การเลือกข้อสอบการแก้สมการ งานสอบ Unified State: การแก้สมการง่ายๆ

06.08.2020 สินค้าโฮมเมดและงานฝีมือ

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชีสำหรับตัวคุณเอง ( บัญชี) Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

สมการในการใช้ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ Kravchenko N.A. ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมหมายเลข 891 มอสโก การนำเสนอทางการศึกษาเพื่อเตรียมสอบ Unified State

สารบัญ บทคัดย่อของงาน ตัวอย่างที่ 1 ( สมการไม่ลงตัว) ตัวอย่างที่ 2 (สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล) ตัวอย่างที่ 3 (สมการไร้เหตุผล) ตัวอย่างที่ 4 (สมการตรรกยะเศษส่วน) ตัวอย่างที่ 5 (สมการลอการิทึม) ตัวอย่างที่ 6 (สมการลอการิทึม) ตัวอย่างที่ 7 ( สมการตรีโกณมิติ) ตัวอย่างที่ 8 (สมการเลขชี้กำลัง) ตัวอย่างที่ 9 (สมการไม่ลงตัว) ตัวอย่างที่ 10 (สมการลอการิทึม)

ประเภทคำถาม: สมการ ลักษณะงาน: สมการเลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ หรือสมการไม่ลงตัวอย่างง่าย ความคิดเห็น: สมการจะลดลงในขั้นตอนเดียวเป็นเชิงเส้นหรือกำลังสอง (ในกรณีนี้ ต้องระบุรากเพียงอันเดียวในคำตอบ - ยิ่งมากหรือน้อย) คำตอบที่ไม่ถูกต้องมีสาเหตุหลักมาจากข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์

แก้สมการ ตัวอย่างที่ 1 วิธีแก้ปัญหา ลองยกกำลังสองกัน: ต่อไปเราจะได้คำตอบ: -2

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ สารละลาย. เราไปยังฐานหนึ่งของระดับ: จากความเท่าเทียมกันของฐานเราย้ายไปที่ความเท่าเทียมกันขององศา: จากที่ไหน คำตอบ: 3

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ สารละลาย. ลองยกสมการทั้งสองข้างขึ้นเป็นกำลังสาม: หลังจากการแปลงเบื้องต้น เราได้: คำตอบ: 23

ตัวอย่างที่ 4 แก้สมการ ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้ตอบด้วยรากที่เล็กกว่า สารละลาย. ภูมิภาค ค่าที่ยอมรับได้: x≠10. ในบริเวณนี้ ลองคูณด้วยตัวส่วน: รากทั้งสองอยู่ใน ODZ อันที่เล็กกว่าคือ −3 คำตอบ: -3

ตัวอย่างที่ 5 แก้สมการ สารละลาย. จากสูตรที่เราได้รับ: คำตอบ: 6

ตัวอย่างที่ 6 แก้สมการ สารละลาย. ลอการิทึมของสองนิพจน์จะเท่ากันหากนิพจน์นั้นเท่ากันและในเวลาเดียวกันก็เป็นบวก: เราจะได้ที่ไหน คำตอบ: 6

ตัวอย่างที่ 7 แก้สมการ ตอบด้วยรากที่เป็นบวกน้อยที่สุด สารละลาย. มาแก้สมการกัน:

ค่านี้สอดคล้องกับรากที่เป็นบวกมาก ถ้า k=1 แล้ว x 1 =6.5 และ x 2 =8.5 ถ้า k=0 แล้ว x 3 =0.5 และ x 4 =2.5 ค่าจะสอดคล้องกับค่ารากที่น้อยกว่า คำตอบเชิงบวกที่น้อยที่สุดคือ 0.5 คำตอบ: 0.5

ตัวอย่างที่ 8 แก้สมการ สารละลาย. เมื่อลดด้านซ้ายและด้านขวาของสมการลงเป็นกำลัง 6 เราจะได้: หมายความว่าอย่างไร คำตอบ: 2

