังคงเหมือนเดิมหากเป็นเลขคู่ และจะเพิ่มขึ้นหากไม่เป็นเลขคู่

หากมีเลขนัยสำคัญอยู่หลังเลข 5 ให้ปัดเศษตามกฎข้อ 2

เมื่อใช้กฎข้อ 3 ในการปัดเศษตัวเลขเดียว เราจะไม่เพิ่มความแม่นยำของการปัดเศษ แต่ด้วยการปัดเศษมาก จะมีจำนวนเกินบ่อยพอๆ กับจำนวนต่ำกว่า การชดเชยข้อผิดพลาดร่วมกันจะช่วยให้ผลลัพธ์มีความแม่นยำสูงสุด

มีการเรียกตัวเลขที่เกินกว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ (หรือในกรณีที่แย่ที่สุดเท่ากับค่านั้น) ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุด

ขนาดของข้อผิดพลาดสูงสุดไม่แน่นอนทั้งหมด สำหรับแต่ละจำนวนโดยประมาณ จะต้องทราบข้อผิดพลาดสูงสุด (สัมบูรณ์หรือสัมพัทธ์)

เมื่อไม่ได้ระบุโดยตรง จะเข้าใจว่าค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดคือครึ่งหน่วยของตัวเลขหลักสุดท้ายที่เขียน ดังนั้น หากให้ค่าประมาณ 4.78 โดยไม่ระบุค่าความคลาดเคลื่อนสูงสุด ให้ถือว่าค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดคือ 0.005 จากข้อตกลงนี้ คุณสามารถทำได้เสมอโดยไม่ต้องระบุข้อผิดพลาดสูงสุดของตัวเลขที่ปัดเศษตามกฎ 1-3 เช่น หากตัวเลขโดยประมาณแสดงด้วยตัวอักษร α ดังนั้น

โดยที่ Δn คือความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุด และ δ n คือข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุด

นอกจากนี้ เมื่อประมวลผลผลลัพธ์ เราก็ใช้ กฎเกณฑ์ในการค้นหาข้อผิดพลาด ผลรวม ผลต่าง ผลิตภัณฑ์ และผลหาร

• กฎข้อที่ 1 ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดของผลรวมเท่ากับผลรวมของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดของแต่ละเงื่อนไข แต่ด้วยข้อผิดพลาดจำนวนมากของเงื่อนไข การชดเชยข้อผิดพลาดร่วมกันมักจะเกิดขึ้น ดังนั้นข้อผิดพลาดที่แท้จริงของผลรวมเฉพาะในกรณีพิเศษเท่านั้น กรณีเกิดขึ้นพร้อมกับข้อผิดพลาดสูงสุดหรือใกล้เคียงกัน

• กฎข้อที่ 2 ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดของผลต่างเท่ากับผลรวมของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดของค่าความผิดพลาดที่ถูกลดหรือลบออก

ขีดจำกัด ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องค้นหาได้ง่ายโดยการคำนวณค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุด

• กฎข้อที่ 3 ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดของผลรวม (แต่ไม่ใช่ความแตกต่าง) อยู่ระหว่างข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของข้อกำหนด

หากเงื่อนไขทั้งหมดมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดเท่ากัน ผลรวมจะมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในกรณีนี้ ความถูกต้องของผลรวม (ในรูปแบบเปอร์เซ็นต์) ไม่ได้ด้อยกว่าความถูกต้องของข้อกำหนด

ตรงกันข้ามกับผลรวม ความแตกต่างของตัวเลขโดยประมาณอาจมีความแม่นยำน้อยกว่าค่าลบและค่าลบ การสูญเสียความแม่นยำจะยิ่งมากโดยเฉพาะเมื่อค่า minuend และ subtrahend ต่างกันเพียงเล็กน้อย

• กฎข้อที่ 4 ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดของผลคูณจะเท่ากับผลรวมของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดของปัจจัยต่างๆ โดยประมาณ: δ=δ 1 +δ 2 หรืออย่างแม่นยำยิ่งขึ้น δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 โดยที่ δ คือ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของผลิตภัณฑ์ δ 1 δ 2 - ปัจจัยข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

หมายเหตุ:

1. หากคูณตัวเลขโดยประมาณที่มีเลขนัยสำคัญเท่ากัน ควรคงจำนวนเลขนัยสำคัญเท่าเดิมไว้ในผลคูณ ตัวเลขสุดท้ายที่เก็บไว้จะไม่น่าเชื่อถืออย่างสมบูรณ์

