รังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่งจะจำกัดส่วนหนึ่งของระนาบที่อยู่ระหว่างรังสีนั้น รูปร่างที่ก่อตัวขึ้นเรียกว่ามุม รังสีที่มีจุดยอดร่วม ณ จุดกำเนิดของรังสีเรียกว่าด้านของมุม จุดยอดของมุมอยู่ที่จุดกำเนิดของรังสี

มุม - ส่วนหนึ่งของระนาบถูกจำกัดด้วยรังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง

มุม เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีจุดยอด ด้านข้าง และมีหน่วยวัดองศาของมันเอง

ระนาบถูกแบ่งตามด้านข้างของมุมออกเป็นสองส่วน มุมที่เล็กกว่าเรียกว่าภายในยิ่งใหญ่ - ภายนอก เพื่อไม่ให้มี การตีความที่แตกต่างกันมุมใดที่เรากำลังพูดถึง ด้านข้างของรูปวาดเชื่อมต่อกันด้วยส่วนโค้ง (ดูภาพ)

การวัดเชิงมุมของมุม

• มุมที่เท่ากันสอดคล้องกับการวัดเชิงมุมที่เท่ากัน
• มุมที่เล็กกว่าสอดคล้องกับการวัดเชิงมุมที่เล็กกว่า
• มุมที่ด้านตรงกัน (มุมศูนย์) มีการวัดเชิงมุมเท่ากับศูนย์ (เช่นเดียวกับมุมระหว่างเส้นขนาน)
• ทุกมุมที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีการวัดเชิงมุมที่มากกว่าศูนย์
• (บวก) การวัดเชิงมุมของมุมเท่ากับผลรวมของการวัดเชิงมุมของมุมที่มันถูกหารด้วยรังสีใดๆ ที่ผ่านระหว่างด้านของมัน (ดูสัจพจน์ของการวัดมุม)

1 รอบ = 360 องศา = 2π เรเดียน = 400 องศา

พิจารณามุมที่มีด้านตรงกัน ( ∠ วีเอวี 1 - องศาของมันคือ 0°

ถ้าด้านใดด้านหนึ่งของมุม ( เอบี ) ยึดและด้านที่สอง ( เอบี 1 ) หมุนทวนเข็มนาฬิกาจนตรงกับด้านแรก (AB) จากนั้นระนาบของมุมดังกล่าวจะเป็น มุมเต็ม(รูปที่ 5) ดังนั้นมุม ก (แสดง ∠ ก ) เป็นมุมที่สมบูรณ์

การกำหนดมุม

มุมสามารถแสดงเป็นการรวมกันของเครื่องหมายของมุมและจุดยอดของมัน เป็นต้น ∠ ก - (รูปที่ 1)

มุมสามารถระบุได้โดยใช้ภาษาละติน ตัวพิมพ์ใหญ่- ตัวอย่างเช่น ∠เอบีซี- นี่คือมุมที่มีจุดยอด B ซึ่งด้านข้างเป็นรังสี BA และ BC (รูปที่ 2)

อาจมีการกำหนด เช่น ไอคอนมุมที่แสดงด้านข้างของมุม (เช่น ∠ เกี่ยวกับ - (รูปที่ 3)

มุมสามารถแสดงด้วยตัวอักษรกรีก α, β, γ และอื่น ๆ (รูปที่ 4) ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือตัวอักษร “π” ไม่ได้ใช้เพื่อแสดงมุม

การวัดองศาของมุม

หากคุณแยกมุมที่สมบูรณ์แล้วแบ่งออกเป็น 360 ส่วน (มุม) จากนั้นแต่ละส่วนที่ประกอบกันขึ้นมา 1/360 ส่วนหนึ่งของมุมเต็มเรียกว่ารัศมีมุม (แสดงด้วย 1°)

ดังนั้น มุมรวมคือ 1 ° *360=360°

ครึ่งมุมเต็มจะเป็นมุมตรง ซึ่งเท่ากับ 360°:2=180°

มุมกลางและมุมที่ถูกจารึกไว้

มุมที่ถูกจารึกไว้คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกัน (รูปที่ 1) ขนาดของมุมดังกล่าวเท่ากับครึ่งหนึ่งของการวัดเชิงมุมของส่วนโค้งของวงกลมซึ่งอยู่ระหว่างด้านข้าง