ตัวอย่าง 9 แก้สมการ สารละลาย. เมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ เราจะได้: แน่นอนจากที่ คำตอบ: 5

ตัวอย่าง 10 แก้สมการ สารละลาย. ลองเขียนสมการใหม่เพื่อให้มีลอการิทึมเป็นฐาน 4 ทั้งสองด้าน ต่อไปจะเห็นได้ชัดว่าคำตอบ: -11

วัสดุที่ใช้นำมาจากเว็บไซต์: http://reshuege.ru รูปภาพที่นำมาจาก: http://images.yandex.ru/yandsearch?source=wiz&uinfo=sw-1263-sh-677-fw-1038-fh- 471- pd-1&p=3&text= สมการ%20รูปภาพ& noreask =1&pos=100&rpt= simage&lr =213&img_url=http%3A%2F%2Fwww.presentermedia.com%2Ffiles%2Fclipart%2F00003000%2F3804%2Fdrawing_math_equation_pc_md_wm.jpg

ในหัวข้อ: การพัฒนาระเบียบวิธี การนำเสนอ และบันทึกย่อ

ระเบียบวิธีงานโครงงานเพื่อเตรียมความพร้อมนักเรียนในการแก้ปัญหาในหัวข้อ “ปัญหาการเคลื่อนที่” และ “ปัญหาเกี่ยวกับสารผสมและโลหะผสม” ที่รวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

แนวคิดที่โดดเด่นขององค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานการศึกษาของรัฐในวิชาคณิตศาสตร์คือการพัฒนาอย่างเข้มข้นของการคิดเชิงตรรกะจินตนาการเชิงพื้นที่อัล ...

งานที่มุ่งเน้นเรื่องการใช้งานในวิชาคณิตศาสตร์

การพัฒนาและคัดเลือกงานเพื่อพัฒนาความรู้ ทักษะ และความสามารถถือเป็นงานที่สำคัญมาก เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ มีการใช้ปัญหาสองประเภท - เชิงคณิตศาสตร์ล้วนๆ และเชิงปฏิบัติ วัน...

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" มีหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ได้ 60-65 คะแนน ครบทุกปัญหา 1-13 การตรวจสอบโปรไฟล์ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี, วัสดุอ้างอิง, วิเคราะห์งาน Unified State Examination ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายด้วยภาพแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State

สมการ ส่วน $C$

ความเท่าเทียมกันที่มีตัวเลขไม่ทราบค่าซึ่งระบุด้วยตัวอักษรเรียกว่าสมการ นิพจน์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับเรียกว่าด้านซ้ายของสมการ และนิพจน์ทางขวาเรียกว่าด้านขวาของสมการ

โครงการแก้สมการที่ซับซ้อน:

ก่อนที่จะแก้สมการจำเป็นต้องเขียนช่วงของค่าที่อนุญาต (ADV) ไว้
แก้สมการ
เลือกจากรากที่ได้รับของสมการที่ตรงกับ ODZ

ODZ ของนิพจน์ต่างๆ (โดยนิพจน์ เราหมายถึงสัญลักษณ์ตัวอักษรและตัวเลข):

1. นิพจน์ในตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์

$(ฉ(x))/(ก(x)); ก.(x)≠0$

2. การแสดงออกที่รุนแรงจะต้องไม่เป็นลบ

$√(ก(x)); ก.(x) ≥ 0$.

3. นิพจน์รากในตัวส่วนจะต้องเป็นบวก

$(ฉ(x))/(√(g(x))); ก.(x) > 0$

4. สำหรับลอการิทึม: นิพจน์ซับลอการิทึมต้องเป็นค่าบวก พื้นฐานจะต้องเป็นบวก ฐานไม่สามารถเท่ากับหนึ่งได้

$log_(f(x))g(x)\table\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

สมการลอการิทึม

สมการลอการิทึมคือสมการที่อยู่ในรูปแบบ $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนบวกที่แตกต่างจาก $1$ และสมการที่ลดลงมาในรูปแบบนี้

