เส้นตรงที่ได้จากจุดตัดกันของระนาบสองระนาบถูกกำหนดโดยจุดสองจุดโดยสมบูรณ์ ซึ่งแต่ละจุดเป็นของระนาบทั้งสองดังนั้นเส้นตรง K 1 K 2 (รูปที่ 163) ตามแนวระนาบที่กำหนดโดยสามเหลี่ยม ABC และ pl β กำหนดโดยเส้น DE และ DF ผ่านจุด K 1 และ K 2 แต่ ณ จุดเหล่านี้ เส้น AB และ AC ของระนาบแรกตัดกันสี่เหลี่ยมจัตุรัส β เช่น คะแนน K 1 และ K 2 เป็นของทั้งสองระนาบ

เพราะฉะนั้น, ในกรณีทั่วไป ในการสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ คุณจะต้องค้นหาจุดสองจุดใดๆ ซึ่งแต่ละจุดเป็นของระนาบทั้งสอง จุดเหล่านี้กำหนดเส้นตัดกันของเครื่องบิน

ในการค้นหาแต่ละจุดทั้งสองนี้ โดยปกติจำเป็นต้องดำเนินการก่อสร้างพิเศษ แต่ถ้าระนาบที่ตัดกันอย่างน้อยหนึ่งระนาบตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพ การสร้างเส้นโครงของเส้นตัดจะง่ายขึ้น เริ่มจากกรณีนี้กันก่อน

ในรูป 164 แสดงจุดตัดกันของระนาบสองระนาบ โดยระนาบหนึ่ง (กำหนดโดยสามเหลี่ยม DEF) ตั้งอยู่ในแนวตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส พาย 2. เนื่องจากสามเหลี่ยม DEF ถูกฉายลงบนสี่เหลี่ยมจัตุรัส π 2 ในรูปแบบของเส้นตรง (D "F") การฉายภาพส่วนหน้าของส่วนของเส้นตรงที่สามเหลี่ยมทั้งสองตัดกันจึงเป็นส่วน K " 1 K " 2 บนเส้นโครง ดี "ฟ" การก่อสร้างเพิ่มเติมมีความชัดเจนจากแบบ

อีกตัวอย่างหนึ่งแสดงไว้ในรูปที่ 165. ระนาบที่ฉายในแนวนอน α ตัดกับระนาบของสามเหลี่ยม ABC เส้นโครงแนวนอนของเส้นตัดของระนาบเหล่านี้ - ส่วน M"N" - ถูกกำหนดบนร่องรอย α"

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน กรณีทั่วไปของการสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ- ให้ระนาบใดระนาบหนึ่ง β ถูกกำหนดด้วยเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน และอีกระนาบหนึ่งคือ γ ด้วยเส้นคู่ขนานสองเส้น การก่อสร้างแสดงไว้ในรูปที่. 166. จากจุดตัดกันของระนาบ β และ γ จะได้เส้นตรง K 1 K 2 ลองแสดงสิ่งนี้โดยเขียน: β × γ = K 1 K 2

ในการกำหนดตำแหน่งของจุด K 1 และ K 2 เราใช้ระนาบเสริมที่ฉายด้านหน้าสองอัน (α 1 และ α 2) ตัดกันแต่ละระนาบ β และ γ เมื่อระนาบ β และ γ ตัดกับระนาบ α 1 เราได้เส้นตรงที่มีเส้นโครง 1"2", 1"2" และ 3"4", 3"4" เส้นตรงเหล่านี้ตั้งอยู่ในจัตุรัส α 1 ที่ทางแยกให้กำหนดจุดแรก K 1 เส้นตัดของระนาบ β และ γ

เมื่อได้เส้นโครง K" 1 และ K" 2 แล้ว เราจะพบเส้นโครง K" 1 และ K" 2 บนร่องรอยทั้ง α" 1 และ α" 2 สิ่งนี้จะกำหนดเส้นโครง K" 1 K" 2 และ K" 1 K" 2 ของเส้นตรงที่ต้องการของจุดตัดของระนาบ β และ γ (เส้นโครงจะถูกวาดด้วยเส้นประ-จุด)

เมื่อสร้าง คุณสามารถคำนึงถึงสิ่งต่อไปนี้: เนื่องจากระนาบการตัดเสริม α 1 และ α 2 ขนานกัน ดังนั้น เมื่อสร้างส่วนยื่นขนาด 1"2" และ 3"4" แล้ว เราควรใช้จุดละหนึ่งจุดสำหรับส่วนยื่นขนาด 5" 6" และ 7"8" อย่างน้อย 5 และ 8 เนื่องจาก 5"6"||1"2" และ 7"8"||3"4"