คุณสมบัติของมุมที่จารึกไว้ในวงกลม:

• มุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งรองรับส่วนโค้งเดียวกันของวงกลมนั้นมีค่าเท่ากัน
• ขนาดของมุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งต่อด้วยส่วนโค้งเดียวกันของวงกลมกับมุมที่ศูนย์กลางจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของขนาดของมุมที่ศูนย์กลางนั้น

มุมเป็นรูปทรงเรขาคณิตหลักซึ่งเราจะวิเคราะห์ตลอดทั้งหัวข้อ ความหมาย วิธีการกำหนด สัญกรณ์ และการวัดมุม มาดูหลักการเน้นมุมในภาพวาดกัน ทฤษฎีทั้งหมดมีภาพประกอบและมีภาพวาดจำนวนมาก

มุม– ตัวเลขสำคัญอย่างง่ายในเรขาคณิต มุมนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของรังสีโดยตรง ซึ่งจะประกอบด้วย แนวคิดพื้นฐานจุด เส้นตรง และระนาบ หากต้องการศึกษาอย่างละเอียด คุณจะต้องเจาะลึกหัวข้อต่างๆ เส้นตรงบนเครื่องบิน - ข้อมูลที่จำเป็นและ เครื่องบิน - ข้อมูลที่จำเป็น.

แนวคิดเรื่องมุมเริ่มต้นด้วยแนวคิดเรื่องจุด ระนาบ และเส้นตรงที่ปรากฎบนระนาบนี้

คำจำกัดความ 2

ให้เส้นตรง a บนเครื่องบิน ให้เราแสดงจุด O บนจุดนั้น เส้นตรงแบ่งจุดออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนมีชื่อ คานและจุด O – จุดเริ่มต้นของลำแสง.

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือลำแสงหรือ ครึ่งตรง –เป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่ประกอบด้วยจุดของเส้นที่กำหนดซึ่งอยู่ด้านเดียวกันสัมพันธ์กับจุดเริ่มต้นนั่นคือจุด O

การกำหนดลำแสงสามารถทำได้สองรูปแบบ: ตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัวหรือตัวพิมพ์ใหญ่สองตัวของตัวอักษรละติน เมื่อกำหนดด้วยตัวอักษรสองตัว ลำแสงจะมีชื่อที่ประกอบด้วยตัวอักษรสองตัว มาดูภาพวาดกันดีกว่า

เรามาดูแนวคิดในการกำหนดมุมกัน

คำจำกัดความ 3

มุมคือรูปร่างที่อยู่ในระนาบที่กำหนด ซึ่งเกิดจากรังสีที่แตกต่างกัน 2 ดวงซึ่งมีต้นกำเนิดร่วมกัน ด้านมุมคือรังสี จุดยอด– ต้นกำเนิดทั่วไปของด้านข้าง

มีกรณีที่ด้านของมุมสามารถทำหน้าที่เป็นเส้นตรงได้

คำจำกัดความที่ 4

เมื่อด้านทั้งสองของมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน หรือด้านข้างทำหน้าที่เป็นครึ่งเส้นเพิ่มเติมจากเส้นตรงเส้นเดียว มุมดังกล่าวจะเรียกว่ามุมนั้น ขยาย.

ภาพด้านล่างแสดงมุมที่หมุน

จุดบนเส้นตรงคือจุดยอดของมุม ส่วนใหญ่มักถูกกำหนดโดยจุด O

มุมในทางคณิตศาสตร์แสดงด้วยเครื่องหมาย “∠” เมื่อด้านข้างของมุมถูกกำหนดด้วยภาษาละตินตัวเล็ก ๆ แล้วสำหรับ คำจำกัดความที่ถูกต้องมุมตัวอักษรเขียนเรียงกันเป็นแถวตามด้านข้าง ถ้ากำหนดให้ทั้งสองด้านเป็น k และ h มุมก็จะถูกกำหนดเป็น ∠ k h หรือ ∠ h k