ในการแก้สมการลอการิทึม คุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของลอการิทึม: เราจะพิจารณาคุณสมบัติทั้งหมดของลอการิทึมสำหรับ $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – จำนวนจริงใดๆ

1. สำหรับจำนวนจริงใดๆ $m$ และ $n$ ค่าเท่ากันจะเป็นจริง:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(ม.)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมกับฐานเดียวกันของแต่ละปัจจัย

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของตัวเศษและตัวส่วนโดยใช้ฐานเดียวกัน

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. เมื่อคูณลอการิทึมสองตัว คุณสามารถสลับฐานได้

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, ถ้า $a, b, c$ และ $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$ โดยที่ $a, b, c > 0, a≠1$

6. สูตรการย้ายฐานใหม่

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. โดยเฉพาะหากจำเป็นต้องสลับนิพจน์ฐานและซับลอการิทึม

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

สมการลอการิทึมมีหลายประเภทหลัก:

สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด: $log_(a)x=b$ การแก้สมการประเภทนี้ตามมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม กล่าวคือ $x=a^b$ และ $x > 0$

ลองแทนสมการทั้งสองข้างเป็นลอการิทึมเป็นฐาน $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

ถ้าลอการิทึมที่มีฐานเท่ากัน นิพจน์ซับลอการิทึมก็จะเท่ากันด้วย

คำตอบ: $x = 8$

สมการของรูปแบบ: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$ เพราะ ฐานจะเท่ากัน จากนั้นเราถือเอานิพจน์ย่อยลอการิทึมและคำนึงถึง ODZ:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

เพราะ ฐานจะเท่ากัน จากนั้นเราจึงถือนิพจน์ย่อยลอการิทึม

ลองย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายของสมการแล้วนำเสนอพจน์ที่คล้ายกัน

ลองตรวจสอบรากที่พบตามเงื่อนไข $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

เมื่อนำไปแทนค่าอสมการที่สอง ราก $x=4$ ไม่ตรงตามเงื่อนไข ดังนั้น รากดังกล่าวจึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

คำตอบ: $x=-3$

วิธีการแทนที่ตัวแปร

ในวิธีนี้คุณต้องการ:

เขียนสมการ ODZ
การใช้คุณสมบัติของลอการิทึมต้องแน่ใจว่าสมการสร้างลอการิทึมที่เหมือนกัน
แทนที่ $log_(a)f(x)$ ด้วยตัวแปรใดๆ
แก้สมการของตัวแปรใหม่
กลับไปที่ขั้นตอนที่ 3 แทนที่ค่าของตัวแปรและรับสมการที่ง่ายที่สุดในรูปแบบ: $log_(a)x=b$
แก้สมการที่ง่ายที่สุด
หลังจากค้นหารากของสมการลอการิทึมแล้ว คุณต้องใส่มันไว้ในขั้นตอนที่ 1 และตรวจสอบเงื่อนไข ODZ

แก้สมการ $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. มาเขียนสมการ ODZ กัน:

$\table\(\ x>0,\text"เนื่องจากอยู่ใต้เครื่องหมายของรูทและลอการิทึม";\ √x≠1→x≠1;$

2. มาสร้างลอการิทึมที่ฐาน $2$ กัน โดยเราจะใช้กฎในการย้ายไปยังฐานใหม่ในเทอมที่สอง:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. เราได้สมการตรรกยะเศษส่วนสำหรับตัวแปร t

ขอให้เราลดพจน์ทั้งหมดให้เป็นตัวส่วนร่วม $t$

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. มาแก้ผลลัพธ์กันเถอะ สมการกำลังสองตามทฤษฎีบทของ Vieta:

6. กลับไปที่ขั้นตอนที่ 3 ทำการทดแทนแบบย้อนกลับและรับสมการลอการิทึมง่ายๆ สองสมการ:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

ลองลอการิทึมทางด้านขวามือของสมการกัน

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

ให้เราถือเอานิพจน์ย่อยลอการิทึม

$√x=2$, $√x=4$

หากต้องการกำจัดราก ให้ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการกัน

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. ลองแทนที่รากของสมการลอการิทึมในขั้นตอนที่ 1 และตรวจสอบเงื่อนไข ODZ

$\(\table\ 4 >0; \4≠1;$

รูตแรกเป็นไปตาม ODZ

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ รูทที่สองยังเป็นไปตาม ODZ

คำตอบ: $4; 16 ดอลลาร์

สมการที่อยู่ในรูปแบบ $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$ สมการดังกล่าวได้รับการแก้ไขโดยการแนะนำตัวแปรใหม่และย้ายไปยังสมการกำลังสองธรรมดา หลังจากพบรากของสมการแล้ว จะต้องเลือกรากเหล่านั้นโดยคำนึงถึง ODZ

สมการตรรกยะเศษส่วน

ถ้าเศษส่วนเป็นศูนย์ ตัวเศษจะเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์
ถ้าอย่างน้อยส่วนหนึ่งของสมการเหตุผลมีเศษส่วน สมการนั้นเรียกว่าเศษส่วน-ตรรกยะ

ในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน คุณต้อง:

ค้นหาค่าของตัวแปรที่สมการไม่สมเหตุสมผล (ODZ)
ค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนที่อยู่ในสมการ
คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วม
แก้สมการผลลัพธ์ทั้งหมด
แยกสิ่งที่ไม่ตรงตามเงื่อนไข ODZ ออกจากรากของมัน

หากสมการเกี่ยวข้องกับเศษส่วนสองตัวและตัวเศษเป็นนิพจน์ที่เท่ากัน ตัวส่วนก็สามารถเท่ากันกับเศษส่วนอื่นได้ และสมการที่ได้จะแก้ได้โดยไม่ต้องสนใจตัวเศษ แต่คำนึงถึง ODZ ของสมการดั้งเดิมทั้งหมดด้วย

สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลคือสมการที่มีสิ่งที่ไม่ทราบอยู่ในเลขชี้กำลัง

เมื่อแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลจะใช้คุณสมบัติของกำลัง ให้เรานึกถึงบางส่วน:

1. เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะคงเดิมและเลขยกกำลังบวกกัน

$a^n·a^m=a^(n+m)$

2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะยังคงเหมือนเดิม และลบเลขชี้กำลังออก

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. เมื่อเพิ่มระดับเป็นกำลัง ฐานจะยังคงเท่าเดิม แต่เลขชี้กำลังจะคูณกัน

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. เมื่อยกผลิตภัณฑ์ขึ้นสู่กำลัง แต่ละปัจจัยจะถูกยกขึ้นสู่กำลังนี้

$(ก)^n=a^n ข^n$

5. เมื่อยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง ตัวเศษและส่วนจะถูกยกกำลังนี้

$((ก)/(ข))^n=(มี^n)/(b^n)$

6. เมื่อฐานใดๆ เพิ่มขึ้นเป็นศูนย์ ผลลัพธ์จะเท่ากับ 1

7. ฐานในเลขชี้กำลังลบใดๆ สามารถแสดงเป็นฐานในเลขชี้กำลังบวกเดียวกันได้โดยการเปลี่ยนตำแหน่งของฐานสัมพันธ์กับจังหวะของเศษส่วน

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. ราก (ราก) สามารถแสดงเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนได้

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

ประเภทของสมการเลขชี้กำลัง:

1. สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย:

a) พิมพ์ $a^(f(x))=a^(g(x))$ โดยที่ $a >0, a≠1, x$ ไม่เป็นที่รู้จัก ในการแก้สมการดังกล่าว เราใช้คุณสมบัติของกำลัง: กำลังที่มีฐานเดียวกัน ($a >0, a≠1$) จะเท่ากันก็ต่อเมื่อเลขชี้กำลังเท่ากันเท่านั้น

