ภารกิจที่ 1

ตรรกะนั้นเรียบง่าย: เราจะทำตามที่เราเคยทำมาก่อน ไม่ว่าตอนนี้ฟังก์ชันตรีโกณมิติจะมีข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนมากขึ้นก็ตาม!

หากเราจะแก้สมการของรูปแบบ:

จากนั้นเราจะเขียนคำตอบต่อไปนี้:

หรือ (ตั้งแต่)

แต่ตอนนี้บทบาทของเราแสดงโดยสำนวนนี้:

จากนั้นเราก็สามารถเขียนได้ว่า:

เป้าหมายของเรากับคุณคือเพื่อให้แน่ใจว่าด้านซ้ายตั้งอยู่อย่างเรียบง่าย ปราศจาก "สิ่งสกปรก"!

มาค่อยๆ กำจัดพวกมันกันเถอะ!

ขั้นแรก ให้ลบตัวส่วนที่: ออก โดยคูณความเท่าเทียมกันของเราด้วย:

ทีนี้มากำจัดมันโดยแบ่งทั้งสองส่วน:

ตอนนี้เรามากำจัดแปดประการนี้:

นิพจน์ผลลัพธ์สามารถเขียนเป็นชุดคำตอบได้ 2 ชุด (โดยการเปรียบเทียบกับสมการกำลังสอง โดยเราจะบวกหรือลบตัวแบ่งแยก)

เราจำเป็นต้องหารากลบที่ใหญ่ที่สุด! เห็นได้ชัดว่าเราจำเป็นต้องเรียงลำดับ

มาดูตอนแรกกันก่อน:

ชัดเจนว่าถ้าเรารับ ผลก็คือเราจะได้รับตัวเลขที่เป็นบวก แต่พวกเขาไม่สนใจเรา

ดังนั้นคุณต้องมองมันเป็นลบ ช่างมัน.

เมื่อรากจะแคบลง:

และเราต้องเจอข้อเสียที่ยิ่งใหญ่ที่สุด!! ซึ่งหมายความว่าการไปในทิศทางลบไม่สมเหตุสมผลอีกต่อไป และรากลบที่ใหญ่ที่สุดของอนุกรมนี้จะเท่ากับ

ตอนนี้เรามาดูซีรี่ส์ที่สอง:

และอีกครั้งเราแทนที่: แล้ว:

ไม่สนใจ!

ถ้าอย่างนั้นก็ไม่มีเหตุผลที่จะต้องเพิ่มขึ้นอีกต่อไป! ลดกันไปเลย! ให้แล้ว:

พอดี!

ช่างมัน. แล้ว

จากนั้น - รากเชิงลบที่ยิ่งใหญ่ที่สุด!

คำตอบ:

ภารกิจที่ 2

เราแก้อีกครั้งโดยไม่คำนึงถึงอาร์กิวเมนต์โคไซน์ที่ซับซ้อน:

ตอนนี้เราแสดงอีกครั้งทางซ้าย:

คูณทั้งสองข้างด้วย

หารทั้งสองข้างด้วย

สิ่งที่เหลืออยู่คือเลื่อนไปทางขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก

เราได้รับราก 2 ชุดอีกครั้ง ชุดหนึ่งมีและชุดอื่นด้วย

เราจำเป็นต้องหารากลบที่ใหญ่ที่สุด มาดูตอนแรกกัน:

ชัดเจนว่าเราจะได้รากที่เป็นลบตัวแรกที่ มันจะเท่ากับ และจะเป็นรากที่เป็นลบที่ใหญ่ที่สุดใน 1 ชุด

สำหรับซีรีย์ที่สอง

รากที่เป็นลบตัวแรกจะได้ที่ และจะเท่ากับ เนื่องจาก นั่นคือรากลบที่ใหญ่ที่สุดของสมการ

คำตอบ: .

ภารกิจที่ 3

เราแก้โจทย์โดยไม่คำนึงถึงอาร์กิวเมนต์แทนเจนต์ที่ซับซ้อน

ตอนนี้มันดูไม่ซับซ้อนใช่ไหม?

เหมือนเมื่อก่อนเราแสดงทางด้านซ้าย:

เยี่ยมมาก มีรากเพียงชุดเดียวที่นี่! ลองหาค่าลบที่ใหญ่ที่สุดอีกครั้ง

เป็นที่ชัดเจนว่าปรากฎว่าถ้าคุณวางมันลง และรูทนี้ก็เท่ากัน

คำตอบ:

ตอนนี้ลองแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเอง

การบ้านหรือ 3 งานที่ต้องแก้อย่างอิสระ

1. แก้สมการ.
   
2. แก้สมการ.
   ในคำตอบของ pi-shi-th-the-smallest root ที่เป็นไปได้
3. แก้สมการ.
   ในคำตอบของ pi-shi-th-the-smallest root ที่เป็นไปได้

พร้อม? มาตรวจสอบกัน ฉันจะไม่อธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับอัลกอริธึมโซลูชันทั้งหมดสำหรับฉันดูเหมือนว่าได้รับความสนใจเพียงพอแล้ว

ทุกอย่างถูกต้องใช่ไหม? โอ้ รูจมูกที่น่ารังเกียจพวกนั้น มักจะมีปัญหากับพวกมันอยู่เสมอ!

ตอนนี้คุณสามารถแก้สมการตรีโกณมิติง่ายๆ ได้แล้ว!

ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาและคำตอบ:

ภารกิจที่ 1

มาแสดงออกกันเถอะ

จะได้รากที่เป็นบวกน้อยที่สุดถ้าเราใส่ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

คำตอบ:

ภารกิจที่ 2

จะได้รากบวกที่เล็กที่สุดที่

มันจะเท่ากัน

คำตอบ: .

ภารกิจที่ 3

เมื่อเราได้รับเมื่อเรามี

คำตอบ: .

ความรู้นี้จะช่วยคุณแก้ปัญหาต่างๆ มากมายที่คุณจะต้องเจอในการสอบ

หากคุณสมัครเพื่อรับคะแนน "5" คุณเพียงแค่ต้องอ่านบทความต่อไป ระดับกลาง, ซึ่งจะทุ่มเทให้กับการแก้สมการตรีโกณมิติที่ซับซ้อนมากขึ้น (งาน C1)

ระดับกลาง

ในบทความนี้ฉันจะอธิบาย การแก้สมการตรีโกณมิติที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นและวิธีการเลือกราก ที่นี่ฉันจะวาดในหัวข้อต่อไปนี้:

1. สมการตรีโกณมิติสำหรับระดับเริ่มต้น (ดูด้านบน)

สมการตรีโกณมิติที่ซับซ้อนมากขึ้นเป็นพื้นฐานของปัญหาขั้นสูง พวกเขาต้องการวิธีการแก้สมการเอง มุมมองทั่วไปและหารากของสมการนี้ซึ่งอยู่ในช่วงที่กำหนด

การแก้สมการตรีโกณมิติมีสองงานย่อย:

1. การแก้สมการ
2. การเลือกราก

ควรสังเกตว่าสิ่งที่สองไม่จำเป็นเสมอไป แต่ในตัวอย่างส่วนใหญ่ยังคงจำเป็นต้องมีการเลือก แต่ถ้าไม่จำเป็น เราก็เห็นใจคุณ ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นค่อนข้างซับซ้อนในตัวเอง

ประสบการณ์ของฉันในการวิเคราะห์ปัญหา C1 แสดงให้เห็นว่าพวกเขามักจะแบ่งออกเป็นประเภทต่อไปนี้

งานสี่ประเภทที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้น (เดิมคือ C1)

1. สมการที่ลดการแยกตัวประกอบ
2. สมการลดลงเป็นรูป
3. สมการแก้ได้โดยการเปลี่ยนตัวแปร
4. สมการที่ต้องเลือกรากเพิ่มเติมเนื่องจากความไม่ลงตัวหรือตัวส่วน