เมื่อหมายกำหนดมาถึง เป็นตัวพิมพ์ใหญ่จากนั้นด้านข้างของมุมจะเรียกว่า O A และ O B ตามลำดับ ในกรณีนี้มุมมีชื่อที่ประกอบด้วยตัวอักษรละตินสามตัวซึ่งเขียนเรียงกันเป็นแถวตรงกลางด้วยจุดยอด - ∠ A O B และ ∠ B O A มีการกำหนดเป็นตัวเลขเมื่อมุมไม่มีชื่อหรือตัวอักษร ด้านล่างเป็นภาพที่ ในรูปแบบที่แตกต่างกันมีการระบุมุม

มุมแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน หากไม่หมุนมุม จะเรียกส่วนหนึ่งของระนาบ พื้นที่มุมด้านในอีกคน - พื้นที่มุมด้านนอก- ด้านล่างนี้เป็นภาพที่อธิบายว่าส่วนใดของเครื่องบินเป็นภายนอกและส่วนใดเป็นภายใน

เมื่อหารด้วยมุมที่พัฒนาแล้วบนเครื่องบิน ส่วนใดๆ ของมันจะถือเป็นพื้นที่ภายในของมุมที่พัฒนาแล้ว

พื้นที่ด้านในของมุมเป็นองค์ประกอบที่ทำหน้าที่กำหนดนิยามที่สองของมุม

คำจำกัดความที่ 5

มุมเรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยรังสีลู่ออกสองเส้นซึ่งมีจุดกำเนิดร่วมกันและพื้นที่มุมภายในที่สอดคล้องกัน

คำจำกัดความนี้เข้มงวดกว่าคำจำกัดความก่อนหน้า เนื่องจากมีเงื่อนไขมากกว่า ไม่แนะนำให้พิจารณาคำจำกัดความทั้งสองแยกกัน เนื่องจากมุมเป็นรูปเรขาคณิตที่ถูกแปลงโดยใช้รังสีสองอันที่เล็ดลอดออกมาจากจุดเดียว เมื่อจำเป็นต้องดำเนินการด้วยมุม คำจำกัดความหมายถึงการมีอยู่ของรังสีสองเส้นที่มีจุดเริ่มต้นและพื้นที่ภายในร่วมกัน

ทั้งสองมุมเรียกว่า ที่อยู่ติดกันถ้ามีด้านร่วมและอีกสองด้านเป็นครึ่งเส้นเพิ่มเติมหรือสร้างมุมตรง

รูปนี้แสดงให้เห็นว่ามุมที่อยู่ติดกันประกอบกัน เนื่องจากเป็นมุมที่ต่อเนื่องกัน

คำนิยาม 7

ทั้งสองมุมเรียกว่า แนวตั้งถ้าด้านของด้านหนึ่งเป็นเส้นครึ่งเส้นประกบกันของอีกด้าน หรือเป็นด้านต่อเนื่องของอีกด้านหนึ่ง ภาพด้านล่างแสดงภาพมุมแนวตั้ง

เมื่อเส้นตรงตัดกัน จะได้มุมที่อยู่ติดกัน 4 คู่และมุมแนวตั้ง 2 คู่ ด้านล่างนี้แสดงในภาพ

บทความนี้แสดงคำจำกัดความของมุมที่เท่ากันและไม่เท่ากัน มาดูกันว่ามุมใดที่ถือว่าใหญ่กว่า มุมที่เล็กกว่า และคุณสมบัติอื่นๆ ของมุม ตัวเลขสองตัวจะถือว่าเท่ากันหากเมื่อซ้อนทับกันโดยสมบูรณ์ คุณสมบัติเดียวกันนี้ใช้กับการเปรียบเทียบมุม

ให้สองมุม จำเป็นต้องสรุปว่ามุมเหล่านี้เท่ากันหรือไม่

เป็นที่ทราบกันว่าจุดยอดของมุมสองมุมมีการทับซ้อนกันและด้านข้างของมุมแรกกับด้านอื่นๆ ของมุมที่สอง นั่นคือ ถ้ามีเหตุบังเอิญโดยสมบูรณ์เมื่อมุมต่างๆ ซ้อนทับกัน ด้านข้างของมุมที่กำหนดจะเรียงกันอย่างสมบูรณ์ มุมต่างๆ เท่ากัน.