b) สมการของรูปแบบ $a^(f(x))=b, b>0$

ในการแก้สมการดังกล่าว ทั้งสองข้างจะต้องนำลอการิทึมไปที่ฐาน $a$ ปรากฎว่า

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. วิธีการปรับระดับฐาน

3. วิธีการแยกตัวประกอบและการแทนที่ตัวแปร

สำหรับ วิธีนี้ในสมการทั้งหมด ตามคุณสมบัติของกำลัง จำเป็นต้องแปลงกำลังให้เป็นรูปแบบเดียว $a^(f(x))$
ทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร $a^(f(x))=t, t > 0$
เราได้รับสมการตรรกยะที่ต้องแก้โดยแยกตัวประกอบนิพจน์
เราทำการทดแทนแบบย้อนกลับโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า $t >

แก้สมการ $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

การใช้คุณสมบัติของกำลัง เราแปลงนิพจน์เพื่อให้ได้กำลัง 2^x

$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$

ลองเปลี่ยนตัวแปร $2^x=t; เสื้อ>0$

เราได้สมการลูกบาศก์ของแบบฟอร์ม

$t^3-(7 ตัน^2)/(2)+(7 ตัน)/(2)-1=0$

คูณสมการทั้งหมดด้วย $2$ เพื่อกำจัดตัวส่วน

$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

ลองขยายด้านซ้ายของสมการโดยใช้วิธีจัดกลุ่มกัน

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 ตัน)=0$

ให้เรานำตัวประกอบร่วม $2$ ออกจากวงเล็บแรก และ $7t$ จากวงเล็บที่สอง

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

นอกจากนี้ ในวงเล็บแรก เราจะเห็นความแตกต่างของสูตรของลูกบาศก์

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

ผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

มาแก้สมการแรกกัน

ลองแก้สมการที่สองโดยใช้ตัวจำแนก

$D=25-4·2·2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

คำตอบ: $-1; 0; 1$

4. วิธีการแปลงสมการกำลังสอง

เรามีสมการในรูปแบบ $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$ โดยที่ $A, B$ และ $C$ เป็นสัมประสิทธิ์
เราทำการแทนที่ $a^(f(x))=t, t > 0$
ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการกำลังสองในรูปแบบ $A·t^2+B·t+С=0$ เราแก้สมการผลลัพธ์
เราทำการทดแทนแบบย้อนกลับโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า $t > 0$ เราได้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด $a^(f(x))=t$ แก้มันแล้วเขียนผลลัพธ์ลงในคำตอบ

วิธีการแยกตัวประกอบ:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

หากต้องการแยกตัวประกอบพหุนามโดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ คุณต้อง:

กำหนดปัจจัยร่วม.
หารพหุนามที่กำหนดด้วยมัน.
เขียนผลคูณของตัวประกอบร่วมและผลหารผลลัพธ์ (ใส่เครื่องหมายวงเล็บไว้ในวงเล็บ)

แยกตัวประกอบพหุนาม: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$

ตัวประกอบร่วมของพหุนามนี้คือ $2a$ เนื่องจากพจน์ทั้งหมดหารด้วย $2$ และ "a" ลงตัว ต่อไป เราจะหาผลหารของการหารพหุนามดั้งเดิมด้วย "2a" เราจะได้:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

นี่คือผลลัพธ์สุดท้ายของการแยกตัวประกอบ

การใช้สูตรคูณแบบย่อ

1. กำลังสองของผลรวมแบ่งออกเป็นกำลังสองของจำนวนแรก บวก สองเท่าผลคูณของจำนวนแรกและจำนวนที่สอง และบวกด้วยกำลังสองของจำนวนที่สอง

$(ก+ข)^2=ก^2+2ab+b^2$

2. กำลังสองของผลต่างจะถูกแยกออกเป็นกำลังสองของจำนวนแรก ลบด้วยสองเท่าของผลคูณของจำนวนแรกและตัวที่สอง และบวกด้วยกำลังสองของจำนวนที่สอง

$(ก-ข)^2=ก^2-2ab+ข^2$

3. ผลต่างของกำลังสองจะถูกแยกย่อยเป็นผลคูณของผลต่างของตัวเลขและผลรวม

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. กำลังสามของผลรวมเท่ากับกำลังสามของจำนวนแรกบวกสามผลคูณของกำลังสองของจำนวนแรกด้วยจำนวนที่สอง บวกสามผลคูณของจำนวนแรกด้วยกำลังสองของจำนวนที่สองบวกกำลังสามของจำนวนที่สอง ตัวเลข.