พูดง่ายๆ ก็คือ ถ้าถูกจับได้ หนึ่งในสมการของสามประเภทแรกแล้วถือว่าตัวเองโชคดี ตามกฎแล้วคุณจะต้องเลือกรูทที่อยู่ในช่วงเวลาหนึ่งเพิ่มเติม

หากคุณเจอสมการประเภท 4 แสดงว่าคุณโชคดีน้อยลง: คุณต้องแก้ไขมันให้นานขึ้นและระมัดระวังมากขึ้น แต่บ่อยครั้งที่ไม่จำเป็นต้องเลือกรากเพิ่มเติม อย่างไรก็ตาม ผมจะวิเคราะห์สมการประเภทนี้ในบทความหน้า และอันนี้ผมจะอุทิศให้กับการแก้สมการของสามประเภทแรก

สมการที่ลดการแยกตัวประกอบ

สิ่งสำคัญที่สุดที่คุณต้องจำไว้ในการแก้สมการประเภทนี้คือ

ตามหลักปฏิบัติแล้ว ความรู้นี้ก็เพียงพอแล้ว ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่างที่ 1 สมการรีดิวซ์เป็นการแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรรีดักชันและไซน์มุมคู่

• แก้สมการ
• ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้ที่อยู่เหนือจุดตัด

ตามที่ฉันสัญญาไว้ สูตรการลดได้ผล:

จากนั้นสมการของฉันจะเป็นดังนี้:

จากนั้นสมการของฉันจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

นักเรียนสายตาสั้นอาจพูดว่า: ตอนนี้ฉันจะลดทั้งสองด้านลง หาสมการที่ง่ายที่สุดและสนุกกับชีวิต! และเขาจะเข้าใจผิดอย่างขมขื่น!

โปรดจำไว้ว่า: คุณไม่สามารถลดทั้งสองด้านของสมการตรีโกณมิติด้วยฟังก์ชันที่ประกอบด้วยสิ่งที่ไม่รู้จักได้! ดังนั้นคุณจึงสูญเสียรากของคุณ!

แล้วต้องทำอย่างไร? ใช่ ง่ายมาก ย้ายทุกอย่างไปด้านใดด้านหนึ่งและนำปัจจัยร่วมออก:

เราแยกมันเป็นปัจจัยแล้ว ไชโย! ตอนนี้มาตัดสินใจกัน:

สมการแรกมีราก:

และประการที่สอง:

นี่เป็นการเสร็จสิ้นส่วนแรกของปัญหา ตอนนี้คุณต้องเลือกราก:

ช่องว่างเป็นดังนี้:

หรืออาจเขียนได้ดังนี้:

เรามาเริ่มต้นกัน:

ก่อนอื่น เรามาเริ่มตั้งแต่ตอนแรกกันดีกว่า (และง่ายกว่านั้นคือพูดน้อยที่สุด!)

เนื่องจากช่วงของเราเป็นลบทั้งหมด จึงไม่จำเป็นต้องหาค่าที่ไม่เป็นลบ พวกมันจะยังคงให้รากที่ไม่เป็นลบ

เอาเป็นว่ามากไปก็ไม่โดน

ปล่อยให้มันเป็นไป - ฉันไม่ได้ตีมันอีก

ลองอีกครั้ง - ใช่แล้ว ฉันเข้าใจแล้ว! พบรูตแรกแล้ว!

ฉันยิงอีกครั้ง: จากนั้นฉันก็ยิงมันอีกครั้ง!

อีกครั้ง: : - นี่คือเที่ยวบินแล้ว

ดังนั้นจากชุดแรกจะมี 2 รากที่อยู่ในช่วงเวลา:

เรากำลังทำงานกับซีรีส์ที่สอง (เรากำลังสร้าง สู่อำนาจตามกฎ) :

อันเดอร์ชูต!

พลาดอีกแล้ว!

พลาดอีกแล้ว!

เข้าใจแล้ว!

เที่ยวบิน!

ดังนั้นช่วงเวลาของฉันจึงมีรากดังต่อไปนี้:

นี่คืออัลกอริทึมที่เราจะใช้แก้ตัวอย่างอื่นๆ ทั้งหมด มาฝึกกันด้วยอีกหนึ่งตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 2 สมการลดลงเป็นการแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรการลด

• แก้สมการ

สารละลาย:

สูตรการลดความฉาวโฉ่อีกครั้ง:

อย่าพยายามตัดกลับมาอีก!

สมการแรกมีราก:

และประการที่สอง:

ตอนนี้การค้นหารากอีกครั้ง

ฉันจะเริ่มด้วยตอนที่สอง ฉันรู้ทุกอย่างแล้วจากตัวอย่างที่แล้ว! ดูและตรวจสอบให้แน่ใจว่ารากที่เป็นของช่วงเวลามีดังนี้:

ตอนนี้เป็นตอนแรกและง่ายกว่า:

ถ้า - เหมาะสม

ถ้าก็ดีเหมือนกัน

หากเป็นเที่ยวบินอยู่แล้ว

จากนั้นรากจะเป็นดังนี้:

ทำงานอิสระ. 3 สมการ

แล้วเทคนิคนี้ชัดเจนสำหรับคุณไหม? การแก้สมการตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไปใช่ไหม จากนั้นแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยตนเองอย่างรวดเร็ว จากนั้นเราจะแก้ไขตัวอย่างอื่นๆ:

1. แก้สมการ
   ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้ที่อยู่เหนือช่วงนั้น
2. แก้สมการ
   ระบุรากของสมการที่อยู่เหนือจุดตัด
3. แก้สมการ
   ค้นหารากทั้งหมดของสมการที่อยู่ระหว่างรากเหล่านั้น

สมการที่ 1

และสูตรการลดอีกครั้ง:

รากชุดแรก:

รากชุดที่สอง:

เราเริ่มเลือกช่องว่าง

คำตอบ: , .

สมการที่ 2 การตรวจสอบงานอิสระ

การจัดกลุ่มเป็นปัจจัยค่อนข้างยุ่งยาก (ฉันจะใช้สูตรไซน์มุมคู่):

แล้วหรือ

นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ตอนนี้เราต้องเลือกราก ปัญหาคือเราไม่สามารถบอกค่าที่แน่นอนของมุมที่มีโคไซน์เท่ากับหนึ่งในสี่ได้ ดังนั้นฉันจึงไม่สามารถกำจัดโคไซน์ส่วนโค้งได้ - ช่างน่าเสียดาย!

สิ่งที่ฉันทำได้คือหาว่าเป็นเช่นนั้น

มาสร้างตารางกันเถอะ: ช่วงเวลา:

จากการค้นหาอันเจ็บปวด เราได้ข้อสรุปที่น่าผิดหวังว่าสมการของเรามีรากเดียวในช่วงเวลาที่ระบุ: \displaystyle ส่วนโค้ง\frac(1)(4)-5\pi

สมการที่ 3: การทดสอบงานอิสระ

สมการที่ดูน่ากลัว อย่างไรก็ตาม สามารถแก้ไขได้ง่ายๆ โดยใช้สูตรไซน์มุมคู่:

ลองลดมันลง 2:

มาจัดกลุ่มเทอมแรกกับเทอมที่สองและเทอมที่สามกับเทอมที่สี่แล้วแยกปัจจัยร่วมออก:

เห็นได้ชัดว่าสมการแรกไม่มีราก และตอนนี้ลองพิจารณาสมการที่สอง:

โดยทั่วไปแล้ว ฉันจะอยู่ต่อไปอีกสักหน่อยในการแก้สมการดังกล่าว แต่เนื่องจากมันปรากฏขึ้น ไม่มีอะไรให้ทำ ฉันจึงต้องแก้มัน...

สมการของแบบฟอร์ม:

สมการนี้แก้ได้โดยการหารทั้งสองข้างด้วย:

ดังนั้นสมการของเราจึงมีรากชุดเดียว:

เราจำเป็นต้องค้นหาสิ่งที่อยู่ในช่วง: .

มาสร้างตารางอีกครั้งเหมือนที่ฉันทำก่อนหน้านี้:

คำตอบ: .