2. หากปัจจัยบางอย่างมีเลขนัยสำคัญมากกว่าตัวอื่น ๆ ก่อนที่จะคูณควรปัดเศษตัวแรกโดยเก็บตัวเลขไว้ในนั้นให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เป็นปัจจัยที่แม่นยำน้อยที่สุดหรืออีกหนึ่งตัว (สำรองไว้) การบันทึกตัวเลขเพิ่มเติมนั้นไม่มีประโยชน์

3. หากจำเป็นต้องให้ผลคูณของตัวเลขสองตัวมีจำนวนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าซึ่งเชื่อถือได้โดยสมบูรณ์ดังนั้นในแต่ละปัจจัยจำนวนหลักที่แน่นอน (ได้มาจากการวัดหรือการคำนวณ) จะต้องมีอีกหนึ่งหลัก หากจำนวนปัจจัยมากกว่าสองและน้อยกว่าสิบ ดังนั้นในแต่ละปัจจัย จำนวนหลักที่แน่นอนสำหรับการรับประกันที่สมบูรณ์จะต้องมากกว่าจำนวนหลักที่แน่นอนที่ต้องการสองหน่วย ในทางปฏิบัติ การใช้ตัวเลขพิเศษเพียงหลักเดียวก็เพียงพอแล้ว

• กฎข้อที่ 5 ค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์สูงสุดของผลหารจะประมาณเท่ากับผลรวมของค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์สูงสุดของตัวหารและตัวหาร ค่าที่แน่นอนของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดจะสูงกว่าค่าประมาณเสมอ เปอร์เซ็นต์ของส่วนที่เกินจะประมาณเท่ากับค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์สูงสุดของตัวแบ่ง

ตัวอย่างที่ 1.3 ค้นหาความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดของผลหาร 2.81: 0.571

สารละลาย.ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดของเงินปันผลคือ 0.005:2.81=0.2%; ตัวหาร – 0.005:0.571=0.1%; ส่วนตัว – 0.2% + 0.1% = 0.3% ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดของผลหารจะอยู่ที่ประมาณ 2.81: 0.571·0.0030=0.015

ซึ่งหมายความว่าในผลหาร 2.81:0.571=4.92 ค่านัยสำคัญตัวที่สามไม่น่าเชื่อถือ

คำตอบ. 0,015.

ตัวอย่างที่ 1.4 คำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในการอ่านโวลต์มิเตอร์ที่เชื่อมต่อตามวงจร (รูปที่ 1.3) ซึ่งได้มาถ้าเราคิดว่าโวลต์มิเตอร์มีความต้านทานสูงอย่างไม่สิ้นสุดและไม่ทำให้เกิดการบิดเบือนในวงจรที่วัดได้ จำแนกข้อผิดพลาดในการวัดสำหรับปัญหานี้

ข้าว. 1.3

สารละลาย.ให้เราแสดงการอ่านโวลต์มิเตอร์จริงด้วย AND และของโวลต์มิเตอร์ที่มีความต้านทานสูงเป็นอนันต์ด้วย AND ∞ ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องที่จำเป็น

โปรดทราบว่า

แล้วเราก็ได้

เนื่องจาก R AND >>R และ R > r เศษส่วนในตัวส่วนของความเสมอภาคสุดท้ายจึงน้อยกว่า 1 มาก ดังนั้นคุณสามารถใช้สูตรโดยประมาณได้ , ใช้ได้สำหรับ γ≤1 สำหรับ α ใดๆ สมมติว่าในสูตรนี้ α = -1 และ λ= rR (r+R) -1 R และ -1 เราจะได้ δ µ rR/(r+R) R และ

ยิ่งความต้านทานของโวลต์มิเตอร์มากขึ้นเมื่อเปรียบเทียบกับความต้านทานภายนอกของวงจร ข้อผิดพลาดก็จะน้อยลง แต่เงื่อนไข R<

คำตอบ.ข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธีอย่างเป็นระบบ

ตัวอย่างที่ 1.5 วงจร DC (รูปที่ 1.4) รวมถึงอุปกรณ์ต่อไปนี้: A – แอมป์มิเตอร์ประเภท M 330, ระดับความแม่นยำ K A = 1.5 โดยมีขีด จำกัด การวัด I k = 20 A; A 1 - แอมป์มิเตอร์ประเภท M 366 ระดับความแม่นยำ K A1 = 1.0 พร้อมขีด จำกัด การวัด I k1 = 7.5 A ค้นหาข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ในการวัดกระแส I 2 และขีด จำกัด ที่เป็นไปได้ของค่าจริงหากเครื่องมือแสดงว่า I = 8 ,0เอ และฉัน 1 = 6.0A จำแนกการวัด

ข้าว. 1.4

สารละลาย.เรากำหนดกระแส I 2 จากการอ่านอุปกรณ์ (โดยไม่คำนึงถึงข้อผิดพลาด): I 2 =I-I 1 =8.0-6.0=2.0 A.

มาหาโมดูลข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของแอมป์มิเตอร์ A และ A 1

สำหรับ A เรามีความเท่าเทียมกัน สำหรับแอมป์มิเตอร์

มาหาผลรวมของโมดูลข้อผิดพลาดสัมบูรณ์:

ดังนั้น ค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ของค่าเดียวกัน ซึ่งแสดงเป็นเศษส่วนของค่านี้จะเท่ากับ 1 10 3 – สำหรับอุปกรณ์หนึ่งเครื่อง; 2·10 3 – สำหรับอุปกรณ์อื่น อุปกรณ์ใดต่อไปนี้จะแม่นยำที่สุด?

สารละลาย.ความถูกต้องของอุปกรณ์นั้นมีลักษณะเฉพาะโดยกลับกันของข้อผิดพลาด (ยิ่งอุปกรณ์มีความแม่นยำมากเท่าใด ข้อผิดพลาดก็จะน้อยลงเท่านั้น) เช่น สำหรับอุปกรณ์ตัวแรกจะเป็น 1/(1 . 10 3) = 1,000 สำหรับอุปกรณ์ตัวที่สอง – 1/(2 . 10 3) = 500 โปรดทราบว่า 1,000 > 500 ดังนั้น อุปกรณ์ตัวแรกจึงมีความแม่นยำเป็นสองเท่าของ อันที่สอง

คุณสามารถได้ข้อสรุปที่คล้ายกันโดยการตรวจสอบความสอดคล้องของข้อผิดพลาด: 2. 10 3 / 1. 10 3 = 2.

คำตอบ.อุปกรณ์ชิ้นแรกมีความแม่นยำเป็นสองเท่าของชิ้นที่สอง

ตัวอย่างที่ 1.6 หาผลรวมของการวัดโดยประมาณของอุปกรณ์ ค้นหาจำนวนอักขระที่ถูกต้อง: 0.0909 + 0.0833 + 0.0769 + 0.0714 + 0.0667 + 0.0625 + 0.0588+ 0.0556 + 0.0526

สารละลาย.เมื่อบวกผลการวัดทั้งหมดเข้าด้วยกัน เราจะได้ 0.6187 ข้อผิดพลาดสูงสุดสูงสุดของผลรวมคือ 0.00005·9=0.00045 ซึ่งหมายความว่าในหลักที่สี่สุดท้ายของผลรวมอาจมีข้อผิดพลาดได้ถึง 5 หน่วย ดังนั้นเราจึงปัดเศษเป็นตัวเลขที่สามคือ ในพัน เราได้ 0.619 ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่สัญญาณทั้งหมดถูกต้อง

คำตอบ. 0.619. จำนวนหลักที่ถูกต้องคือทศนิยมสามตำแหน่ง

สำหรับการวัดโดยตรง

1. ให้วัดแรงดันไฟฟ้าสองครั้งบนโวลต์มิเตอร์ คุณ 1 = 10 โวลต์ คุณ 2 = 200 V โวลต์มิเตอร์มีลักษณะดังต่อไปนี้: คลาสความแม่นยำ d คลาส t = 0.2, คุณสูงสุด = 300 โวลต์

ให้เราพิจารณาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการวัดเหล่านี้

เนื่องจากการวัดทั้งสองทำบนอุปกรณ์เดียวกัน ดังนั้น D คุณ 1 = ง คุณ 2 และคำนวณโดยใช้สูตร (ข.4)

ตามคำจำกัดความ ข้อผิดพลาดเชิงสัมพันธ์ คุณ 1 และ คุณ 2 เท่ากันตามลำดับ

ε 1 = 0.6 ∙ V / 10 V = 0.06 = 6%

ε 2 = 0.6 ∙ V / 200 V = 0.003 = 0.3%

จากผลการคำนวณที่กำหนด ε 1 และ ε 2 เป็นที่ชัดเจนว่า ε 1 มีขนาดใหญ่กว่า ε 2 อย่างมีนัยสำคัญ

สิ่งนี้นำไปสู่กฎ: คุณควรเลือกอุปกรณ์ที่มีขีดจำกัดการวัดจนค่าที่อ่านได้อยู่ในส่วนสามสุดท้ายของสเกล

2. ให้วัดปริมาณบ้างหลายๆ ครั้ง คือ ผลิตออกมา nการวัดปริมาณนี้แต่ละครั้ง เอกซ์ 1 , เอเอ็กซ์ 2 ,...,เอกซ์ 3 .

จากนั้น เพื่อคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ จะดำเนินการต่อไปนี้:

1) ใช้สูตร (ข.5) หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ก 0 ค่าที่วัดได้;

2) คำนวณผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของการวัดแต่ละรายการจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่พบ และใช้สูตร (B.6) หาค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยราก ซึ่งระบุลักษณะข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการวัดครั้งเดียวสำหรับการวัดโดยตรงหลายค่าของค่าที่แน่นอน ;

3) ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ε คำนวณโดยใช้สูตร (B.2)

การคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพันธ์

ด้วยการวัดทางอ้อม

การคำนวณข้อผิดพลาดในการวัดทางอ้อมเป็นงานที่ซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากในกรณีนี้ค่าที่ต้องการคือฟังก์ชันของปริมาณเสริมอื่น ๆ ซึ่งการวัดจะมาพร้อมกับข้อผิดพลาดที่ปรากฏ โดยปกติแล้วในการวัด นอกจากข้อผิดพลาดแล้ว ข้อผิดพลาดแบบสุ่มกลับกลายเป็นว่ามีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับค่าที่วัดได้ มีขนาดเล็กมากจนข้อผิดพลาดระดับที่สองและสูงกว่านั้นอยู่นอกเหนือความแม่นยำในการวัดและสามารถละเลยได้ เนื่องจากข้อผิดพลาดเล็กน้อยเพื่อให้ได้สูตรข้อผิดพลาด
วิธีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ใช้ในการวัดปริมาณที่วัดทางอ้อม เมื่อวัดปริมาณทางอ้อม เมื่อมีการวัดปริมาณที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการโดยตรง จะสะดวกกว่าที่จะระบุข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ก่อนแล้วจึง
ใช้ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ที่พบ คำนวณข้อผิดพลาดการวัดสัมบูรณ์

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการระบุข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในการวัดทางอ้อม

ให้ได้ตามปริมาณที่ต้องการ กเชื่อมต่อกันด้วยการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันกับปริมาณที่วัดได้โดยตรงอิสระหลายค่า x 1 ,
x 2 , ..., เอ็กซ์เค, เช่น.

ก= ฉ(x 1 , x 2 , ..., เอ็กซ์เค).

เพื่อกำหนดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่า กหาลอการิทึมธรรมชาติของทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน

ln ก= บันทึก ฉ(x 1 , x 2 , ..., เอ็กซ์เค).

จากนั้นจึงคำนวณส่วนต่างของลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชัน
ก= ฉ(x 1 ,x 2 , ..., เอ็กซ์เค),

ดีแอลเอ็น ก=dln ฉ(x 1 , x 2 , ..., เอ็กซ์เค)

การแปลงพีชคณิตและความเรียบง่ายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะดำเนินการในนิพจน์ผลลัพธ์ หลังจากนั้นสัญลักษณ์ดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด d จะถูกแทนที่ด้วยสัญลักษณ์ข้อผิดพลาด D และเครื่องหมายลบที่ด้านหน้าดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระจะถูกแทนที่ด้วยค่าบวกนั่นคือ กรณีที่ไม่เอื้ออำนวยที่สุดเกิดขึ้นเมื่อรวมข้อผิดพลาดทั้งหมดเข้าด้วยกัน ในกรณีนี้ จะมีการคำนวณข้อผิดพลาดสูงสุดของผลลัพธ์

ด้วยที่กล่าวมา

แต่ ε = D ก / ก

นิพจน์นี้เป็นสูตรสำหรับข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่า กในการวัดทางอ้อม จะกำหนดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าที่ต้องการ ผ่านข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าที่วัดได้ เมื่อคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์โดยใช้สูตร (ข.11) แล้ว
กำหนดข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของค่า กเป็นผลคูณของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์และค่าที่คำนวณได้ กเช่น.

ดี ก = ε ก, (บ.12)

โดยที่ ε แสดงเป็นตัวเลขไร้มิติ

ดังนั้น ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์และข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของปริมาณที่วัดทางอ้อมควรคำนวณตามลำดับต่อไปนี้:

1) ใช้สูตรที่คำนวณค่าที่ต้องการ (สูตรการคำนวณ)

2) หาลอการิทึมธรรมชาติของทั้งสองด้านของสูตรการคำนวณ

3) คำนวณผลต่างรวมของลอการิทึมธรรมชาติของปริมาณที่ต้องการ

4) การแปลงพีชคณิตและความง่ายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะดำเนินการในนิพจน์ผลลัพธ์

5) สัญลักษณ์ดิฟเฟอเรนเชียล d จะถูกแทนที่ด้วยสัญลักษณ์ข้อผิดพลาด D ในขณะที่สัญญาณลบทั้งหมดที่ด้านหน้าดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระจะถูกแทนที่ด้วยค่าบวก (ค่าความผิดพลาดสัมพัทธ์จะเป็นค่าสูงสุด) และได้รับสูตรข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

6) คำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าที่วัดได้

7) ขึ้นอยู่กับความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่คำนวณได้ ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการวัดทางอ้อมจะคำนวณโดยใช้สูตร (B.12)

ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์และข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการวัดทางอ้อม

1. ปริมาณที่ต้องการ กที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่วัดได้โดยตรง เอ็กซ์, ที่, zอัตราส่วน

ที่ไหน กและ ข– ค่าคงที่

2. หาลอการิทึมธรรมชาติของนิพจน์ (B.13)

3. คำนวณผลต่างรวมของลอการิทึมธรรมชาติของปริมาณที่ต้องการ กนั่นคือเราสร้างความแตกต่าง (B.13)

4. เราทำการเปลี่ยนแปลง เมื่อพิจารณาว่าง ก= 0 เนื่องจาก ก= const, cos ที่/บาป ย=กะทิ ยเราได้รับ:

5. แทนที่สัญลักษณ์ดิฟเฟอเรนเชียลด้วยสัญลักษณ์ข้อผิดพลาด และเครื่องหมายลบที่ด้านหน้าดิฟเฟอเรนเชียลด้วยเครื่องหมายบวก

6. เราคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าที่วัดได้

7. จากค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่คำนวณได้ ค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการวัดทางอ้อมจะคำนวณตามสูตร (ข.12) เช่น

ความยาวคลื่นสีเหลืองของเส้นสเปกตรัมปรอทถูกกำหนดโดยใช้ตะแกรงการเลี้ยวเบน (ใช้ลำดับที่ยอมรับในการคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์และข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สำหรับความยาวคลื่นสีเหลือง)

1. ความยาวคลื่นของสีเหลืองในกรณีนี้ถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน กับ– ค่าคงที่ของเกรตติงการเลี้ยวเบน (ค่าที่วัดทางอ้อม) φ f – มุมการเลี้ยวเบนของเส้นสีเหลืองตามลำดับสเปกตรัมที่กำหนด (ค่าที่วัดได้โดยตรง) เค g คือลำดับสเปกตรัมที่ใช้ในการสังเกต

ค่าคงที่ตะแกรงการเลี้ยวเบนคำนวณโดยสูตร

ที่ไหน เค h – ลำดับสเปกตรัมของเส้นสีเขียว γ з – ความยาวคลื่นที่ทราบของสีเขียว (γ з – ค่าคงที่); φз – มุมการเลี้ยวเบนของเส้นสีเขียวตามลำดับสเปกตรัมที่กำหนด (ค่าที่วัดได้โดยตรง)

จากนั้นให้คำนึงถึงนิพจน์ (ข.15)

(ข.16)

ที่ไหน เคชม, เค g – สิ่งที่สังเกตได้ซึ่งถือว่าคงที่ φ ชั่วโมง φ w – คือ
ปริมาณที่วัดได้โดยตรง

Expression (B.16) เป็นสูตรการคำนวณสำหรับความยาวคลื่นสีเหลืองที่กำหนดโดยใช้ตะแกรงการเลี้ยวเบน

4. ง เคซี = 0; ง เคว = 0; dแล з = 0 เนื่องจาก เคชม, เคก. และ แล ชั่วโมง – ค่าคงที่;

แล้ว

5. (ข.17)

โดยที่ Dφ w, Dφ h – ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการวัดมุมการเลี้ยวเบนของสีเหลือง
และเส้นสเปกตรัมสีเขียว

6. คำนวณความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของความยาวคลื่นสีเหลือง

7. คำนวณความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของความยาวคลื่นสีเหลือง:

ดแลล ฉ = εแล ฉ.

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และสัมพัทธ์

องค์ประกอบของทฤษฎีข้อผิดพลาด

ตัวเลขที่แน่นอนและโดยประมาณ

ความถูกต้องของตัวเลขมักจะไม่มีข้อสงสัยเมื่อพูดถึงค่าข้อมูลทั้งหมด (ดินสอ 2 แท่ง 100 ต้น) อย่างไรก็ตาม ในกรณีส่วนใหญ่ เมื่อไม่สามารถระบุค่าที่แน่นอนของตัวเลขได้ (เช่น เมื่อวัดวัตถุด้วยไม้บรรทัด รับผลลัพธ์จากอุปกรณ์ ฯลฯ) เรากำลังจัดการกับข้อมูลโดยประมาณ

ค่าโดยประมาณคือตัวเลขที่แตกต่างจากค่าที่แน่นอนเล็กน้อยและแทนที่ในการคำนวณ ระดับที่ค่าโดยประมาณของตัวเลขแตกต่างจากค่าที่แน่นอนนั้นจะถูกกำหนดลักษณะเฉพาะ ข้อผิดพลาด .

แหล่งที่มาของข้อผิดพลาดหลักต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

1. ข้อผิดพลาดในการกำหนดปัญหาเกิดขึ้นจากการบรรยายปรากฏการณ์จริงโดยประมาณในทางคณิตศาสตร์

2. ข้อผิดพลาดของวิธีการเกี่ยวข้องกับความยากลำบากหรือความเป็นไปไม่ได้ในการแก้ปัญหาที่กำหนดและแทนที่ด้วยปัญหาที่คล้ายกันเพื่อให้สามารถใช้วิธีการแก้ปัญหาที่รู้จักและเข้าถึงได้และได้รับผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกับที่ต้องการ

3. ข้อผิดพลาดร้ายแรงที่เกี่ยวข้องกับค่าโดยประมาณของข้อมูลต้นฉบับและเนื่องจากประสิทธิภาพการคำนวณตัวเลขโดยประมาณ

4. ข้อผิดพลาดในการปัดเศษเกี่ยวข้องกับการปัดเศษของข้อมูลเริ่มต้นผลลัพธ์ระดับกลางและผลลัพธ์สุดท้ายที่ได้จากเครื่องมือคำนวณ

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และสัมพัทธ์

การคำนึงถึงข้อผิดพลาดเป็นสิ่งสำคัญของการใช้วิธีการเชิงตัวเลขเนื่องจากข้อผิดพลาดในผลลัพธ์สุดท้ายของการแก้ปัญหาทั้งหมดเป็นผลมาจากการโต้ตอบของข้อผิดพลาดทุกประเภท ดังนั้นงานหลักประการหนึ่งของทฤษฎีข้อผิดพลาดคือการประเมินความถูกต้องของผลลัพธ์ตามความถูกต้องของแหล่งข้อมูล

ถ้า เป็นตัวเลขที่แน่นอนและเป็นค่าโดยประมาณ ข้อผิดพลาด (ข้อผิดพลาด) ของค่าโดยประมาณคือระดับความใกล้เคียงของค่ากับค่าที่แน่นอน

การวัดข้อผิดพลาดเชิงปริมาณที่ง่ายที่สุดคือข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ ซึ่งถูกกำหนดเป็น

(1.1.2-1)

ดังที่เห็นได้จากสูตร 1.1.2-1 ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์มีหน่วยวัดเดียวกันกับค่า ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะได้ข้อสรุปที่ถูกต้องเกี่ยวกับคุณภาพของการประมาณตามขนาดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ถ้า และเรากำลังพูดถึงชิ้นส่วนเครื่องจักร การวัดจะหยาบมาก และถ้าเราพูดถึงขนาดของภาชนะก็จะแม่นยำมาก ในเรื่องนี้ได้มีการนำเสนอแนวคิดของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ซึ่งค่าของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เกี่ยวข้องกับโมดูลของค่าโดยประมาณ ( ).

(1.1.2-2)

การใช้ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์นั้นสะดวกเป็นพิเศษ เนื่องจากไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของปริมาณและหน่วยของการวัดข้อมูล ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะวัดเป็นเศษส่วนหรือเปอร์เซ็นต์ ตัวอย่างเช่น ถ้า

,ก , ที่ , จะเกิดอะไรขึ้นถ้า และ ,

ถ้าอย่างนั้น .

ในการประมาณค่าข้อผิดพลาดของฟังก์ชันเป็นตัวเลข คุณจำเป็นต้องรู้กฎพื้นฐานในการคำนวณข้อผิดพลาดของการกระทำ:

· เมื่อบวกและลบตัวเลข ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของตัวเลขรวมกัน

· เมื่อคูณและหารตัวเลข ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกันนั้นรวมกัน

· เมื่อบวกเลขประมาณยกกำลัง ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะคูณด้วยเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างที่ 1.1.2-1 ฟังก์ชันที่กำหนด: - ค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่า (ข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์) หากเป็นค่า เป็นที่รู้จัก และ 1 เป็นจำนวนที่แน่นอนและมีข้อผิดพลาดเป็นศูนย์

เมื่อกำหนดค่าของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์แล้ว เราสามารถหาค่าของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ได้ดังนี้ , โดยที่ค่าคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับค่าโดยประมาณ

เนื่องจากมักจะไม่ทราบค่าที่แน่นอนของปริมาณ การคำนวณ และ ตามสูตรข้างต้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นในทางปฏิบัติ จึงมีการประเมินข้อผิดพลาดสูงสุดของแบบฟอร์ม:

(1.1.2-3)

ที่ไหน และ – ปริมาณที่ทราบซึ่งเป็นขีดจำกัดบนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพันธ์ มิฉะนั้นจะเรียกว่า – ปริมาณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดและสัมบูรณ์สูงสุด ดังนั้นค่าที่แน่นอนจึงอยู่ภายใน:

หากมีค่า รู้จักกันแล้ว และถ้าทราบปริมาณแล้ว , ที่

สมมติว่าเรารันซีรีย์ของ nการวัดปริมาณที่เท่ากัน เอ็กซ์- เนื่องจากข้อผิดพลาดแบบสุ่มค่าแต่ละค่า เอ็กซ์ 1 ,เอ็กซ์ 2 ,เอ็กซ์ 3, เอ็กซ์ n ไม่เหมือนกันและเลือกค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่าที่ดีที่สุดของค่าที่ต้องการเท่ากับผลรวมเลขคณิตของค่าที่วัดได้ทั้งหมดหารด้วยจำนวนการวัด:

- (หน้า 1)

โดยที่ å คือสัญลักษณ์ของผลรวม ฉัน- หมายเลขการวัด n- จำนวนการวัด

ดังนั้น - ค่าที่ใกล้เคียงกับค่าจริงมากที่สุด ไม่มีใครรู้ความหมายที่แท้จริง คุณสามารถคำนวณเฉพาะช่วงเวลา D เท่านั้น เอ็กซ์ใกล้ ซึ่งค่าที่แท้จริงสามารถระบุได้ด้วยความน่าจะเป็นระดับหนึ่ง ร- ช่วงเวลานี้เรียกว่า ช่วงความมั่นใจ- ความน่าจะเป็นที่มูลค่าที่แท้จริงตกอยู่ในนั้นเรียกว่า ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นหรือสัมประสิทธิ์ความน่าเชื่อถือ(เนื่องจากความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นทำให้สามารถประเมินระดับความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ที่ได้รับ) เมื่อคำนวณช่วงความเชื่อมั่น ระดับความน่าเชื่อถือที่ต้องการจะถูกระบุล่วงหน้า ถูกกำหนดโดยความต้องการในทางปฏิบัติ (เช่น ข้อกำหนดที่เข้มงวดมากขึ้นถูกกำหนดกับชิ้นส่วนเครื่องยนต์อากาศยานมากกว่าเครื่องยนต์เรือ) แน่นอนว่าเพื่อให้ได้ความน่าเชื่อถือมากขึ้น จำเป็นต้องมีการเพิ่มจำนวนการวัดและความละเอียดถี่ถ้วน

เนื่องจากข้อผิดพลาดแบบสุ่มของการวัดแต่ละรายการขึ้นอยู่กับกฎความน่าจะเป็น วิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็นทำให้สามารถคำนวณค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยรากของค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ ดีเอ็กซ์สล. มาเขียนสูตรการคำนวณโดยไม่ต้องพิสูจน์กัน ดีเอ็กซ์ cl สำหรับการวัดจำนวนเล็กน้อย ( n < 30).

สูตรนี้เรียกว่าสูตรของนักเรียน:

, (ก.2)

ที่ไหน ที n, p - ค่าสัมประสิทธิ์นักเรียน ขึ้นอยู่กับจำนวนการวัด nและความน่าจะเป็นของความมั่นใจ ร.

ค่าสัมประสิทธิ์นักเรียนหาได้จากตารางด้านล่าง โดยพิจารณาค่าต่างๆ ตามความต้องการในทางปฏิบัติ (ดังที่ได้กล่าวข้างต้น) ไว้ก่อนหน้านี้ nและ ร.

เมื่อประมวลผลผลลัพธ์ของงานในห้องปฏิบัติการ ก็เพียงพอที่จะทำการวัด 3-5 ครั้ง และใช้ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นเท่ากับ 0.68

แต่มันเกิดขึ้นเมื่อมีการวัดหลายครั้งจะได้ค่าเดียวกัน เอ็กซ์- ตัวอย่างเช่น เราวัดเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นลวด 5 ครั้ง และได้ค่าเท่ากัน 5 ครั้ง ดังนั้นนี่ไม่ได้หมายความว่าไม่มีข้อผิดพลาดเลย ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดแบบสุ่มของการวัดแต่ละครั้งจะมีน้อยลงเท่านั้น ความแม่นยำอุปกรณ์ d ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า ห้องเครื่องดนตรี,หรือ เครื่องมือ, ข้อผิดพลาด. ข้อผิดพลาดด้านเครื่องมือของอุปกรณ์ d ถูกกำหนดโดยระดับความแม่นยำของอุปกรณ์ที่ระบุในหนังสือเดินทางหรือระบุบนอุปกรณ์นั้นเอง และบางครั้งก็คิดให้เท่ากับราคาหารของอุปกรณ์ (ราคาหารของอุปกรณ์คือมูลค่าของหารที่เล็กที่สุด) หรือครึ่งหนึ่งของราคาหารเครื่อง (ถ้าประมาณครึ่งหนึ่งของราคาหารเครื่องสามารถประมาณได้โดย ดวงตา).

เนื่องจากแต่ละค่า เอ็กซ์ฉันได้รับโดยมีข้อผิดพลาด d ​​จากนั้นช่วงความมั่นใจเต็ม ดีเอ็กซ์หรือข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ คำนวณโดยใช้สูตร:

- (ป.3)

โปรดทราบว่าหากในสูตร (A.3) ปริมาณใดปริมาณหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าปริมาณอื่นอย่างน้อย 3 เท่าแสดงว่าปริมาณที่น้อยกว่านั้นจะถูกละเลย

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในตัวมันเองไม่ได้สะท้อนถึงคุณภาพของการวัดที่ทำไป ตัวอย่างเช่น จากข้อมูลที่ระบุว่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์คือ 0.002 ตร.ม. เท่านั้น จึงไม่สามารถตัดสินได้ว่าการวัดนี้ดำเนินการได้ดีเพียงใด แนวคิดเกี่ยวกับคุณภาพของการวัดที่ได้รับนั้นมาจาก ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง e เท่ากับอัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต่อค่าเฉลี่ยของค่าที่วัดได้ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะแสดงสัดส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของค่าที่วัดได้ ตามกฎแล้ว ข้อผิดพลาดสัมพันธ์จะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์:

ลองดูตัวอย่าง ปล่อยให้วัดเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลโดยใช้ไมโครมิเตอร์ ซึ่งข้อผิดพลาดของเครื่องมือคือ d = 0.01 มม. จากการวัดสามครั้งทำให้ได้ค่าเส้นผ่านศูนย์กลางต่อไปนี้:

ง 1 = 2.42 มม. ง 2 = 2.44 มม. ง 3 = 2.48 มม.

ใช้สูตร (ก.1) หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเส้นผ่านศูนย์กลางลูกบอล

จากนั้นใช้ตารางค่าสัมประสิทธิ์นักเรียนพบว่าสำหรับระดับความเชื่อมั่น 0.68 ด้วยการวัด 3 ครั้ง ที n, p = 1.3. จากนั้นใช้สูตร (ก.2) เพื่อคำนวณข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่ม วสล

เนื่องจากข้อผิดพลาดแบบสุ่มที่เกิดขึ้นจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของข้อผิดพลาดจากเครื่องมือ เมื่อค้นหาข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ วตาม (ก.3) ควรคำนึงถึงทั้งข้อผิดพลาดแบบสุ่มและข้อผิดพลาดของเครื่องมือด้วย เช่น

มม. » ±0.03 มม.

ข้อผิดพลาดถูกปัดเศษเป็นร้อยมิลลิเมตรเนื่องจากความแม่นยำของผลลัพธ์จะต้องไม่เกินความแม่นยำของอุปกรณ์วัดซึ่งในกรณีนี้คือ 0.01 มม.

เส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นลวดคือ

มม.

รายการนี้แสดงให้เห็นว่าค่าที่แท้จริงของเส้นผ่านศูนย์กลางลูกบอลที่มีความน่าจะเป็น 68% อยู่ในช่วง (2.42 ธ 2.48) มม.

ค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ e ของค่าที่ได้รับตาม (ก.4) คือ

%.