$(ก+ข)^3=ก^3+3ก^2b+3ab^2+b^3$

5. ลูกบาศก์ของผลต่างเท่ากับลูกบาศก์ของเลขตัวแรก ลบด้วยผลคูณสามของกำลังสองของเลขแรกด้วยเลขตัวที่สอง บวกด้วยผลคูณของเลขสามของเลขตัวแรกคูณด้วยเลขสองยกกำลังสอง และลบด้วยเลขสามของเลขสอง หมายเลขที่สอง

$(ก-ข)^3=ก^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. ผลรวมของลูกบาศก์เท่ากับผลคูณของผลรวมของตัวเลขและกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่าง

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. ผลต่างของลูกบาศก์เท่ากับผลคูณของผลต่างของตัวเลขและกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

วิธีการจัดกลุ่ม

วิธีการจัดกลุ่มเป็นวิธีที่สะดวกในการใช้เมื่อจำเป็นต้องแยกตัวประกอบพหุนามที่มีเงื่อนไขเป็นจำนวนคู่ ใน วิธีนี้จำเป็นต้องรวบรวมข้อกำหนดออกเป็นกลุ่มและนำปัจจัยร่วมออกจากแต่ละกลุ่ม หลังจากวางไว้ในวงเล็บแล้ว หลายกลุ่มควรได้นิพจน์ที่เหมือนกัน จากนั้นเรานำวงเล็บนี้ไปข้างหน้าเป็นปัจจัยร่วมแล้วคูณด้วยวงเล็บของผลหารผลที่ได้

แยกตัวประกอบพหุนาม $2a^3-a^2+4a-2$

ในการจำแนกพหุนามนี้ เราจะใช้วิธีการจัดกลุ่มคำศัพท์ โดยเราจะจัดกลุ่มคำศัพท์สองคำแรกและสองคำสุดท้าย และสิ่งสำคัญคือต้องวางเครื่องหมายไว้หน้ากลุ่มที่สองอย่างถูกต้อง ลงชื่อแล้วจึงเขียนเงื่อนไขโดยมีเครื่องหมายอยู่ในวงเล็บ

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

หลังจากนำปัจจัยร่วมออกมาแล้ว เราก็ได้วงเล็บที่เหมือนกันคู่หนึ่ง ตอนนี้เราเอาวงเล็บนี้ออกมาเป็นปัจจัยร่วม

$เอ^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(ก^2+2)$

ผลคูณของวงเล็บเหล่านี้คือผลลัพธ์สุดท้ายของการแยกตัวประกอบ

การใช้สูตรตรีโกณมิติกำลังสอง

หากมีรูปตรีโกณมิติกำลังสองอยู่ในรูปแบบ $ax^2+bx+c$ ก็สามารถขยายได้ตามสูตร

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ โดยที่ $x_1$ และ $x_2$ เป็นรากของตรีโกณมิติกำลังสอง

วันนี้เราจะฝึกทักษะการแก้ภารกิจที่ 5 ของการสอบ Unified State - ค้นหารากของสมการ ลองหารากของสมการกัน ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาประเภทนี้ แต่ก่อนอื่น มาจำไว้ว่าการค้นหารากของสมการหมายความว่าอย่างไร

นี่หมายถึงการค้นหาตัวเลขที่เข้ารหัสไว้ใต้ x ซึ่งเราจะแทนที่ x และสมการของเราจะมีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

ตัวอย่างเช่น 3x=9 คือสมการ และ 3 3=9 มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริงอยู่แล้ว นั่นก็คือใน ในกรณีนี้เราแทนเลข 3 แทน x - เราได้นิพจน์หรือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าเราแก้สมการได้ นั่นคือเราพบตัวเลขที่กำหนด x = 3 ซึ่งเปลี่ยนสมการให้มีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