สมการลดลงเป็นรูปแบบ:

ตอนนี้ถึงเวลาที่จะไปยังส่วนที่สองของสมการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อฉันได้อธิบายไปแล้วว่าคำตอบของสมการตรีโกณมิติประเภทใหม่ประกอบด้วยอะไร แต่มันก็คุ้มค่าที่จะทำซ้ำว่าสมการนั้นมีรูปแบบ

แก้ได้โดยการหารทั้งสองข้างด้วยโคไซน์:

1. แก้สมการ
   ระบุรากของสมการที่อยู่เหนือจุดตัด
2. แก้สมการ
   ระบุรากของสมการที่อยู่ระหว่างรากเหล่านั้น

ตัวอย่างที่ 1

อันแรกค่อนข้างง่าย เลื่อนไปทางขวาแล้วใช้สูตรโคไซน์มุมคู่:

ใช่! สมการของแบบฟอร์ม: . ฉันหารทั้งสองส่วนด้วย

เราทำการคัดกรองรูท:

ช่องว่าง:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2

ทุกอย่างค่อนข้างไม่สำคัญ: มาเปิดวงเล็บทางด้านขวากันดีกว่า:

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

ไซน์ของมุมคู่:

ในที่สุดเราก็ได้รับ:

การคัดกรองราก: ช่วงเวลา

คำตอบ: .

แล้วคุณล่ะชอบเทคนิคยังไงล่ะมันไม่ซับซ้อนเกินไปเหรอ? ฉันหวังว่าจะไม่ เราสามารถจองได้ทันที: ในรูปแบบบริสุทธิ์ สมการที่ลดเหลือสมการแทนเจนต์ทันทีนั้นค่อนข้างหายาก โดยทั่วไปแล้ว การเปลี่ยนแปลงนี้ (การหารด้วยโคไซน์) เป็นเพียงส่วนหนึ่งของปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น นี่คือตัวอย่างให้คุณฝึกฝน:

• แก้สมการ
• ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้ที่อยู่เหนือจุดตัด

มาตรวจสอบกัน:

สมการนี้สามารถแก้ไขได้ทันที เพียงหารทั้งสองข้างด้วย:

การคัดกรองราก:

คำตอบ: .

ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งเรายังไม่เจอสมการประเภทที่เราเพิ่งตรวจสอบไป อย่างไรก็ตาม มันยังเร็วเกินไปที่เราจะเรียกมันว่าวันหนึ่ง: ยังมีสมการอีก "ชั้น" อีกหนึ่งชั้นที่เรายังไม่ได้วิเคราะห์ ดังนั้น:

การแก้สมการตรีโกณมิติโดยการเปลี่ยนตัวแปร

ทุกอย่างโปร่งใสที่นี่: เราดูสมการอย่างใกล้ชิด ลดความซับซ้อนให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ทำการทดแทน แก้มัน ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ! ในคำพูดทุกอย่างเป็นเรื่องง่ายมาก มาดูกันในการดำเนินการ:

ตัวอย่าง.

• แก้สมการ: .
• ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้ที่อยู่เหนือจุดตัด

ที่นี่การแทนที่นั้นแนะนำตัวเราเอง!

จากนั้นสมการของเราจะกลายเป็น:

สมการแรกมีราก:

และอันที่สองก็เป็นเช่นนี้:

ทีนี้ลองหารากที่อยู่ในช่วงนั้นกัน

คำตอบ: .

ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อยด้วยกัน:

• แก้สมการ
• ระบุรากของสมการที่กำหนด ซึ่งอยู่เหนือระหว่างสมการเหล่านั้น

ที่นี่ไม่สามารถมองเห็นการทดแทนได้ทันทีและยังไม่ชัดเจนนัก ก่อนอื่นมาคิดว่า: เราทำอะไรได้บ้าง?

ตัวอย่างเช่น เราสามารถจินตนาการได้

และในเวลาเดียวกัน

จากนั้นสมการของฉันจะอยู่ในรูปแบบ:

และตอนนี้ให้ความสนใจ มุ่งเน้น:

ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย:

ทันใดนั้นคุณและฉันมีสมการกำลังสองสัมพันธ์กัน! มาทดแทนกัน แล้วเราจะได้:

สมการมีรากดังต่อไปนี้:

รากชุดที่สองที่ไม่พึงประสงค์ แต่ก็ทำอะไรไม่ได้! เราเลือกรูทในช่วงเวลา

เรายังต้องพิจารณาสิ่งนั้นด้วย

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

คำตอบ:

เพื่อเน้นย้ำสิ่งนี้ก่อนที่คุณจะแก้ไขปัญหาด้วยตัวเอง นี่คือแบบฝึกหัดอื่นสำหรับคุณ:

• แก้สมการ
• ค้นหารากทั้งหมดของสมการที่อยู่ระหว่างรากเหล่านั้น

ที่นี่คุณต้องจับตาดู: ตอนนี้เรามีตัวส่วนที่สามารถเป็นศูนย์ได้! ดังนั้นคุณต้องใส่ใจกับรากเป็นพิเศษ!

ก่อนอื่น ฉันต้องจัดเรียงสมการใหม่เพื่อที่จะสามารถทดแทนได้อย่างเหมาะสม ตอนนี้ฉันคิดอะไรไม่ออกแล้วที่จะเขียนแทนเจนต์ในรูปของไซน์และโคไซน์:

ตอนนี้ ผมจะย้ายจากโคไซน์ไปเป็นไซน์โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

และสุดท้าย ฉันจะนำทุกอย่างมาเป็นตัวส่วนร่วม:

ตอนนี้ฉันสามารถไปยังสมการได้:

แต่ที่ (นั่นคือที่)

ตอนนี้ทุกอย่างพร้อมสำหรับการเปลี่ยนแล้ว:

แล้วหรือ

อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าหากเป็นเช่นนั้นในเวลาเดียวกัน!

ใครทนทุกข์ทรมานจากสิ่งนี้? ปัญหาของแทนเจนต์คือไม่ได้กำหนดไว้เมื่อโคไซน์เท่ากับศูนย์ (เกิดการหารด้วยศูนย์)

ดังนั้นรากของสมการคือ:

ตอนนี้เราแยกรากออกในช่วงเวลา:

	- พอดี
	- เกินกำลัง

ดังนั้น สมการของเราจึงมีรากเพียงตัวเดียวในช่วงเวลา และมีค่าเท่ากัน

คุณเห็นแล้วว่า: การปรากฏตัวของตัวส่วน (เช่นเดียวกับแทนเจนต์นำไปสู่ปัญหาบางอย่างกับราก! ที่นี่คุณต้องระวังให้มากขึ้น!)

คุณและฉันเกือบจะวิเคราะห์สมการตรีโกณมิติเสร็จแล้ว เหลือเวลาอีกน้อยมาก - ที่จะแก้ปัญหาสองข้อด้วยตัวเอง นี่พวกเขา.

1. แก้สมการ
   ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้ที่อยู่เหนือจุดตัด
2. แก้สมการ
   ระบุรากของสมการนี้ ซึ่งอยู่เหนือจุดตัด

ตัดสินใจแล้ว? มันไม่ยากเลยเหรอ? มาตรวจสอบกัน:

1. เราทำงานตามสูตรการลด:

   แทนลงในสมการ:

   มาเขียนทุกอย่างใหม่โดยใช้โคไซน์เพื่อให้การแทนที่ง่ายขึ้น:

   ตอนนี้การเปลี่ยนทดแทนเป็นเรื่องง่าย:

   เห็นได้ชัดว่าเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง เนื่องจากสมการไม่มีคำตอบ แล้ว:

   เรากำลังมองหารากที่เราต้องการในช่วงเวลา

   คำตอบ: .

2. 
   ที่นี่การทดแทนจะมองเห็นได้ทันที:

   แล้วหรือ

   	- พอดี!	- พอดี!
   	- พอดี!	- พอดี!
   	- มาก!	- เยอะมาก!