ในการก่อสร้างที่พิจารณา มีการใช้เครื่องบินที่ฉายด้านหน้า 2 ลำเป็นเครื่องเสริม แน่นอนว่ามันเป็นไปได้ที่จะใช้ระนาบอื่นเช่นสองแนวนอนหรือแนวนอนหนึ่งอันหน้าผากอีกอัน ฯลฯ สาระสำคัญของโครงสร้างไม่เปลี่ยนแปลงไปจากนี้ อย่างไรก็ตามกรณีดังกล่าวอาจเกิดขึ้นได้ สมมติว่าระนาบแนวนอนสองระนาบถูกนำมาใช้เป็นระนาบเสริมและระนาบแนวนอนทั้งสองระนาบจะตัดกัน

ระนาบแนวนอน β และ γ กลายเป็นขนานกัน แต่ข้าว.. 167 แสดงว่า β และ γ ตัดกัน แม้ว่าเส้นแนวนอนของพวกมันจะขนานกันก็ตาม ดังนั้น เมื่อได้รับการฉายภาพแนวนอนขนานกันของแนวนอน AB และ CD และรู้ว่าระนาบไม่จำเป็นต้องขนานกัน แต่สามารถตัดกัน (ตามแนวนอนทั่วไปสำหรับพวกมัน) จึงจำเป็นต้องทดสอบระนาบ β และ γ โดยใช้อย่างน้อย a ระนาบที่ฉายในแนวนอน (ดูรูปที่ 167) ถ้าเส้นตรงที่ระนาบเสริม σ ตัดกับ β และ γ จะกลายเป็นขนานกัน ดังนั้นระนาบ β และ γ จะไม่ตัดกัน แต่ขนานกัน ในรูป 167 เส้นเหล่านี้ตัดกันที่จุด K โดยเส้นตัดของระนาบ β และ γ ผ่านขนานกับเส้นตรง BA และ CD

หากระนาบถูกกำหนดโดยร่องรอยบนระนาบฉายภาพ ก็เป็นเรื่องปกติที่จะมองหาจุดที่กำหนดเส้นตัดของระนาบ ณ จุดที่ตัดกันของเส้นเส้นเดียวกันของระนาบ (รูปที่ 168): เส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้เป็นเรื่องปกติสำหรับทั้งสองระนาบ กล่าวคือ ทางแยกของเส้น

รูปแบบการสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ (ดูรูปที่ 166) สามารถขยายไปยังกรณีการระบุระนาบด้วยร่องรอยได้ นี่คือบทบาทของระนาบการตัดเสริมที่เล่นโดยระนาบฉายภาพเอง:

α × π 1 =h" 0α ; β× π 1 =h" 0β ; ชั่วโมง" 0α × ชั่วโมง" 0β =M;

α × π 2 =ฉ" 0α ; β× π 2 =ฉ" 0β ; ฉ" 0α × f" 0β =N.

จุดตัดกันของร่องรอยระนาบที่มีชื่อเดียวกันคือร่องรอยของเส้นตัดกันของระนาบเหล่านี้ ดังนั้นเพื่อสร้างเส้นโครงของเส้นตัดของระนาบ α และ β (รูปที่ 168) จำเป็น: 1) ค้นหาจุด M" ที่จุดตัดของร่องรอย h" 0α และ h" 0β

และชี้ N" ที่จุดตัดของ f" 0α และ f" 0βและตามนั้น - เส้นโครง M" และ N"; 2) วาดเส้นตรง M"N" และ M"N"

ในรูป 169-171 แสดงกรณีที่ทราบทิศทางของเส้นตัดกัน ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะมีเพียงจุดเดียวจากจุดตัดของร่องรอยแล้วลากเส้นตรงผ่านจุดนี้ตามตำแหน่งของเครื่องบินและร่องรอยของมัน

คำถามสำหรับ§§ 22-24

1. เครื่องบินทั้งสองลำสามารถครองตำแหน่งสัมพัทธ์ใดได้บ้าง?
2. ข้อใดเป็นสัญญาณของการขนานกันของระนาบสองระนาบ
3. รอยทางด้านหน้าของระนาบที่ฉายด้านหน้าขนานกันสองลำอยู่ร่วมกันอย่างไร
4. รอยทางแนวนอนของระนาบที่ฉายในแนวนอนขนานกันสองลำอยู่ร่วมกันได้อย่างไร
5. รอยทางที่มีชื่อเดียวกันของเครื่องบินสองลำขนานกันนั้นอยู่ร่วมกันได้อย่างไร?
6. จุดตัดของรางที่มีชื่อเดียวกันอย่างน้อยหนึ่งคู่เป็นสัญญาณของจุดตัดร่วมกันของเครื่องบินสองลำหรือไม่?
7. จะสร้างตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงและระนาบได้อย่างไร?
8. จุดตัดของเส้นตรงที่มีระนาบตั้งฉากกับระนาบฉายภาพหนึ่งหรือสองอันถูกสร้างขึ้นอย่างไร
9. จุดใดจากบรรดาที่ตั้งอยู่บนตั้งฉากทั่วไปกับ a) pl. π 1 ข) ได้โปรด π 2 ถือว่ามองเห็นได้ตามลำดับบน π 1, บน π 2?
10. วิธีสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ โดยอย่างน้อยหนึ่งระนาบจะตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส π 1 หรือถึง pl. พาย 2?
11. วิธีทั่วไปในการสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบคืออะไร?

