ฉันจะพูดสั้น ๆ มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้น หากคุณจัดการเพื่อค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง a = (x 1 ; y 1 ; z 1) และ b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) คุณจะพบมุมได้ แม่นยำยิ่งขึ้นโคไซน์ของมุมตามสูตร:

มาดูกันว่าสูตรนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. ในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 มีการทำเครื่องหมายจุด E และ F - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ค้นหามุมระหว่างเส้น AE และ BF

เนื่องจากไม่ได้ระบุขอบของลูกบาศก์ ให้เราตั้งค่า AB = 1 เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x, y, z ถูกกำหนดทิศทางไปตาม AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ ส่วนของหน่วยเท่ากับ AB = 1 ทีนี้ ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงของเรากัน

ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ AE กัน สำหรับสิ่งนี้เราต้องการคะแนน A = (0; 0; 0) และ E = (0.5; 0; 1) เนื่องจากจุด E อยู่ตรงกลางของส่วน A 1 B 1 พิกัดของมันจึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดสิ้นสุด โปรดทราบว่าจุดกำเนิดของเวกเตอร์ AE เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดของพิกัด ดังนั้น AE = (0.5; 0; 1)

ทีนี้ ลองดูเวกเตอร์ BF กัน ในทำนองเดียวกัน เราวิเคราะห์จุด B = (1; 0; 0) และ F = (1; 0.5; 1) เพราะ F อยู่ตรงกลางของส่วน B 1 C 1 เรามี:
BF = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1)

ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางพร้อมแล้ว โคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรงคือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นเราจึงได้:

งาน. ในปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ขอบทั้งหมดซึ่งเท่ากับ 1 มีเครื่องหมายจุด D และ E - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ค้นหามุมระหว่างเส้น AD และ BE

ขอแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A, แกน x มุ่งไปตาม AB, z - ตามแนว AA 1 ลองกำหนดทิศทางแกน y เพื่อให้ระนาบ OXY ตรงกับระนาบ ABC ส่วนของหน่วยเท่ากับ AB = 1 ให้เราค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่ต้องการ

อันดับแรก เรามาค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ AD กันก่อน พิจารณาประเด็น: A = (0; 0; 0) และ D = (0.5; 0; 1) เพราะ D - ตรงกลางของส่วน A 1 B 1 เนื่องจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ AD เกิดขึ้นพร้อมกับที่มาของพิกัด เราจึงได้ AD = (0.5; 0; 1)

ทีนี้ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ BE กัน จุด B = (1; 0; 0) คำนวณได้ง่าย ด้วยจุด E - ตรงกลางของส่วน C 1 B 1 - มันซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เรามี:

ยังคงต้องหาโคไซน์ของมุม:

งาน. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 มีเครื่องหมายจุด K และ L - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ . ค้นหามุมระหว่างเส้น AK และ BL

ให้เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐานสำหรับปริซึม: เราวางจุดกำเนิดของพิกัดไว้ที่กึ่งกลางของฐานด้านล่าง แกน x ถูกกำหนดทิศทางตาม FC แกน y กำหนดทิศทางผ่านจุดกึ่งกลางของส่วน AB และ DE และ z แกนถูกชี้ขึ้นในแนวตั้งขึ้น ส่วนของหน่วยจะเท่ากับ AB = 1 อีกครั้ง ลองเขียนพิกัดของจุดสนใจให้เราทราบ:

จุด K และ L เป็นจุดกึ่งกลางของกลุ่ม A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ดังนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จะพบได้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมื่อทราบจุดต่างๆ เราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AK และ BL:

ทีนี้ลองหาโคไซน์ของมุม:

งาน. ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ SABCD ขอบทั้งหมดเท่ากับ 1 มีเครื่องหมายจุด E และ F - จุดกึ่งกลางของด้าน SB และ SC ตามลำดับ ค้นหามุมระหว่างเส้น AE และ BF

ขอแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x และ y หันไปตาม AB และ AD ตามลำดับ และแกน z หันไปในแนวตั้งขึ้นด้านบน ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1

จุด E และ F เป็นจุดกึ่งกลางของกลุ่ม SB และ SC ตามลำดับ ดังนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จึงถือเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจุดสิ้นสุด มาเขียนพิกัดของจุดสนใจให้เราทราบ:
ก = (0; 0; 0); ข = (1; 0; 0)

เมื่อทราบจุดต่างๆ เราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AE และ BF:

พิกัดของเวกเตอร์ AE ตรงกับพิกัดของจุด E เนื่องจากจุด A คือจุดกำเนิด ยังคงต้องหาโคไซน์ของมุม:

ระนาบ ВСE (รูปที่) ถูกลากผ่านด้าน ВС ซึ่งตั้งฉากกับขอบ AS มุมไดฮีดรัลระหว่างใบหน้าด้านข้าง (ทุกด้านเท่ากัน) วัดโดยมุม BEC = φ - สามเหลี่ยม WEIGHT คือหน้าจั่ว

เพื่อกำหนดพื้นที่หน้าตัด S และมุม φ ก็เพียงพอที่จะหา DE (D คือจุดกึ่งกลางของ BC) ในการทำเช่นนี้ เราจะค้นหา BS ตามลำดับ (จากสามเหลี่ยม BSD โดยที่ BD = ก / 2 และ ∠BSD = α / 2 ).

จากนั้น BE (จากสามเหลี่ยม BSE โดยที่ ∠BSE = α ) และสุดท้าย DE=√BE 2 -BD 2 . เราได้รับ

หมายเหตุ 1 - ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอด S จะน้อยกว่า 360° เสมอ ดังนั้น 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1 นั่นคือสมการ มีทางออกเสมอ

หมายเหตุ 2 - ถ้า α >90° กล่าวคือ มุม ASB ที่จุดยอดของหน้าด้านข้างเป็นมุมป้าน จากนั้นความสูง BE ของสามเหลี่ยม ASB จะตัดส่วนต่อเนื่องของฐาน และระนาบ BEC จะไม่ให้ส่วนใดๆ ของพีระมิด ในขณะเดียวกันสูตร

และในมุมป้าน α (น้อยกว่า 120° ดูหมายเหตุ 1) จะให้ค่าที่แน่นอนเป็น S

คำตอบ: φ = 2 อาร์กบาป (1/2 วินาที α / 2 );

ตัวอย่างที่คล้ายกัน:

ที่ฐานของปิรามิดมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ ใบหน้าด้านข้างด้านหนึ่งมีรูปร่างเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วและตั้งฉากกับฐาน อีกด้านหนึ่งตรงข้ามกับหน้าแรกมีขอบข้างเท่ากัน ข ทำให้เกิดมุม 2 ระหว่างกัน α และเอียงไปที่ใบหน้าแรกเป็นมุม α - กำหนดปริมาตรของปิรามิดและมุมระหว่างสองหน้าที่ระบุ

งาน

สารละลาย.

ลองหามุมเอียงของกระดูกซี่โครงกับระนาบฐาน
เนื่องจากที่ฐานของปิรามิดปกติจะมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอยู่ แล้วจึงเข้ามา ในกรณีนี้นี่คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากความสูงของปิรามิดถูกฉายไปที่กึ่งกลางฐาน นี่คือจุดตัดของเส้นทแยงมุม KN = a/2 มาจากไหน?

สามเหลี่ยม OKN เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า OK มีความสูงเท่ากับ 3a
ให้เราค้นหาแทนเจนต์ของมุม KNO ซึ่งแสดงว่ามันเป็น α

Tg α = ตกลง / KN
ทีจี α = 3a / (a/2) = 6
α = อาร์คแทน 6 data 80.5377°

ลองหามุมเอียงของขอบปิรามิดกัน
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน a เท่ากับ a√2 เนื่องจากความสูงถูกฉายไปที่กึ่งกลางฐาน ตอนนี้เส้นทแยงมุมจึงถูกแบ่งครึ่ง

ดังนั้นเพื่อ สามเหลี่ยมมุมฉาก OKC แทนเจนต์ของมุม KCO (แสดงว่ามันเป็น β) เท่ากับ

Tg β = ตกลง / KC
ทีจี β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = อาร์คแทน 6/√2 data 76.7373°

คำตอบ: มุมเอียงของใบหน้า arctg 6 data 80.5377°; มุมเอียงของกระดูกซี่โครง ส่วนโค้ง 6/√2 data 76.7373°