   คำตอบ:

แค่นั้นแหละ! แต่การแก้สมการตรีโกณมิติไม่ได้จบเพียงแค่นั้น เราถูกทิ้งไว้ข้างหลังกรณีที่ยากที่สุด: เมื่อสมการมีความไร้เหตุผลหรือมี "ตัวส่วนเชิงซ้อน" ประเภทต่างๆ เราจะดูวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวในบทความในระดับสูง

ระดับขั้นสูง

นอกจากสมการตรีโกณมิติที่กล่าวถึงในสองบทความก่อนหน้านี้แล้ว เราจะพิจารณาสมการอีกประเภทหนึ่งที่ต้องมีการวิเคราะห์อย่างรอบคอบมากยิ่งขึ้น ตัวอย่างตรีโกณมิติเหล่านี้มีทั้งการไร้เหตุผลหรือตัวส่วน ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ยากขึ้น- อย่างไรก็ตาม คุณอาจพบสมการเหล่านี้ในส่วน C ของข้อสอบ อย่างไรก็ตาม เมฆทุกก้อนมีชั้นสีเงิน ตามกฎแล้ว สำหรับสมการดังกล่าว คำถามที่ว่ารากใดที่อยู่ในช่วงเวลาที่กำหนดจะไม่ถูกหยิบยกขึ้นมาอีกต่อไป อย่าไปยุ่งวุ่นวาย แต่มาดูตัวอย่างตรีโกณมิติกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการและหารากที่อยู่ในเซกเมนต์นั้น

สารละลาย:

เรามีตัวส่วนที่ไม่ควรเท่ากับศูนย์! แล้วการแก้สมการนี้ก็เหมือนกับการแก้ระบบ

มาแก้สมการแต่ละสมกัน:

และตอนนี้อันที่สอง:

ตอนนี้เรามาดูซีรีส์กัน:

เห็นได้ชัดว่าตัวเลือกนี้ไม่เหมาะกับเรา เนื่องจากในกรณีนี้ ตัวส่วนของเราจะรีเซ็ตเป็นศูนย์ (ดูสูตรรากของสมการที่สอง)

หากทุกอย่างเป็นไปตามลำดับและตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์! จากนั้นรากของสมการจะเป็นดังนี้: , .

ตอนนี้เราเลือกรากที่เป็นของช่วงเวลา

	- ไม่เหมาะ	- พอดี
	- พอดี	- พอดี
	เกินกำลัง	เกินกำลัง

จากนั้นรากจะเป็นดังนี้:

คุณจะเห็นว่าแม้แต่การรบกวนเล็กน้อยในรูปแบบของตัวส่วนก็ส่งผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อการแก้สมการ: เราทิ้งชุดรากที่ทำให้ตัวส่วนเป็นโมฆะ สิ่งต่างๆ อาจซับซ้อนยิ่งขึ้นไปอีกหากคุณเจอตัวอย่างตรีโกณมิติที่ไม่ลงตัว

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ:

สารละลาย:

อย่างน้อยคุณก็ไม่จำเป็นต้องถอนรากออกและนั่นก็ดี! ก่อนอื่นเรามาแก้สมการกันก่อน โดยไม่คำนึงถึงความไร้เหตุผล:

นั่นคือทั้งหมดเหรอ? ไม่ อนิจจา มันจะง่ายเกินไป! เราต้องจำไว้ว่าเฉพาะตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้นที่สามารถปรากฏใต้รากได้ แล้ว:

วิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนี้คือ:

ตอนนี้ยังคงต้องค้นหาว่าส่วนหนึ่งของรากของสมการแรกจบลงโดยไม่ได้ตั้งใจโดยที่ความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้เกิดขึ้นหรือไม่

หากต้องการทำสิ่งนี้ คุณสามารถใช้ตารางได้อีกครั้ง:

	: , แต่	เลขที่!
		ใช่!
		ใช่!

ด้วยเหตุนี้รากหนึ่งของฉันจึง “หลุด”! ปรากฎว่าถ้าคุณวางมันลง จากนั้นสามารถเขียนคำตอบได้ดังนี้:

คำตอบ:

คุณเห็นไหมว่ารูทต้องการความสนใจมากยิ่งขึ้น! มาทำให้มันซับซ้อนกว่านี้กัน: ตอนนี้ฉันมีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ใต้รากของฉัน

ตัวอย่างที่ 3

เหมือนเมื่อก่อน: ก่อนอื่นเราจะแก้ปัญหาแต่ละอย่างแยกกัน จากนั้นเราจะคิดถึงสิ่งที่เราทำไป

ตอนนี้สมการที่สอง:

ตอนนี้สิ่งที่ยากที่สุดคือการค้นหาว่าได้รับค่าลบภายใต้รูทเลขคณิตหรือไม่หากเราแทนรากจากสมการแรกที่นั่น:

ต้องเข้าใจว่าตัวเลขเป็นเรเดียน เนื่องจากเรเดียนมีค่าประมาณองศา เรเดียนจึงอยู่ในลำดับขององศา นี่คือมุมของไตรมาสที่สอง อะไรคือสัญญาณของโคไซน์ของไตรมาสที่ 2? ลบ. แล้วไซน์ล่ะ? บวก. แล้วเราจะพูดอะไรเกี่ยวกับนิพจน์นี้ได้บ้าง:

น้อยกว่าศูนย์!

ซึ่งหมายความว่ามันไม่ใช่รากของสมการ

ตอนนี้ถึงเวลาแล้ว

ลองเปรียบเทียบตัวเลขนี้กับศูนย์

โคแทนเจนต์คือฟังก์ชันที่ลดลงใน 1 ควอเตอร์ (อาร์กิวเมนต์ยิ่งน้อย โคแทนเจนต์ก็จะยิ่งมากขึ้น) เรเดียนมีค่าประมาณองศา ในเวลาเดียวกัน

ตั้งแต่นั้นมาและเพราะฉะนั้น
,

คำตอบ: .

มันจะซับซ้อนกว่านี้ได้ไหม? โปรด! มันจะยากขึ้นถ้ารากยังคงเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ และส่วนที่สองของสมการก็เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติอีกครั้ง

ยิ่งมีตัวอย่างตรีโกณมิติมากเท่าไรก็ยิ่งดีเท่านั้น ดูด้านล่าง:

ตัวอย่างที่ 4

รากไม่เหมาะสมเนื่องจากมีโคไซน์จำกัด

ตอนนี้อันที่สอง:

ในเวลาเดียวกันตามคำจำกัดความของรูท:

เราต้องจำวงกลมหน่วย: กล่าวคือ ควอเตอร์ที่ไซน์น้อยกว่าศูนย์ ไตรมาสเหล่านี้คืออะไร? ที่สามและสี่ จากนั้นเราจะสนใจคำตอบของสมการแรกที่อยู่ในไตรมาสที่สามหรือสี่

ชุดแรกให้รากที่จุดตัดของควอเตอร์ที่สามและสี่ ชุดที่สอง - ตรงกันข้ามกับมัน - ก่อให้เกิดรากที่วางอยู่บนขอบของไตรมาสที่หนึ่งและสอง ดังนั้นซีรีย์นี้ไม่เหมาะกับเรา

คำตอบ: ,

และอีกครั้ง ตัวอย่างตรีโกณมิติที่มี "ความไร้เหตุผลยาก"- เราไม่เพียงแต่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ใต้รากอีกครั้ง แต่ตอนนี้มันยังอยู่ในตัวส่วนด้วย!

ตัวอย่างที่ 5

ไม่มีอะไรสามารถทำได้ - เราทำเหมือนเดิม

ตอนนี้เราทำงานกับตัวส่วน:

ฉันไม่ต้องการแก้อสมการตรีโกณมิติ ดังนั้นฉันจะทำอะไรที่ชาญฉลาด: ฉันจะนำชุดรากของฉันมาแทนที่ค่าอสมการ:

ถ้า - เป็นคู่ เราก็จะได้:

เนื่องจากทุกมุมของการมองเห็นจะอยู่ในไตรมาสที่สี่ และคำถามศักดิ์สิทธิ์อีกครั้ง: อะไรคือสัญญาณของไซน์ในไตรมาสที่สี่? เชิงลบ. แล้วความไม่เท่าเทียมกัน

ถ้า -คี่ ดังนั้น:

มุมอยู่ไตรมาสใด? นี่คือมุมของไตรมาสที่สอง จากนั้นทุกมุมก็จะเป็นมุมของควอเตอร์ที่สองอีกครั้ง ไซน์ตรงนั้นเป็นบวก สิ่งที่คุณต้องการ! ดังนั้นซีรีส์:

พอดี!