นี่คือสิ่งที่เราจะทำ - เราจะหารากของสมการ

ภารกิจที่ 1 - ค้นหารากของสมการ 2 1-4x =32

นี่คือสมการเลขชี้กำลัง แก้ไขได้ดังนี้: จำเป็นที่ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของเครื่องหมาย "เท่ากัน" จะต้องมีระดับที่มีฐานเดียวกัน

ทางด้านซ้ายเรามีฐานของดีกรี 2 และทางขวาไม่มีดีกรีเลย แต่เรารู้ว่า 32 เป็น 2 ยกกำลัง 5. นั่นคือ 32=2 5

ดังนั้นสมการของเราจะมีลักษณะดังนี้: 2 1-4x = 2 5

ด้านซ้ายและด้านขวา เลขชี้กำลังของเราเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเพื่อให้เรามีความเท่าเทียมกัน เลขชี้กำลังจะต้องเท่ากันด้วย:

เราได้สมการสามัญ เราแก้ไขด้วยวิธีปกติ - เราทิ้งสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมดไว้ทางด้านซ้ายและย้ายสิ่งที่รู้จักไปทางขวาเราจะได้:

ตรวจสอบกัน: 2 1-4(-1) =32

เราได้พบรากของสมการแล้ว คำตอบ: x=-1

ค้นหารากของสมการด้วยตัวเองในงานต่อไปนี้:

ข) 2 1-3x =128

ภารกิจที่ 2 - ค้นหารากของสมการ

เราแก้สมการในลักษณะเดียวกัน - โดยการลดด้านซ้ายและด้านขวาของสมการให้เป็นฐานกำลังเดียวกัน ในกรณีของเรา - ไปที่ฐานของระดับ 2

เราใช้คุณสมบัติระดับต่อไปนี้:

เมื่อใช้คุณสมบัตินี้ เราจะได้ด้านขวาของสมการ:

หากฐานของดีกรีเท่ากัน เลขชี้กำลังก็จะเท่ากัน:

คำตอบ: x=9

มาตรวจสอบกันดีกว่า - แทนที่ค่าที่พบของ x ลงในสมการดั้งเดิม - หากเราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง เราก็จะแก้สมการได้อย่างถูกต้องแล้ว

เราหารากของสมการได้ถูกต้อง

ภารกิจที่ 3 - ค้นหารากของสมการ

โปรดทราบว่าทางขวาเรามี 1/8 และ 1/8 คือ

จากนั้นสมการของเราจะถูกเขียนเป็น:

ถ้าฐานของดีกรีเท่ากัน แล้วเลขยกกำลังเท่ากัน เราจะได้สมการง่ายๆ:

คำตอบ: x=5 ทำการตรวจสอบด้วยตัวเอง

ภารกิจที่ 4 - ค้นหารากของสมการ บันทึก 3 (15's)=log 3 2

สมการนี้สามารถแก้ได้ในลักษณะเดียวกับสมการเลขชี้กำลัง เราต้องการให้ฐานของลอการิทึมทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับเท่ากัน ตอนนี้มันเหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าเราเทียบนิพจน์เหล่านั้นที่อยู่ภายใต้สัญลักษณ์ลอการิทึม:

คำตอบ: x=13

ภารกิจที่ 5 - ค้นหารากของบันทึกสมการ 3 (3-x)=3

เลข 3 คือล็อก 3 27 เพื่อให้ชัดเจน ด้านล่างตัวห้อยใต้เครื่องหมายลอการิทึมคือตัวเลขที่ยกกำลัง ในกรณีของเรา 3 ใต้เครื่องหมายลอการิทึมคือตัวเลขที่ได้รับเมื่อ ยกกำลัง - นี่คือ 27 และลอการิทึมเองก็เป็นเลขชี้กำลังซึ่งต้องยก 3 เพื่อให้ได้ 27

ดูภาพ: