ช่างฝีมือประจำบ้านมักต้องหาจุดศูนย์กลางของวงกลมหรือส่วนที่กลม ฉันได้เขียนเกี่ยวกับวิธีแก้ไขปัญหานี้แล้วในบทความ "วิธีค้นหาจุดศูนย์กลางของวงกลม" แต่มีข้อเสียเปรียบที่สำคัญประการหนึ่ง - จำเป็นต้องค้นหาจุดกึ่งกลางของคอร์ดอย่างแม่นยำและสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดนั้นอย่างแม่นยำ

โชคดีที่มีอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาจุดศูนย์กลางของวงกลมอย่างแม่นยำโดยไม่จำเป็นต้องวัดอย่างแม่นยำ ขึ้นอยู่กับหลักการง่ายๆ ที่ว่า ถ้าสามเหลี่ยมมุมฉากถูกเขียนไว้ในวงกลม ด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านที่ยาวที่สุด) จะเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมหรือเส้นรอบวงนี้

สิ่งนี้ได้รับการยืนยันจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 องศา และวงกลมทั้งหมดก็มี 360 องศา และสี่เหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม จะเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก และในทางกลับกัน สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากจะแทนเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

แล้วจุดศูนย์กลางของวงกลมจะให้อะไรเราอย่างแม่นยำกว่านี้ถ้าไม่ใช่จุดตัดของเส้นผ่านศูนย์กลางสองเส้นของวงกลม?

วิธีที่ง่ายที่สุดในการใช้มุมขวาเป็น "แหล่งที่มา" คือการใช้กระดาษเขียนแผ่นหนึ่ง ที่โรงงานกระดาษ พวกเขาถูกตัดด้วยความแม่นยำสูงมาก คุณสามารถใช้หน้าจากนิตยสาร ฯลฯ

เราวางกระดาษแผ่นหนึ่งบนส่วนกลมเพื่อให้มุมด้านใดด้านหนึ่งอยู่บนเส้นรอบวงหรือขอบของวงกลม และทำเครื่องหมายจุดที่แผ่นงานสัมผัสกับขอบอีกด้านของวงกลม เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้

ลากเส้นตรงระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ ระยะห่างระหว่างพวกเขาคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้ เราตัดกระดาษส่วนเกินออกแล้ววาดเส้นตรงบนส่วน - เส้นผ่านศูนย์กลาง

ก็เพียงพอแล้วที่จะย้ายสามเหลี่ยมของเราไปยังตำแหน่งอื่นและวาดเส้นผ่านศูนย์กลางอื่นของวงกลม จากนั้นเมื่อถึงจุดตัดของเส้นผ่านศูนย์กลาง เราก็จะได้จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ต้องการ...

ดังนั้น โดยไม่ต้องวัดใดๆ เลย เราก็สามารถหาจุดศูนย์กลางของวงกลมใดๆ ได้

สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งแต่ละมุมตั้งฉากกัน

การพิสูจน์

คุณสมบัตินี้อธิบายได้ด้วยการกระทำของจุดสนใจที่ 3 ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (นั่นคือ \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. ด้านตรงข้ามเท่ากัน

AB = ซีดี\enspace BC = AD

3. ด้านตรงข้ามขนานกัน

AB \ซีดีคู่ขนาน\enspace BC \โฆษณาคู่ขนาน

4. ด้านที่อยู่ติดกันตั้งฉากกัน

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน

เอซี = บีดี

การพิสูจน์

ตาม ทรัพย์สิน 1สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายถึง AB = CD

ดังนั้น \triangle ABD = \triangle DCA บนสองขา (AB = CD และ AD - ข้อต่อ)

ถ้าตัวเลข ABC และ DCA เท่ากัน แล้วด้านตรงข้ามมุมฉาก BD และ AC ก็เหมือนกัน

ดังนั้น AC = BD

จากตัวเลขทั้งหมด (เฉพาะสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่านั้น!) มีเพียงสี่เหลี่ยมเท่านั้นที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากัน

มาพิสูจน์เรื่องนี้กันด้วย

ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน \ลูกศรขวา AB = CD, AC = BD ตามเงื่อนไข \ลูกศรขวา \สามเหลี่ยม ABD = \สามเหลี่ยม DCAมีสามด้านแล้ว

ปรากฎว่า \angle A = \angle D (เหมือนกับมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) และ \angle A = \angle C , \angle B = \angle D

เราสรุปได้ว่า \มุม A = \มุม B = \มุม C = \มุม D- 90^(\circ) พวกเขาทั้งหมด รวม - 360^(\circ)

พิสูจน์แล้ว!

6. กำลังสองของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านที่อยู่ติดกันทั้งสองข้าง

คุณสมบัตินี้เป็นจริงเนื่องจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เอซี^2=โฆษณา^2+ซีดี^2

7. เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันที่เหมือนกัน

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. จุดตัดของเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่ง

อ่าว = BO = CO = DO

9. จุดตัดของเส้นทแยงมุมคือจุดศูนย์กลางของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเส้นรอบวงวงกลม

10. ผลรวมของมุมทั้งหมดคือ 360 องศา

\มุม ABC + \มุม BCD + \มุม CDA + \มุม DAB = 360^(\circ)

11. มุมทุกมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าถูกต้อง

\มุม ABC = \มุม BCD = \มุม CDA = \มุม DAB = 90^(\circ)

12. เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเท่ากับเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

13. คุณสามารถอธิบายวงกลมรอบสี่เหลี่ยมได้เสมอ

คุณสมบัตินี้เป็นจริงเนื่องจากผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. สี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถมีวงกลมที่จารึกไว้ได้ และมีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้นหากมีความยาวด้านเท่ากัน (เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" ประกอบด้วยหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นในการผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยคะแนน 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหาด่วน ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State

4. สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมซึ่งอธิบายรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

5. สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมซึ่งอธิบายไว้รอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม (อธิบาย):

6. สูตรสำหรับรัศมีของวงกลม ซึ่งอธิบายรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านไซน์ของมุมที่อยู่ติดกับเส้นทแยงมุม และความยาวของด้านตรงข้ามกับมุมนี้:

7. สูตรสำหรับรัศมีของวงกลม ซึ่งอธิบายรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านโคไซน์ของมุมที่อยู่ติดกับเส้นทแยงมุม และความยาวของด้านข้างของมุมนี้:

8. สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมซึ่งอธิบายไว้รอบ ๆ สี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านไซน์ของมุมแหลมระหว่างเส้นทแยงมุมกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

มุมระหว่างด้านข้างกับเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สูตรกำหนดมุมระหว่างด้านข้างกับเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

1. สูตรกำหนดมุมระหว่างด้านข้างกับเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านเส้นทแยงมุมและด้านข้าง:

2. สูตรกำหนดมุมระหว่างด้านข้างกับเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านมุมระหว่างเส้นทแยงมุม:

มุมระหว่างเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สูตรกำหนดมุมระหว่างเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

1. สูตรกำหนดมุมระหว่างเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านมุมระหว่างด้านข้างกับเส้นทแยงมุม:

β = 2α

2. สูตรหามุมระหว่างเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านพื้นที่และเส้นทแยงมุม