เราจัดการกับรากชุดที่สองในลักษณะเดียวกัน:

เราแทนที่ความไม่เท่าเทียมกันของเรา:

ถ้า - เท่ากันแล้ว

มุมควอเตอร์แรก ไซน์มีค่าเป็นบวก ซึ่งหมายความว่าอนุกรมนี้เหมาะสม ตอนนี้ถ้า - แปลกแล้ว:

พอดีด้วย!

ตอนนี้เราเขียนคำตอบแล้ว!

คำตอบ:

นี่อาจเป็นกรณีที่ต้องใช้แรงงานมากที่สุด ตอนนี้ฉันเสนอปัญหาให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง

การฝึกอบรม

1. แก้และค้นหารากทั้งหมดของสมการที่อยู่ในเซ็กเมนต์นั้น

โซลูชั่น:

1. 
   สมการแรก:
   หรือ
   ODZ ของรูต:

   สมการที่สอง:

   การเลือกรากที่อยู่ในช่วงเวลา

   คำตอบ:

หรือ
หรือ
แต่

ลองพิจารณาดู: . ถ้า - เท่ากันแล้ว
- ไม่เข้าท่า!
ถ้า - แปลก : - เหมาะสม!
ซึ่งหมายความว่าสมการของเรามีลำดับรากดังต่อไปนี้:
หรือ
การเลือกรากในช่วงเวลา:

	- ไม่เหมาะ	- พอดี
	- พอดี	- มาก
	- พอดี	มากมาย

คำตอบ: , .

หรือ
เนื่องจากไม่มีการกำหนดแทนเจนต์ เราจะทิ้งรากชุดนี้ทันที!

ส่วนที่สอง:

ในเวลาเดียวกัน ตาม DZ จำเป็นต้องมีสิ่งนั้น

เราตรวจสอบรากที่พบในสมการแรก:

หากสัญญาณ:

มุมควอเตอร์แรกที่แทนเจนต์เป็นบวก ไม่เข้าท่า!
หากสัญญาณ:

มุมไตรมาสที่สี่ แทนเจนต์ตรงนั้นเป็นลบ พอดี เราเขียนคำตอบ:

คำตอบ: , .

เราได้ดูตัวอย่างตรีโกณมิติที่ซับซ้อนร่วมกันในบทความนี้ แต่คุณควรแก้สมการด้วยตัวเอง

สรุปและสูตรพื้นฐาน

สมการตรีโกณมิติคือสมการที่ไม่ทราบค่าอยู่ภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างเคร่งครัด

มีสองวิธีในการแก้สมการตรีโกณมิติ:

วิธีแรกคือการใช้สูตร

วิธีที่สองคือผ่านวงกลมตรีโกณมิติ

ช่วยให้คุณสามารถวัดมุม ค้นหาไซน์ โคไซน์ ฯลฯ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ก) เสริมสร้างความสามารถในการแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย;

ข) สอนการเลือกรากของสมการตรีโกณมิติจากช่วงที่กำหนด

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. การอัพเดตความรู้

ก) ตรวจการบ้าน: ชั้นเรียนกำหนดให้ขั้นสูง การบ้าน– แก้สมการและหาวิธีเลือกรากจากช่วงที่กำหนด

1)คอส x= -0.5 โดยที่ xI [- ] คำตอบ:.

2) บาป x= , โดยที่ xI . คำตอบ: ; -

3)คอส 2 x= - โดยที่ xI คำตอบ:

นักเรียนเขียนวิธีแก้ปัญหาไว้บนกระดาน บางคนใช้กราฟ บางคนใช้วิธีการเลือก

ในชั้นเรียนเวลานี้ ทำงานด้วยวาจา

ค้นหาความหมายของสำนวน:

ก) tg – บาป + cos + บาป คำตอบ: 1.

b) 2อาร์คคอส 0 + 3 อาร์คคอส 1 คำตอบ: ?

c) อาร์คซิน + อาร์คซิน คำตอบ:.

ง) 5 ส่วนโค้ง (-) – ส่วนโค้ง (-) คำตอบ:-.

– มาตรวจการบ้านของคุณ เปิดสมุดบันทึกด้วยการบ้านกันดีกว่า

บางท่านพบวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการเลือก และบางท่านพบโดยใช้กราฟ

2. สรุปเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขปัญหาเหล่านี้และการชี้แจงปัญหา เช่น การสื่อสารหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

– ก) เป็นการยากที่จะแก้ไขโดยใช้การเลือกหากกำหนดช่วงเวลาไว้มาก

– b) วิธีการแบบกราฟิกไม่ได้ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำ ต้องมีการตรวจสอบ และใช้เวลานาน

– ดังนั้นจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งวิธีซึ่งเป็นวิธีสากลที่สุด - ลองค้นหาดูสิ แล้ววันนี้เราจะทำอะไรในชั้นเรียน? (เรียนรู้ที่จะเลือกรากของสมการตรีโกณมิติในช่วงเวลาที่กำหนด)

– ตัวอย่างที่ 1 (นักเรียนไปที่กระดาน)

เพราะ x= -0.5 โดยที่ xI [- ]

คำถาม: อะไรเป็นตัวกำหนดคำตอบของงานนี้? (จากคำตอบทั่วไปของสมการ มาเขียนคำตอบในรูปแบบทั่วไปกัน) วิธีแก้ปัญหาถูกเขียนไว้บนกระดาน

x = + 2?k โดยที่ k R

– ลองเขียนคำตอบนี้ในรูปของเซต:

– คุณคิดว่าอะไรเป็นวิธีแก้ปัญหาที่สะดวกที่สุดในการเลือกรูทในช่วงเวลาหนึ่ง? (จากรายการที่สอง) แต่นี่เป็นวิธีการคัดเลือกอีกครั้ง เราต้องรู้อะไรบ้างเพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง? (คุณต้องรู้ค่าของ k)

(มาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อหา k กัน)

เนื่องจาก kI Z แล้ว k = 0 ดังนั้น เอ็กซ์= =	จากความไม่เท่าเทียมกันนี้เห็นได้ชัดว่าไม่มีค่าจำนวนเต็มของ k

บทสรุป:ในการเลือกรากจากช่วงเวลาที่กำหนดเมื่อแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้อง:

1. เพื่อแก้สมการของแบบฟอร์ม บาป x = ก, เพราะ x = กจะสะดวกกว่าถ้าเขียนรากของสมการเป็นชุดรากสองชุด
2. เพื่อแก้สมการของแบบฟอร์ม สีแทน x = ก, ซีทีจี x = กเขียนสูตรทั่วไปของรากลงไป
3. สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับแต่ละโซลูชันในรูปแบบของอสมการสองเท่าและค้นหาค่าจำนวนเต็มของพารามิเตอร์ k หรือ n
4. แทนที่ค่าเหล่านี้ลงในสูตรรูทแล้วคำนวณ

3. การรวมบัญชี

แก้ตัวอย่างหมายเลข 2 และหมายเลข 3 จากการบ้านโดยใช้อัลกอริทึมผลลัพธ์ นักเรียนสองคนทำงานที่กระดานพร้อมกัน ตามด้วยการตรวจสอบงาน

ความรู้ขั้นต่ำบังคับ

บาป x = ก, -1 ถึง 1 (ก 1)
x = อาร์คซิน a + 2 n, n Z
x = - อาร์คซิน a + 2 n, n Z
หรือ
x = (- 1)k อาร์คซิน a + k, k Z
อาร์คซิน (- ก) = - อาร์คซิน ก
บาป x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
บาป x = 0
x = k, kZ
บาป x = - 1
x = - /2 + 2 k, k Z
ย
ย
x
ย
x
x

ความรู้ขั้นต่ำบังคับ

cos x = ก, -1 ถึง 1 (ก 1)
x = ส่วนโค้ง a + 2 n, n Z
อาร์คคอส (- ก) = - อาร์คคอส ก
คอส x = 1
x = 2 k, k Z
คอส x = 0
x = /2 + k, kZ
ย
ย
x
คอส x = - 1
x = + 2 k, k Z
ย
x
x

ความรู้ขั้นต่ำบังคับ

tg x = ก, ก
x = อาร์คแทน a + n, n Z
เปล x = a, R
x = ส่วนโค้ง a + n, n Z
arctg (- ก) = - arctg
arctg (- a) = - arctg a ลดสมการเหลือหนึ่งฟังก์ชัน
ลดเหลือหนึ่งข้อโต้แย้ง
วิธีการแก้ไขบางอย่าง
สมการตรีโกณมิติ
การประยุกต์สูตรตรีโกณมิติ
การใช้สูตรคูณแบบย่อ
การแยกตัวประกอบ
ลดเหลือ สมการกำลังสองสัมพันธ์กับบาป x, cos x, tan x
โดยการแนะนำข้อโต้แย้งเสริม
โดยการหารทั้งสองข้างของสมการเอกพันธ์ของดีกรีแรก
( asin x +bcosx = 0) โดย cos x
โดยการหารทั้งสองข้างของสมการเอกพันธ์ของดีกรี 2
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) โดย cos2 x

คำนวณการออกกำลังกายในช่องปาก

อาร์คซิน ½
อาร์คซิน (- √2/2)
อาร์คคอส √3/2
อาร์คคอส (-1/2)
อาร์คแทน √3
อาร์คแทน (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - อาร์คคอส ½ = - /3 = 2/3
= /3
= - /6

(ใช้วงกลมตรีโกณมิติ)
เพราะ 2x = ½, x [- /2; 3/2]
2x = ± อาร์คคอส ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2 n, n Z
x = ± /6 + n, n Z
เรามาเลือกรากโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติกัน
คำตอบ: - /6; /6; 5/6; 7/6

วิธีการเลือกรากแบบต่างๆ

ค้นหารากของสมการที่อยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด
บาป 3x = √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, kZ
x = (– 1)k /9 + k/3, kZ
เลือกรากโดยแจกแจงค่าของ k:
k = 0, x = /9 – อยู่ในช่วง
k = 1, x = – /9 + /3 = 2 /9 – อยู่ในช่วง
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 – ไม่อยู่ในช่วง
k = – 1, x = – /9 – /3 = – 4 /9 – อยู่ในช่วง
k = – 2, x = /9 – 2 /3 = – 5 /9 – ไม่อยู่ในช่วง
คำตอบ: -4 /9; /9; 2/9

วิธีการเลือกรากแบบต่างๆ

ค้นหารากของสมการที่อยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด
(ใช้ความไม่เท่าเทียมกัน)
ทีจี 3x = – 1, x (- /2;)
3x = – /4 + n, n Z
x = – /12 + n/3, n Z
เลือกรากโดยใช้อสมการ:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = – 1; 0; 1; 2; 3
n = – 1, x = – /12 – /3 = – 5 /12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = – /12 + /3 = /4
n = 2, x = – /12 + 2/3 = 7/12
n = 3, x = – /12 + = 11/12
คำตอบ: – 5/12; – /12; /4; 7/12; 11/12

10. วิธีการเลือกรากแบบต่างๆ

ค้นหารากของสมการที่อยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด
(ใช้กราฟ)
เพราะ x = – √2/2, x [–4; 5/4]
x = ส่วนโค้ง (– √2/2) + 2 n, n Z
x = 3 /4 + 2 n, n Z
เลือกรากโดยใช้กราฟ:
x = – /2 – /4 = – 3 /4; x = – – /4 = – 5 /4
คำตอบ: 5 /4; 3/4

11. 1. แก้สมการ 72cosx = 49sin2x และระบุรากของมันบนเซ็กเมนต์ [; 5/2]

1. แก้สมการ 72cosx = 49sin2x
และระบุรากของมันในส่วน [; 5/2]
มาแก้สมการกัน:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2คอส x = 2ซิน 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cos x (1 – 2sinx) = 0,
เพราะ x = 0 ,
x = /2 + k, kZ
หรือ
1 – 2ซินx = 0,
บาป x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
มาเลือกรากโดยใช้
วงกลมตรีโกณมิติ:
x = 2 + /6 = 13 /6
คำตอบ:
ก) /2 + k, k Z, (-1)n /6 + n, n Z
ข) 3/2; 5/2; 13/6

12. 2. แก้สมการ 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0 ค้นหารากของมันบนเซกเมนต์

2. แก้สมการ 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0
ค้นหารากของมันจากส่วนนั้น
4cos2 x + 8 คอส (x – 3/2) +1 = 0
4cos2x + 8 คอส (3/2 – x) +1 = 0,
4cos2x – 8 บาป x +1 = 0,
4 – 4ซิน2 x – 8 บาป x +1 = 0,
4ซิน 2x + 8ซิน x – 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
บาป x = – 2.5
หรือ
บาป x = ½
x = (-1)k /6 + k, kZ

13. มาเลือกรากบนเซกเมนต์ (โดยใช้กราฟ)

เรามาเลือกรากบนเซ็กเมนต์กัน
(ใช้กราฟ)
บาป x = ½
ลองพลอตฟังก์ชัน y = sin x และ y = ½ กัน
x = 4 + /6 = 25 /6
คำตอบ: ก) (-1)k /6 + k, k Z; ข) 25/6

14. 3. แก้สมการ หารากของมันบนเซกเมนต์

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 บาป 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 บาป 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x – 4 บาป 2x cos 2x = 0
ถ้า cos2 2x = 0 ดังนั้น sin2 2x = 0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้เช่นกัน
cos2 2x 0 และทั้งสองข้างของสมการสามารถหารด้วย cos2 2x ได้
tg22x + 3 – 4 tg 2x = 0,
tg22x – 4 tg 2x + 3= 0,
สีแทน 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
หรือ
สีแทน 2x = 3,
2x = อาร์คแทน 3 + k, k Z
x = ½ อาร์กแทน 3 + k/2, k Z

15.

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 บาป 4x
x = /8 + n/2, n Z หรือ x = ½ อาร์คแทน 3 + k/2, k Z
ตั้งแต่ 0< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
คือทางออก
ตั้งแต่ 0< /8 < /4 < 1,значит /8
ยังเป็นวิธีแก้ปัญหา
โซลูชันอื่นๆ จะไม่รวมอยู่ใน
ช่องว่างตั้งแต่พวกเขา
ได้มาจากตัวเลข ½ อาร์คแทน 3 และ /8
การบวกตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ /2
คำตอบ: ก) /8 + n/2, n Z ; ½ อาร์คแทน 3 + k/2, k Z
ข) /8; ½ อาร์คแทน 3

16. 4. แก้สมการ log5(cos x – sin 2x + 25) = 2 ค้นหารากของมันบนเซ็กเมนต์

4. แก้สมการ log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
ค้นหารากของมันจากส่วนนั้น
มาแก้สมการกัน:
log5(คอส x – บาป 2x + 25) = 2
ODZ: cos x – บาป 2x + 25 > 0,
เพราะ x – บาป 2x + 25 = 25, 25 > 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1 – 2sin x) = 0,
คอส x = 0,
x = /2 + n, n Z
หรือ
1 – 2ซินx = 0,
บาป x = 1/2
x = (-1)k /6 + k, kZ

17.