ตัวอย่างการสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบโดยใช้วิธีตัดระนาบตัวกลางแสดงไว้ในรูปที่ 1.3.25 เครื่องบิน สกำหนดโดยเส้นตัดกัน กและ ขและเครื่องบิน ถาม– เส้นขนาน กับและ ง.

เพื่อหาเส้น ลทางแยกเครื่องบิน สและ ถามลองวาดเครื่องบินสองลำที่ฉายทางด้านหน้ากัน ว(ว 2) และ W¢(W¢ 2) ซึ่งเป็นคนกลาง เครื่องบิน วตัดกันระนาบเหล่านี้ สและ ถามเป็นเส้นตรง 1-2 (1 2 -2 2 , 1 1 -2 1 ) และ 3-4 (3 2 -4 2 , 3 1 -4 1 - ให้เราแสดงจุดตัดของเส้นเหล่านี้ด้วย ถึง(เค 1, เค 2- จุด ถึงเป็นของเครื่องบินสามลำพร้อมกัน เอส, คิว, ว.เพราะฉะนั้นประเด็น ถึง สและ ถามเครื่องบิน W¢ตัดกันเครื่องบิน สและ ถามเป็นเส้นตรง 5-6 (5 1 -6 1 , 5 2 -6 2 ) และ 7-8 (7 1 -8 1 , 7 2 -8 2 - จุดตัดของเส้นเหล่านี้คือจุด เค¢- เธอเป็นเหมือนช่วงเวลาหนึ่ง ถึงอยู่ในแนวตัดกันของระนาบ สและ ถาม- ดังนั้นตรง ล,ผ่านจุดต่างๆ ถึงและ เค¢มีเส้นตรงที่ต้องการตัดกันของระนาบเหล่านี้ สและ ถาม.

รูปที่ 1.3.26 – จุดตัดกันของระนาบสองระนาบในตำแหน่งทั่วไป

รูปที่ 1.3.26 แสดงตัวอย่างการสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบโดยตัดเส้นตรงกับระนาบ ระนาบถูกกำหนดโดยรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ อีจีเอฟ- เครื่องบินตัดเสริม ส(เอส 2) และ เอส¢(เอส 2) ถูกดึงผ่านด้านข้าง เช่นและ ดวงอาทิตย์รูปสามเหลี่ยม เครื่องบิน ส(เอส 2) ตัดกับสามเหลี่ยม เอบีซีเป็นเส้นตรง 1-2 - จุด ถึง เช่นและ 1-2 - เครื่องบิน เอส¢(เอส¢ 2) ตัดกับสามเหลี่ยม อีจีเอฟเป็นเส้นตรง 3-4 - จุด เค¢เป็นผลจากการตัดกันของเส้น ดวงอาทิตย์และ 3-4 - คะแนน ถึงและ เค¢จำกัดส่วนของเส้นตัดที่ต้องการซึ่งอยู่ภายในสามเหลี่ยมทั้งสอง

การมองเห็นสัมพัทธ์ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดจากมุมมองด้านหน้าโดยใช้จุดที่แข่งขันกัน 2 และ 4 จุดไหน 4 ด้านข้าง เช่นครอบคลุมประเด็น 2 ด้านข้าง ดวงอาทิตย์- ทัศนวิสัยบนระนาบแนวนอนของการฉายภาพถูกกำหนดโดยใช้จุดที่แข่งขันกัน 5 และ 6 จุดไหน 6 ด้านข้าง เช่นครอบคลุมประเด็น 5 ด้านข้าง เครื่องปรับอากาศ.

เส้นโค้ง

เส้นโค้งถือได้ว่าเป็นร่องรอยของจุดที่เคลื่อนที่ จุดนี้อาจเป็นจุดเดียวหรือจุดที่เป็นของเส้นหรือพื้นผิวที่เคลื่อนที่ในอวกาศ

เส้นโค้งสามารถเกิดขึ้นได้จากจุดตัดของพื้นผิวโค้งกับระนาบ (ในกรณีทั่วไป) โดยการจุดตัดกันของพื้นผิวทั้งสอง อย่างน้อยหนึ่งในนั้นคือเส้นโค้ง

กฎแห่งการก่อตัวของเส้นโค้งคือชุดของเงื่อนไขที่กำหนดเส้นนี้ จุด เส้น พื้นผิว เคลื่อนที่ในอวกาศ ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่ต่างกัน ระนาบสามารถตัดพื้นผิวโค้งต่างๆ ในทิศทางต่างๆ ได้ พื้นผิวที่หลากหลายสามารถตัดกันในตำแหน่งที่ต่างกันซึ่งสัมพันธ์กัน เป็นไปตามนั้น การก่อตัวของเส้นโค้งสามารถเกิดขึ้นได้โดยมีเงื่อนไขจำนวนอนันต์ และสามารถสร้างเส้นโค้งได้เป็นจำนวนอนันต์ นอกจากนี้เส้นโค้งเดียวกันสามารถเกิดขึ้นได้หลายวิธี

ตัวอย่างเช่น วงรีสามารถเกิดขึ้นได้จากการเคลื่อนที่ของจุดหนึ่งในระนาบ ซึ่ง ณ เวลาใดก็ตาม ผลรวมของระยะทางจากจุดนี้ไปยังจุดคงที่อีกสองจุด - จุดโฟกัสของวงรี - จะคงที่และเท่ากับ แกนเอกของวงรี แต่วงรียังสามารถเกิดขึ้นได้จากจุดตัดของทรงกระบอกทรงกลมกับระนาบที่ตั้งโดยพลการตามแกนของมัน หรือโดยจุดตัดกันของพื้นผิวของทรงกระบอกทรงกลมสองอันที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน

เส้นโค้งทั้งหมดตามตำแหน่งของจุดในอวกาศแบ่งออกเป็นสองประเภท: เส้นโค้งแบน– เส้นโค้ง จุดทุกจุดอยู่ในระนาบเดียวกัน (เช่น วงกลม วงรี พาราโบลา เป็นต้น) และ เส้นโค้งเชิงพื้นที่– เส้นโค้งที่มีจุดไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เช่น เกลียว

เส้นตรงในอวกาศสามารถกำหนดเป็นเส้นตัดกันของระนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบ และนั่นคือ เป็นเซตของจุดที่เป็นไปตามระบบสมการเชิงเส้นสองอัน

(V.5)

ข้อความตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: ระบบสมการเชิงเส้นอิสระสองสมการในรูปแบบ (ข้อ 5) กำหนดให้เส้นตรงเป็นเส้นตัดกันของระนาบ (หากสมการไม่ขนานกัน) สมการของระบบ (V.5) เรียกว่า สมการทั่วไปเส้นตรงในอวกาศ
.

ตัวอย่างวี.12 . เขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการทั่วไปของระนาบ

สารละลาย. ในการเขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงหรือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด คุณจะต้องค้นหาพิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนเส้นตรง พวกเขาสามารถเป็นจุดตัดกันของเส้นตรงกับระนาบพิกัดสองระนาบใดก็ได้ ออยซ์และ อ็อกซ์.

จุดตัดของเส้นตรงและระนาบ ออยซ์มีแอบซิสซา
- ดังนั้นหากสมมุติในระบบสมการนี้
เราจะได้ระบบที่มีตัวแปรสองตัว:

การตัดสินใจของเธอ
,
พร้อมด้วย
กำหนดจุด
เส้นตรงที่ต้องการ สมมติในระบบสมการนี้
เราก็ได้ระบบ

วิธีแก้ปัญหาของใคร
,
พร้อมด้วย
กำหนดจุด
จุดตัดของเส้นกับระนาบ อ็อกซ์.

ทีนี้ลองเขียนสมการของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ กัน
และ
:
หรือ
, ที่ไหน
จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงนี้

ตัวอย่างวี.13. เส้นตรงได้มาจากสมการบัญญัติ
- เขียนสมการทั่วไปของเส้นนี้

สารละลาย.สมการทางบัญญัติของเส้นตรงสามารถเขียนเป็นระบบของสมการอิสระสองสมการได้:



เราได้รับสมการทั่วไปของเส้นตรง ซึ่งขณะนี้ได้มาจากจุดตัดของระนาบสองระนาบ ซึ่งหนึ่งในนั้น
ขนานกับแกน ออนซ์ (
) และอื่นๆ
– แกน โอ้ (
).

เส้นตรงนี้สามารถแสดงเป็นเส้นตัดกันของระนาบอีกสองระนาบได้โดยการเขียนสมการมาตรฐานของมันในรูปแบบของสมการอิสระอีกคู่หนึ่ง:



ความคิดเห็น . เส้นตรงเดียวกันสามารถกำหนดได้โดยระบบที่แตกต่างกันของสมการเชิงเส้นสองสมการ (นั่นคือ โดยจุดตัดของระนาบที่ต่างกัน เนื่องจากระนาบจำนวนอนันต์สามารถลากผ่านเส้นตรงเส้นเดียวได้) เช่นเดียวกับสมการมาตรฐานที่แตกต่างกัน (ขึ้นอยู่กับ การเลือกจุดบนเส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทาง) .

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ขนานกับเส้นตรง เราจะเรียกมันว่า เวกเตอร์นำทาง .

ปล่อยให้อยู่ในอวกาศสามมิติ ให้เส้นตรง ล,ผ่านจุด
และเวกเตอร์ทิศทางของมัน
.

เวกเตอร์ใดๆ
, ที่ไหน
นอนอยู่บนเส้นตรง อยู่ในแนวเดียวกันกับเวกเตอร์ ดังนั้นพิกัดของมันจึงเป็นสัดส่วนนั่นคือ

- (V.6)

สมการนี้เรียกว่าสมการมาตรฐานของเส้นตรง ในกรณีพิเศษ เมื่อ ﻉ เป็นระนาบ เราจะได้สมการของเส้นตรงบนระนาบ

- (V.7)

ตัวอย่างวี.14. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด
,
.

,

ที่ไหน
,
,
.

สะดวกในการเขียนสมการ (V.6) ในรูปแบบพาราเมตริก เนื่องจากพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นขนานนั้นเป็นสัดส่วน ดังนั้น ให้สมมติว่า

,

ที่ไหน ที - พารามิเตอร์
.

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

พิจารณาปริภูมิแบบยุคลิดสองมิติ ﻉ ด้วยระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ปล่อยให้ประเด็น
ﻉ และ ลﻉ. ลองหาระยะทางจากจุดนี้ถึงเส้นตรง เอาล่ะใส่
และตรงไปตรงมา ลกำหนดโดยสมการ
(รูปที่V.8)

ระยะทาง
, เวกเตอร์
, ที่ไหน
– เวกเตอร์เส้นปกติ ล,
และ – เส้นตรง ดังนั้นพิกัดของมันจึงเป็นสัดส่วน นั่นคือ
, เพราะฉะนั้น,
,
.

จากที่นี่
หรือคูณสมการเหล่านี้ด้วย กและ บีตามลำดับ และเพิ่มเข้าไป เราพบ
จากที่นี่

.

(V.8)

กำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่ง
เป็นเส้นตรง
.

ตัวอย่างวี.15. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง
ตั้งฉากกับเส้นตรง ล:
และหาระยะทางจาก
เป็นเส้นตรง ล.

จากรูป V.8 เราก็มี
และเวกเตอร์ตั้งฉากเป็นเส้นตรง ล
- จากสภาวะตั้งฉากที่เรามี

เพราะ
, ที่

- (V.9)

นี่คือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง
ตั้งฉากกับเส้นตรง
.

ให้สมการของเส้นตรง (V.9) ผ่านจุดนั้นมา
ตั้งฉากกับเส้น ล:
- หาระยะทางจากจุด
เป็นเส้นตรง ลโดยใช้สูตร (V.8)

หากต้องการค้นหาระยะทางที่ต้องการ ก็เพียงพอที่จะค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด
และช่วงเวลา
นอนอยู่บนเส้นตรงฐานตั้งฉาก อนุญาต
, แล้ว

เพราะ
และเวกเตอร์
, ที่

- (V.11)

ตั้งแต่จุด
อยู่บนเส้นตรง ลแล้วเราก็มีความเท่าเทียมกันอีกอย่างหนึ่ง
หรือ

ให้เราลดระบบให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการประยุกต์ใช้วิธี Cramer

สารละลายมีรูปแบบ

,

- (V.12)

เมื่อแทน (V.12) เข้ากับ (V.10) เราจะได้ระยะทางเดิม

ตัวอย่างวี.16. จุดถูกกำหนดไว้ในปริภูมิสองมิติ
และตรง
- หาระยะทางจากจุดหนึ่ง
เป็นเส้นตรง เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง
ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนดและหาระยะห่างจากจุดนั้น
ไปยังฐานตั้งฉากกับเส้นเดิม

โดยสูตร (V.8) เราก็ได้

เราพบสมการของเส้นตรงที่มีเส้นตั้งฉากเป็นเส้นที่ลากผ่านจุดสองจุด
และ
โดยใช้สูตร (V.11) เพราะ
แล้วคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า
, ก
เรามี

.

เพื่อค้นหาพิกัด
เรามีระบบคำนึงถึงข้อเท็จจริงว่าตรงประเด็น
อยู่บนเส้นเดิม

เพราะฉะนั้น,
,
จากที่นี่

พิจารณาปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ﻉ ปล่อยให้ประเด็น
ﻉ และระนาบ ﻉ ลองหาระยะทางจากจุดนี้กัน
ไปยังระนาบ กำหนดโดยสมการ (รูปที่ V.9)

คล้ายคลึงกับพื้นที่สองมิติที่เรามี
และเวกเตอร์
อ่า จากที่นี่

- (V.13)

เราเขียนสมการของเส้นตรงที่มีฉากตั้งฉากกับระนาบ  เป็นสมการของเส้นที่ผ่านจุดสองจุด
และ
, นอนอยู่ในเครื่องบิน:

- (V.14)

เพื่อค้นหาพิกัดของจุด
สำหรับความเท่าเทียมกันใดๆ ของสูตร (V.14) เราจะเพิ่มสมการลงไป

เราพบการแก้ระบบสมการสามสมการ (ข้อ 14), (ข้อ 15) ,,– พิกัดจุด
- จากนั้นสมการตั้งฉากจะเขียนอยู่ในรูป

.

การหาระยะทางจากจุดหนึ่ง
ไปยังระนาบ  แทนสูตร (V.13) ที่เราใช้

เส้นตรงของจุดตัดของระนาบสองระนาบถูกกำหนดโดยจุดสองจุด ซึ่งแต่ละจุดเป็นของระนาบทั้งสอง หรือจุดหนึ่งเป็นของระนาบสองระนาบ และทิศทางของเส้นที่ทราบ ในทั้งสองกรณี ภารกิจคือการหาจุดร่วมของระนาบทั้งสอง

เทคนิคทั่วไปในการสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบมีดังนี้ มีการแนะนำระนาบเสริม เส้นของจุดตัดของระนาบเสริมกับสองอันที่กำหนดได้ถูกสร้างขึ้น และจุดร่วมกันของระนาบทั้งสองจะอยู่ที่จุดตัดของเส้นที่สร้างขึ้น เพื่อค้นหาจุดร่วมที่สอง การก่อสร้างซ้ำโดยใช้ระนาบเสริมอื่น

รูปที่ 5 แสดงภาพเส้นตัดกัน เค 1 เค 2เครื่องบินสองลำ รและ ถาม.

รูปที่ 5

เพื่อแสดงให้เห็นภาพของการสร้างจุดร่วมจุดแรกของเส้นตัดกันของเครื่องบิน รและ ถาม(ภาพที่ 6) มีการนำระนาบเสริมเข้ามาแล้ว ส- ด้วยเครื่องบิน รมันตัดกันเป็นเส้น 1-2 ,ด้วยเครื่องบิน ถาม– ตามแนว 3-4 - ที่จุดตัดของเส้น 1-2 และ 3-4 จุดร่วมแรกที่กำหนด เค 1เครื่องบินสองลำ รและ ถาม– จุดแรกของเส้นตัดกัน

ในทำนองเดียวกัน มีการแนะนำระนาบการตัดใหม่ และสร้างจุดที่สองของเส้นตัดกัน

รูปที่ 6

กรณีพิเศษของการสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบโดยที่ระนาบใดระนาบหนึ่งยื่นออกมา ในกรณีนี้ การสร้างเส้นตัดกันจะง่ายขึ้นโดยข้อเท็จจริงที่ว่าหนึ่งในเส้นโครงนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับการฉายระนาบที่ฉายลงบนระนาบการฉายภาพซึ่งตั้งฉากกัน

ตัวอย่างเช่น รูปที่ 7 แสดงการสร้างเส้นโครง ม"น", มเส้นตัดกัน มนเครื่องบินฉายภาพด้านหน้า รด้วยระนาบสามเหลี่ยม เอบีซี.

รูปที่ 7

บนเส้นโครงด้านหน้าที่จุดตัดของเส้นโครง ก"ข"และ เป็น"ค"มีร่องรอย คุณปู่ค้นหาการคาดการณ์ด้านหน้า ม"และ เอ็น"จุดร่วมสองจุดของระนาบที่กำหนด เส้นโครงแนวนอนถูกสร้างขึ้นตามพื้นฐานเหล่านั้น มและ nในการฉายภาพแนวนอน เกี่ยวกับและ เครื่องปรับอากาศด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ผ่านจุดต่างๆ มและ nเราวาดเส้นโครงแนวนอนของเส้นตัดของเครื่องบิน เมื่อมองไปตามลูกศร สจากเส้นโครงด้านหน้าจะเห็นได้ชัดว่าส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมอยู่ทางด้านซ้ายของเส้นตัดกัน มน(ม"น") อยู่เหนือระนาบ รคือมองเห็นได้ ที่เหลืออยู่ใต้ระนาบ รเช่น มองไม่เห็น (มาตรา MBCNแสดงด้วยเส้นประ)

อีกตัวอย่างหนึ่งของการสร้างเส้นตัดกันของแผ่นสามเหลี่ยมสองแผ่น เอบีซีและ การป้องกันหนึ่งในนั้น ( การป้องกัน) ถูกกำหนดให้เป็นระนาบที่ฉายในแนวนอน ดังแสดงในรูปที่ 8

รูปที่ 8

ในการฉายภาพแนวนอนที่จุดตัดของการฉายภาพแนวนอน เกี่ยวกับและ ก่อนคริสต์ศักราชฝ่าย บสทด้วยการฉายภาพ dfeของสามเหลี่ยมที่สองเราจะพบเส้นโครงแนวนอน มและ nจุดตัดกันของพวกเขา ตามที่พวกเขาคาดการณ์ไว้ด้านหน้าของด้านข้าง ก"ข"และ ข"ค"การสร้างการฉายภาพด้านหน้า ม"และ เอ็น"จุดตัดกัน มน- ในการฉายภาพด้านหน้า เราสังเกตการมองเห็นของส่วนต่างๆ ของสามเหลี่ยม โดยมีคำแนะนำดังนี้: เมื่อมองตามลูกศร สจากการฉายภาพแนวนอนจะเห็นได้ว่าด้านข้าง เครื่องปรับอากาศอยู่หน้าระนาบของสามเหลี่ยม การป้องกัน.

ดังนั้นด้านข้าง เครื่องปรับอากาศและส่วนของสามเหลี่ยมที่ถูกจำกัดด้วยมัน เอบีซีถึงทางแยก มนมองเห็นได้ (เช่น มองเห็นส่วนหน้าของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน) เป็น"ค"น"ม"- ส่วนที่มองเห็นได้ของการฉายภาพด้านหน้า ดีดีเอฟแรเงาในภาพวาด

การสร้างแนวตัดกันของเครื่องบินในตำแหน่งทั่วไป รูปที่ 9 แสดงการก่อสร้างประมาณการ ม"น", มเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ ซึ่งหนึ่งในนั้นถูกกำหนดโดยเส้นโครง ก"ข", ข"ค", ab, ก่อนคริสต์ศักราชเส้นตัดกันสองเส้น อีกเส้นหนึ่งเป็นเส้นโครง d"e", f"g", de, fgเส้นขนานสองเส้น

ระนาบแนวนอนสองอันที่กำหนดโดยร่องรอยจะถูกนำมาใช้เป็นระนาบเสริม คุณและ คุณ

เครื่องบิน รตัดกับระนาบแรกที่กำหนดเป็นเส้นตรง 1-2 ที่สอง - เป็นเส้นตรง 3-4 - ตามการฉายภาพด้านหน้า 1", 2" และ 3", 4" เราพบเส้นโครงแนวนอนโดยใช้สายสื่อสาร 1, 2 และ 3, 4 ในการฉายภาพแนวนอน ab, bc, เดอ, fgตรง เราวาดเส้นโครงแนวนอนผ่านพวกมัน 1-2 และ 3-4 เส้นตัดกัน ทำเครื่องหมายจุด ม– การฉายภาพแนวนอนของจุดร่วม มเครื่องบินสามลำ - สองลำที่ได้รับและเสริม ร- ใช้มันเพื่อกำหนดการฉายภาพด้านหน้า ม"บนเส้นทางด้านหน้า คุณเครื่องบินเสริม

รูปที่ 9

เครื่องบินเสริม ตและ รขนาน. เส้นตัดกับระนาบที่กำหนดก็ขนานกันเช่นกัน ดังนั้นการฉายเส้นแนวนอนของเส้นตัดของเครื่องบิน ตโดยระนาบที่กำหนดจะถูกดึงผ่านการฉายภาพ ขขนานไปกับการฉายภาพ 1-2 และผ่านการฉายภาพ 5 ขนานไปกับการฉายภาพ 3-4 - พบเส้นโครงแนวนอนที่สี่แยก nจุดร่วมที่สองของเครื่องบินทั้งสามลำคือ เส้นตัดกันของระนาบที่กำหนดสองอัน ตามแนวเส้นทางด้านหน้า คุณการฉายภาพด้านหน้าถูกสร้างขึ้นบนระนาบเสริม เอ็น"- ผ่านการฉายภาพที่สร้างขึ้น ม",น"และ มเราทำการฉายภาพด้านหน้าและแนวนอนของเส้นแยกที่ต้องการ มน.

เครื่องบินสองลำตัดกันเป็นเส้นตรง ในการสร้างมันจำเป็นต้องกำหนดจุดสองจุดที่เป็นของแต่ละระนาบพร้อมกัน ลองดูวิธีการนี้โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้

ขอให้เราหาเส้นตัดของระนาบทั่วไป α และ β สำหรับกรณีเมื่อ pl α ได้มาจากเส้นโครงของสามเหลี่ยม ABC และ pl β – เส้นขนาน d และ e การแก้ปัญหานี้ดำเนินการโดยการสร้างจุด L 1 และ L 2 ที่เป็นของเส้นตัดกัน

สารละลาย

1. เราแนะนำระนาบแนวนอนเสริม γ 1 มันตัดกัน α และ β ตามเส้นตรง เส้นโครงด้านหน้าของเส้นเหล่านี้ 1""C"" และ 2""3"" ตรงกับรอยทางด้านหน้าของจัตุรัส γ 1. ถูกกำหนดไว้ในรูปเป็น f 0 γ 1 และตั้งอยู่ขนานกับแกน x
2. เรากำหนดเส้นโครงแนวนอน 1"C" และ 2"3" ตามแนวสายสื่อสาร
3. เราพบการฉายภาพแนวนอนของจุด L 1 ที่จุดตัดของเส้น 1 "C" และ 2 "3" เส้นโครงด้านหน้าของจุด L 1 อยู่บนรอยทางด้านหน้าของระนาบ γ
4. เราแนะนำระนาบแนวนอนเสริม γ 2 การใช้โครงสร้างคล้ายกับที่อธิบายไว้ในย่อหน้าที่ 1, 2, 3 เราพบการคาดการณ์ของจุด L 2
5. ผ่าน L 1 และ L 2 เราวาดเส้นตรงที่ต้องการ l

เป็นที่น่าสังเกตว่าในฐานะ pl γ สะดวกที่จะใช้ทั้งระนาบระดับและระนาบการฉายภาพ

ขอให้เราค้นหาเส้นตัดของระนาบ α และ β ซึ่งกำหนดโดยร่องรอย งานนี้ง่ายกว่างานก่อนหน้ามาก ไม่ต้องการเครื่องบินเสริม บทบาทของพวกเขาเล่นโดยเครื่องบินฉาย P 1 และ P 2

อัลกอริธึมการก่อสร้าง

1. เราพบจุด L" 1 ซึ่งอยู่ที่จุดตัดของเส้นแนวนอน h 0 α และ h 0 β จุด L"" 1 อยู่บนแกน x ตำแหน่งถูกกำหนดโดยใช้เส้นเชื่อมต่อที่ลากจาก L" 1
2. เราพบจุด L"" 2 ที่จุดตัดของร่องรอยหน้าผาก pl α และ β จุด L" 2 อยู่บนแกน x ตำแหน่งถูกกำหนดตามเส้นเชื่อมต่อที่ลากจาก L"" 2
3. เราวาดเส้นตรง l" และ l"" ผ่านการฉายภาพที่สอดคล้องกันของจุด L 1 และ L 2 ดังแสดงในรูป

ดังนั้นเส้นตรง l ที่ผ่านจุดตัดของร่องรอยของระนาบจึงเป็นเส้นที่ต้องการ

จุดตัดของระนาบของสามเหลี่ยม

ลองพิจารณาสร้างเส้นตัดกันของระนาบที่กำหนดโดยสามเหลี่ยม ABC และ DEF และพิจารณาการมองเห็นของพวกมันโดยใช้วิธีจุดแข่งขัน

อัลกอริธึมการก่อสร้าง

1. ผ่านเส้นตรง DE เราวาดระนาบที่ยื่นออกมาด้านหน้า σ: ร่องรอยของมัน f 0σ ถูกระบุในภาพวาด ระนาบ σ ตัดกับสามเหลี่ยม ABC ตามเส้นตรง 35 เมื่อทำเครื่องหมายจุด 3""=A""B""∩f 0σ และ 5""=A""С""∩f 0σ แล้ว เราจะกำหนดตำแหน่ง (∙ )3" และ (∙) 5" ตามแนวการสื่อสารที่ ΔA"B"C"
2. เราพบเส้นโครงแนวนอน N"=D"E"∩3"5" ของจุด N ของจุดตัดของเส้นตรง DE และ 35 ซึ่งอยู่ในระนาบเสริม σ เส้นโครง N"" อยู่ที่รอยทางด้านหน้า f 0σ บนสายเชื่อมต่อเดียวกันกับ N"

ผ่านเส้นตรง BC เราวาดระนาบที่ยื่นออกมาด้านหน้า τ: ร่องรอยของมัน f 0τ ถูกระบุในภาพวาด ด้วยการใช้โครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ในวรรค 1 และ 2 ของอัลกอริธึม เราจะพบการคาดการณ์ของจุด K

3. ผ่าน N และ K เราวาดเส้นตรงที่ต้องการ NK - เส้นตัดของ ΔABC และ ΔDEF

คำจำกัดความของการมองเห็น

จุดที่แข่งขันกันในแนวหน้า 4 และ 5 ซึ่งเป็นของ ΔDEF และ ΔABC ตามลำดับ จะอยู่บนเส้นที่ฉายด้านหน้าเดียวกัน แต่อยู่ในระยะห่างที่แตกต่างจากระนาบฉายภาพ π 2 เนื่องจาก (∙)5" อยู่ใกล้ผู้สังเกตมากกว่า (∙)4" ช่อง ΔABC ที่มี (∙)5 จึงมองเห็นได้ในการฉายภาพบนสี่เหลี่ยมจัตุรัส พาย 2. ที่ฝั่งตรงข้ามของเส้น N""K"" การมองเห็นของรูปสามเหลี่ยมจะเปลี่ยนไป

จุดที่แข่งขันกันในแนวนอนที่ 6 และ 7 ของ ΔABC และ ΔDEF ตามลำดับ อยู่บนเส้นตรงที่ฉายในแนวนอนเดียวกัน แต่อยู่ห่างจากระนาบฉายภาพ π 1 ต่างกัน เนื่องจาก (∙)6"" ตั้งอยู่สูงกว่า (∙)7"" ดังนั้นช่อง ΔABC ที่มี (∙)6 จึงมองเห็นได้ในการฉายภาพบนสี่เหลี่ยมจัตุรัส พาย 1. ที่ฝั่งตรงข้ามของเส้น N"K" การมองเห็นของรูปสามเหลี่ยมจะเปลี่ยนไป