เรามาเลือกรากบนเซ็กเมนต์กัน
มาเลือกรูทบนเซ็กเมนต์:
1) x = /2 + n, n Z
2 /2 + n 7 /2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1.5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5 /2
x = /2 + 3 = 7 /2
2) บาป x = 1/2
x = 2 + /6 = 13 /6
x = 3 – /6 = 17 /6
คำตอบ: ก) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, kZ
ข) 13/6; 5/2; 7/2; 17/6

18. 5. แก้สมการ 1/sin2x + 1/sin x = 2 จงหารากของมันบนเซกเมนต์ [-5/2; -3/2]

5. แก้สมการ 1/sin2x + 1/sin x = 2
ค้นหารากของมันบนส่วน [-5 /2; -3/2]
มาแก้สมการกัน:
1/ซิน2x + 1/ซิน x = 2
เอ็กซ์เค
การแทนที่ 1/ซิน x = t,
t2 + t = 2,
เสื้อ2 + เสื้อ – 2 = 0,
ที1= – 2, ที2 = 1
1/ซิน x = – 2,
บาป x = – ½,
x = – /6 + 2 n, n Z
หรือ
x = – 5 /6 + 2 n, n Z
1/บาป x = 1,
บาป x = 1,
x = /2 + 2 n, n Z
รากชุดนี้ไม่รวมอยู่ด้วย เพราะ -150°+ 360°n อยู่นอกขีดจำกัด
ช่วงเวลาที่กำหนด [-450°; -270°]

19.

มาเลือกรูทบนเซ็กเมนต์ต่อไป
ลองพิจารณาชุดรากที่เหลือและทำการเลือกราก
ในส่วน [-5 /2; -3/2] ([-450°; -270°]):
1) x = - /6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2 n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, nZ
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, nZ
– 7/3 2n -4/3, n Z
– 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n Z
-1.5 n -1 n Z
n = -1
n = -1
x = - /6 - 2 = -13/6 (-390°)
x = /2 - 2 = -3/2 (-270°)
คำตอบ: ก) /2 + 2 n, n Z ; (-1)k+1 /6 + k, kZ
ข) -13 /6; -3/2

20. 6. แก้สมการ |sin x|/sin x + 2 = 2cos x ค้นหารากของมันบนเซกเมนต์ [-1; 8]

มาแก้สมการกัน
|บาป x|/บาป x + 2 = 2cos x
1) ถ้า sin x >0 แล้ว |sin x| =บาป x
สมการจะอยู่ในรูปแบบ:
2 คอส x=3,
cos x =1.5 – ไม่มีราก
2) ถ้าบาป x<0, то |sin x| =-sin x
และสมการจะอยู่ในรูป
2cos x=1, cos x = 1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
เมื่อพิจารณาว่าบาป x< 0, то
เหลือคำตอบอีกชุดหนึ่ง
x = - π/3 +2πk, k Z
เรามาเลือกรากสำหรับ
ส่วน [-1; 8]
k=0, x= - π/3 , - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 ไม่ได้เป็นของสิ่งนี้
ส่วน
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 π/3 [-1; 8]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 ไม่เป็นของอันนี้
ส่วน
คำตอบ: a) - π/3 +2πk, k Z
ข) 5
พาย/3

21. 7. แก้สมการ 4sin3x=3cos(x- π/2) หารากของมันในช่วงเวลา

8. แก้สมการ √1-sin2x= sin x
ค้นหารากของมันในช่วงเวลา
ลองแก้สมการ √1-sin2x= sin x กัน
บาป x ≥ 0,
1- บาป2x = บาป2x;
บาป x ≥ 0,
2ซิน2x = 1;
บาปx≥0,
บาป x =√2/2; บาป x = - √2/2;
บาป x =√2/2
x=(-1)k /4 + k, kZ
บาป x =√2/2

25. มาเลือกรูทบนเซ็กเมนต์กัน

เรามาเลือกรากบนเซ็กเมนต์กัน
x=(-1)k /4 + k, kZ
บาป x =√2/2
y =บาป x และ y=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
คำตอบ: ก) (-1)k /4 + k, k Z; b) 11 /4

26. 9. แก้สมการ (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 จงหารากของมันในช่วงเวลา [-5; -7/2]

9. แก้สมการ (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0
ค้นหารากของมันในช่วงเวลา [-5; -7/2]
มาแก้สมการกัน
(ซิน2x + 2 ซิน2x)/√-คอส x =0
1) ODZ: cos x<0 ,
/2 +2 น 2) sin2x + 2 sin2x =0,
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
บาป x (cos x+ บาป x) =0,
บาป x=0, x= n, n Z
หรือ
เพราะ x+ บาป x=0 | : เพราะ x,
สีน้ำตาล x= -1, x= - /4 + n, n Z
โดยคำนึงถึง DL
x= n, n Z, x= +2 n, n Z;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3 /4 + 2 n, n Z

27. มาเลือกรูทบนเซ็กเมนต์ที่กำหนดกัน

เรามาเลือกรูตของที่กำหนดกัน
ส่วน [-5; -7/2]
x= +2 n, n Z ;
-5 ≤ +2 ไม่มี ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n = -3, x= -6 = -5
x= 3 /4 + 2 n, n Z
-5 ≤ 3/4 + 2n ≤ -7/2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8 ไม่ใช่แบบนั้น
ทั้งหมด
คำตอบ: ก) +2 n, n Z ;
3/4 + 2n,nZ ;
ข) -5

28. 10. แก้สมการ 2sin2x =4cos x –sinx+1 จงหารากของมันในช่วงเวลา [/2; 3/2]

10. แก้สมการ 2sin2x =4cos x –sinx+1
ค้นหารากของมันในช่วงเวลา [ /2; 3/2]
มาแก้สมการกัน
2sin2x = 4cos x – sinx+1
2sin2x = 4cos x – sinx+1,
4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(บาป x – 1) + (บาป x – 1) = 0,
(บาป x – 1)(4คอส x +1)=0,
บาป x – 1= 0, บาป x = 1, x = /2+2 n, n Z
หรือ
4คอส x +1= 0, คอส x = -0.25
x = ± (-อาร์คคอส (0.25)) + 2 n, n Z
ลองเขียนรากของสมการนี้ให้แตกต่างออกไป
x = - ส่วนโค้ง (0.25) + 2 n
x = -(- อาร์คคอส(0.25)) + 2 n, n Z

29. เลือกรากโดยใช้วงกลม

x = /2+2 n, n Z, x = /2;
x = -อาร์คคอส(0.25)+2n,
x=-(-อาร์คคอส(0.25)) +2 n, n Z,
x = - ส่วนโค้ง (0.25)
x = + ส่วนโค้ง (0.25)
คำตอบ: ก) /2+2 n,
-อาร์คคอส(0.25)+2 n,
-(-อาร์คคอส(0.25)) +2 n, n Z;
ข) /2;
-อาร์คคอส(0.25); +อาร์คคอส(0.25)

คุณสามารถสั่งซื้อวิธีแก้ปัญหาของคุณได้อย่างละเอียด!!!

ความเท่าเทียมกันที่ไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (`sin x, cos x, tan x` หรือ `ctg x`) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติ และเราจะพิจารณาต่อไปเป็นสูตรของสมการเหล่านี้

สมการที่ง่ายที่สุดเรียกว่า `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` โดยที่ `x` คือมุมที่จะหา ส่วน `a` คือตัวเลขใดๆ ให้เราเขียนสูตรรูทของแต่ละสูตร

1. สมการ `บาป x=a`

สำหรับ `|a|>1` มันไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เมื่อ `|a| \leq 1` มีคำตอบจำนวนอนันต์

สูตรราก: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. สมการ `cos x=a`

สำหรับ `|a|>1` - เช่นเดียวกับในกรณีของไซน์ มันไม่มีคำตอบระหว่างจำนวนจริง

เมื่อ `|a| \leq 1` มีคำตอบจำนวนอนันต์

สูตรราก: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

กรณีพิเศษสำหรับไซน์และโคไซน์ในกราฟ

3. สมการ `tg x=a`

มีคำตอบจำนวนไม่สิ้นสุดสำหรับค่าใดๆ ของ `a`

สูตรราก: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. สมการ `ctg x=a`

นอกจากนี้ยังมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์สำหรับค่าใด ๆ ของ 'a'

สูตรราก: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

สูตรรากของสมการตรีโกณมิติในตาราง

สำหรับไซน์:
สำหรับโคไซน์:
สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:
สูตรสำหรับการแก้สมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

การแก้สมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน:

• ด้วยความช่วยเหลือในการเปลี่ยนแปลงให้เป็นสิ่งที่ง่ายที่สุด
• แก้สมการที่ง่ายที่สุดที่ได้รับโดยใช้สูตรรูทและตารางที่เขียนด้านบน

ลองดูวิธีการแก้ปัญหาหลักโดยใช้ตัวอย่าง

วิธีพีชคณิต

วิธีการนี้เกี่ยวข้องกับการแทนที่ตัวแปรและแทนที่ตัวแปรให้มีความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ทำการแทนที่: `cos(x+\frac \pi 6)=y` จากนั้น `2y^2-3y+1=0`,

เราพบราก: `y_1=1, y_2=1/2` ซึ่งจะมี 2 กรณีดังนี้:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm อาร์คคอส 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`

คำตอบ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`

การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `sin x+cos x=1`

สารละลาย. ลองย้ายเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมดไปทางซ้าย: `sin x+cos x-1=0` การใช้ เราจะแปลงและแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือ:

`บาป x — 2ซิน^2 x/2=0`,

`2ซิน x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2ซิน x/2 (cos x/2-ซิน x/2)=0`,

1. `บาป x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`

คำตอบ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`

การลดลงเป็นสมการเอกพันธ์

ขั้นแรก คุณต้องลดสมการตรีโกณมิติให้เหลือรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้

`a sin x+b cos x=0` (สมการเอกพันธ์ของดีกรี 1) หรือ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (สมการเอกพันธ์ของดีกรี 2)

จากนั้นหารทั้งสองส่วนด้วย `cos x \ne 0` - สำหรับกรณีแรก และด้วย `cos^2 x \ne 0` - สำหรับกรณีที่สอง เราได้สมการสำหรับ `tg x`: `a tg x+b=0` และ `a tg^2 x + b tg x +c =0` ซึ่งจำเป็นต้องแก้ไขโดยใช้วิธีที่ทราบ

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`

สารละลาย. ลองเขียนด้านขวาเป็น `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 บาป^2 x+บาป x cos x — cos^2 x=` `บาป^2 x+cos^2 x`,

`2 บาป^2 x+บาป x cos x — cos^2 x -` ` บาป^2 x — cos^2 x=0`

`บาป^2 x+บาป x cos x — 2 cos^2 x=0`

นี่คือสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับที่สอง เราหารด้านซ้ายและด้านขวาด้วย `cos^2 x \ne 0` เราได้:

`\frac (บาป^2 x)(cos^2 x)+\frac(บาป x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. เรามาแนะนำการแทนที่ `tg x=t` ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็น `t^2 + t - 2=0` รากของสมการนี้คือ `t_1=-2` และ `t_2=1` แล้ว:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ใน Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \ใน Z`

คำตอบ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`

ย้ายไปครึ่งมุม

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `11 บาป x - 2 cos x = 10`

สารละลาย. ลองใช้สูตรมุมคู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` ` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 คอส^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

เมื่อใช้วิธีพีชคณิตที่อธิบายไว้ข้างต้น เราได้รับ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 ส่วนโค้ง 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ใน Z`

คำตอบ. `x_1=2 ส่วนโค้ง 2+2\pi n, n \ใน Z`, `x_2=ส่วนโค้ง 3/4+2\pi n`, `n \ใน Z`

การแนะนำมุมเสริม

ในสมการตรีโกณมิติ `a sin x + b cos x =c` โดยที่ a,b,c เป็นสัมประสิทธิ์และ x เป็นตัวแปร ให้หารทั้งสองข้างด้วย `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +ข^2))`.

สัมประสิทธิ์ทางด้านซ้ายมีคุณสมบัติเป็นไซน์และโคไซน์ กล่าวคือ ผลรวมของกำลังสองของพวกมันเท่ากับ 1 และโมดูลของพวกมันไม่มากกว่า 1 ให้เราแสดงพวกมันดังนี้: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C` จากนั้น:

`cos \วาร์ฟี บาป x + บาป \วาร์ฟี cos x =C`

ลองมาดูตัวอย่างต่อไปนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น:

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `3 sin x+4 cos x=2`

สารละลาย. หารทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย `sqrt (3^2+4^2)` ​​เราจะได้:

`\frac (3 บาป x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 บาป x+4/5 เพราะ x=2/5`

ลองแสดงว่า `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` กัน เนื่องจาก `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` เราจึงถือว่า `\varphi=arcsin 4/5` เป็นมุมช่วย จากนั้นเราเขียนความเท่าเทียมกันของเราในรูปแบบ:

`cos \วาร์ฟี บาป x+ซิน \วาร์ฟี cos x=2/5`

เมื่อใช้สูตรสำหรับผลรวมของมุมของไซน์ เราจะเขียนความเท่าเทียมกันในรูปแบบต่อไปนี้:

`บาป (x+\วาร์ฟี)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n อาร์คซิน 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n อาร์คซิน 2/5-` `อาร์คซิน 4/5+ \pi n`, `n \in Z`

คำตอบ. `x=(-1)^n อาร์คซิน 2/5-` `อาร์คซิน 4/5+ \pi n`, `n \in Z`

สมการตรีโกณมิติเชิงเศษส่วน

สิ่งเหล่านี้คือความเท่าเทียมกันของเศษส่วนซึ่งมีทั้งเศษและส่วนประกอบด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง. แก้สมการ `\frac (บาป x)(1+cos x)=1-cos x`

สารละลาย. คูณและหารทางด้านขวาของค่าที่เท่ากันด้วย `(1+cos x)` เป็นผลให้เราได้รับ:

`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac (บาป^2 x)(1+cos x)`

`\frac (บาป x)(1+cos x)-` `\frac (บาป^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (บาป x-บาป^2 x)(1+cos x)=0`

เมื่อพิจารณาว่าตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ เราจะได้ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`

ลองหาตัวเศษของเศษส่วนให้เป็นศูนย์: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0` จากนั้น `บาป x=0` หรือ `1-บาป x=0`

1. `บาป x=0`, `x=\pi n`, `n \ใน Z`
2. `1-บาป x=0`, `บาป x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \ใน Z`

เมื่อพิจารณาว่า ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ผลเฉลยคือ `x=2\pi n, n \in Z` และ `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ใน Z`

คำตอบ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`

โดยเฉพาะอย่างยิ่งตรีโกณมิติและสมการตรีโกณมิติถูกนำมาใช้ในเรขาคณิต ฟิสิกส์ และวิศวกรรมเกือบทั้งหมด การศึกษาเริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 มีงานสำหรับการสอบ Unified State อยู่เสมอ ดังนั้นพยายามจำสูตรสมการตรีโกณมิติทั้งหมด - มันจะมีประโยชน์สำหรับคุณอย่างแน่นอน!

อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องจดจำสิ่งเหล่านี้ด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญคือการเข้าใจแก่นแท้และสามารถสืบทอดมาได้ มันไม่ยากอย่างที่คิด ดูตัวคุณเองด้วยการดูวิดีโอ

อ่านยัง...

• ประวัติการอบรมภาษาศาสตร์ต่างประเทศ "ภาษาศาสตร์ต่างประเทศ"
• ประวัติการอบรมภาษาศาสตร์ต่างประเทศ "ภาษาศาสตร์ต่างประเทศ"
• การแข่งขันกีฬาโอลิมปิกในการพลศึกษา การแข่งขัน All-Russian ในการพลศึกษาสำหรับเด็กก่อนวัยเรียน
• การศึกษาระดับอุดมศึกษาที่สองในด้านเศรษฐศาสตร์ การควบคุมของรัฐทางเศรษฐกิจ