อาจเป็นไปได้ว่าเมื่อซ้อนทับด้านข้างอาจไม่ชิดกันก็อาจเกิดมุมได้ ไม่เท่ากันเล็กกว่าซึ่งประกอบด้วยอีกอันหนึ่งและ มากกว่ามีมุมที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง ด้านล่างนี้เป็นมุมที่ไม่เท่ากันซึ่งไม่อยู่ในแนวเดียวกันเมื่อซ้อนทับ

มุมตรงมีค่าเท่ากัน

การวัดมุมเริ่มต้นด้วยการวัดด้านข้างของมุมที่จะวัดและพื้นที่ภายใน จากนั้นเติมด้วยมุมหนึ่งหน่วยแล้วนำมาต่อกัน จำเป็นต้องนับจำนวนมุมที่วางโดยกำหนดการวัดมุมที่วัดไว้ล่วงหน้า

หน่วยมุมสามารถแสดงด้วยมุมที่วัดได้ มีหน่วยวัดที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปที่ใช้ในทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี พวกเขาเชี่ยวชาญในเรื่องอื่น ๆ

แนวคิดที่ใช้บ่อยที่สุด ระดับ.

คำจำกัดความ 8

ระดับหนึ่งเรียกว่ามุมที่มีมุมตรงหนึ่งร้อยแปดสิบส่วน

การกำหนดมาตรฐานขององศาคือ “°” จากนั้น 1 องศาคือ 1° ดังนั้น มุมตรงประกอบด้วย 180 มุมดังกล่าวซึ่งมีขนาด 1 องศา มุมที่มีอยู่ทั้งหมดจะถูกวางชิดกันอย่างแน่นหนาและด้านข้างของมุมก่อนหน้าจะอยู่ในแนวเดียวกันกับมุมถัดไป

เป็นที่รู้กันว่าจำนวนองศาในมุมหนึ่งเป็นการวัดมุมนั่นเอง มุมที่กางออกจะมีมุมซ้อนกัน 180 มุมในองค์ประกอบ รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างการวางมุม 30 ครั้ง นั่นคือ หนึ่งในหกของมุมที่กางออก และ 90 ครั้ง นั่นคือครึ่งหนึ่ง

นาทีและวินาทีใช้ในการวัดมุมอย่างแม่นยำ จะใช้เมื่อค่ามุมไม่ใช่การกำหนดระดับทั้งหมด เศษส่วนของปริญญาเหล่านี้ช่วยให้คำนวณได้แม่นยำยิ่งขึ้น

คำนิยาม 9

ในหนึ่งนาทีเรียกว่าหนึ่งในหกสิบของปริญญา

คำนิยาม 10

ในไม่กี่วินาทีเรียกว่าหนึ่งในหกสิบของนาที

องศาประกอบด้วย 3,600 วินาที นาทีถูกกำหนดเป็น """ และวินาทีคือ """

1 ° = 60 " = 3600 "" , 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,

และการกำหนดมุม 17 องศา 3 นาที 59 วินาทีคือ 17 ° 3 "59""

คำนิยาม 11

ให้เรายกตัวอย่างการกำหนดระดับการวัดมุมเท่ากับ 17 ° 3 "59 "" รายการมีรูปแบบอื่น: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600

หากต้องการวัดมุมอย่างแม่นยำ ให้ใช้อุปกรณ์วัด เช่น ไม้โปรแทรกเตอร์ เมื่อแสดงมุม ∠ A O B และองศาที่วัดได้ 110 องศา จะใช้สัญลักษณ์ที่สะดวกกว่า ∠ A O B = 110 ° ซึ่งอ่านว่า "มุม A O B เท่ากับ 110 องศา"

ในเรขาคณิต จะใช้การวัดมุมจากช่วงเวลา (0, 180] และในตรีโกณมิติ เรียกว่าการวัดระดับตามอำเภอใจ มุมการหมุนค่าของมุมจะแสดงเป็นจำนวนจริงเสมอ มุมขวา- นี่คือมุมที่มี 90 องศา. มุมแหลม– มุมที่น้อยกว่า 90 องศา และ ทื่อ- มากกว่า.

มุมแหลมวัดในช่วงเวลา (0, 90) และมุมป้าน - (90, 180) มุมสามประเภทแสดงไว้อย่างชัดเจนด้านล่าง

การวัดระดับของมุมใดๆ ก็ตามจะมีค่าเท่ากัน มุมที่ใหญ่กว่าจะมีหน่วยวัดองศาที่ใหญ่กว่ามุมที่เล็กกว่าตามลำดับ การวัดระดับของมุมหนึ่งคือผลรวมของการวัดระดับของมุมภายในที่มีอยู่ทั้งหมด ด้านล่างเป็นภาพแสดงมุม AOB ซึ่งประกอบด้วยมุม AOC, COD และ DOB โดยรายละเอียดจะเป็นดังนี้: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่า ผลรวมทุกคน มุมที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากับ 180 องศาเพราะพวกมันทั้งหมดประกอบกันเป็นมุมตรง

เป็นไปตามนั้นแต่อย่างใด มุมแนวตั้งจะเท่ากัน- หากเราพิจารณาสิ่งนี้เป็นตัวอย่าง เราพบว่ามุม A O B และ C O D เป็นแนวตั้ง (ในภาพวาด) จากนั้นคู่ของมุม A O B และ B O C, C O D และ B O C ถือว่าอยู่ติดกัน ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° พร้อมด้วย ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° ถือว่าเป็นจริงโดยเฉพาะ ดังนั้นเราจึงได้ ∠ A O B = ∠ C O D . ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างรูปภาพและการกำหนดจุดจับแนวตั้ง

นอกจากองศา นาที และวินาทีแล้ว ยังใช้หน่วยวัดอื่นอีกด้วย มันถูกเรียกว่า เรเดียน- ส่วนใหญ่มักพบได้ในตรีโกณมิติเมื่อแสดงถึงมุมของรูปหลายเหลี่ยม เรเดียนเรียกว่าอะไร?

คำนิยาม 12

มุมหนึ่งเรเดียนเรียกว่ามุมที่จุดศูนย์กลางซึ่งมีรัศมีของวงกลมเท่ากับความยาวของส่วนโค้ง

ในรูป เรเดียนจะแสดงเป็นวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางระบุด้วยจุด โดยมีจุดสองจุดบนวงกลมเชื่อมต่อกันและแปลงเป็นรัศมี O A และ O B ตามคำนิยาม สามเหลี่ยม A O B นี้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งหมายถึง ความยาวของส่วนโค้ง A B เท่ากับความยาวของรัศมี O B และ O A

การกำหนดมุมให้เป็น "rad" นั่นคือ การเขียน 5 เรเดียน ย่อว่า 5 rad บางครั้งคุณจะพบสัญลักษณ์ที่เรียกว่าพาย เรเดียนไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของวงกลมที่กำหนด เนื่องจากตัวเลขมีข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับมุมและส่วนโค้ง โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของมุมที่กำหนด ถือว่าคล้ายกัน

เรเดียนมีความหมายเหมือนกับองศา ต่างกันแค่ขนาดเท่านั้น เพื่อระบุสิ่งนี้จำเป็นต้องแบ่งความยาวส่วนโค้งที่คำนวณได้ของมุมกลางด้วยความยาวของรัศมี

ในทางปฏิบัติพวกเขาใช้ การแปลงองศาเป็นเรเดียน และเรเดียนเป็นองศาเพื่อการแก้ไขปัญหาที่สะดวกยิ่งขึ้น บทความนี้ประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยวัดองศากับเรเดียน ซึ่งคุณสามารถศึกษารายละเอียดการแปลงจากองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกันได้

ภาพวาดใช้ในการพรรณนาส่วนโค้งและมุมด้วยสายตาและสะดวก ไม่สามารถบรรยายและทำเครื่องหมายมุม ส่วนโค้ง หรือชื่อนี้หรือมุมนั้นได้อย่างถูกต้องเสมอไป มุมเท่ากันถูกกำหนดให้เป็นจำนวนส่วนโค้งเท่ากัน และส่วนโค้งที่ไม่เท่ากันถือว่าต่างกัน ภาพวาดแสดงการกำหนดมุมแหลม มุมเท่ากัน และไม่เท่ากันให้ถูกต้อง

เมื่อต้องทำเครื่องหมายมากกว่า 3 มุม จะใช้สัญลักษณ์ส่วนโค้งพิเศษ เช่น หยักหรือหยัก มันไม่ได้มีมากขนาดนั้น สำคัญ- ด้านล่างเป็นภาพแสดงการกำหนด

สัญลักษณ์มุมควรเรียบง่ายเพื่อไม่ให้รบกวนความหมายอื่น เมื่อแก้ไขปัญหาขอแนะนำให้เน้นเฉพาะมุมที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาเพื่อไม่ให้เกะกะทั้งภาพวาด สิ่งนี้จะไม่รบกวนการแก้ปัญหาและการพิสูจน์และยังจะทำให้ภาพวาดมีความสวยงามอีกด้วย

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์รูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานอย่างหนึ่งอย่างครอบคลุม นั่นก็คือมุม เริ่มจากแนวคิดและคำจำกัดความเสริมที่จะนำเราไปสู่คำจำกัดความของมุม หลังจากนี้ เราจะนำเสนอวิธีการกำหนดมุมที่ได้รับการยอมรับ ต่อไปเราจะมาดูรายละเอียดเกี่ยวกับกระบวนการวัดมุมกัน โดยสรุป เราจะแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถทำเครื่องหมายมุมในภาพวาดได้อย่างไร เราจัดเตรียมทฤษฎีทั้งหมดด้วยภาพวาดและภาพประกอบกราฟิกที่จำเป็นเพื่อการจดจำเนื้อหาที่ดีขึ้น

การนำทางหน้า

ความหมายของมุม

มุมเป็นหนึ่งในตัวเลขที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิต คำจำกัดความของมุมถูกกำหนดโดยนิยามของรังสี ในทางกลับกัน ไม่สามารถรับความคิดเกี่ยวกับรังสีได้หากปราศจากความรู้เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตเช่นจุด เส้นตรง และระนาบ ดังนั้น ก่อนที่จะทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของมุม เราขอแนะนำให้ทบทวนทฤษฎีจากส่วนต่างๆ และ

ดังนั้น เราจะเริ่มจากแนวคิดเรื่องจุด เส้นบนระนาบ และระนาบ

ก่อนอื่นให้เราให้คำจำกัดความของรังสีก่อน

ให้เราได้รับเส้นตรงบนเครื่องบิน ให้เราเขียนแทนด้วยตัวอักษร a ให้ O เป็นจุดใดจุดหนึ่งของเส้น a จุด O แบ่งเส้น a ออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนเหล่านี้พร้อมกับจุด O เรียกว่า คานและเรียกจุด O จุดเริ่มต้นของรังสี- คุณยังสามารถได้ยินว่าลำแสงนั้นเรียกว่าอะไร กึ่งทางตรง.

เพื่อความกระชับและสะดวกสบายจึงมีการนำสัญลักษณ์สำหรับรังสีต่อไปนี้มาใช้: รังสีจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็ก (เช่น ray p หรือ ray k) หรือด้วยอักษรละตินขนาดใหญ่สองตัว โดยอักษรตัวแรกตรงกับจุดเริ่มต้นของ รังสี และจุดที่สองหมายถึงจุดใดจุดหนึ่งของรังสีนี้ (เช่น รังสี OA หรือรังสีซีดี) ให้เราแสดงภาพและการกำหนดรังสีในภาพวาด

ตอนนี้เราสามารถให้คำจำกัดความแรกของมุมได้

คำนิยาม.

มุมเป็นรูปทรงเรขาคณิตแบน (นั่นคือ นอนอยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง) ซึ่งประกอบด้วยรังสีที่แตกต่างกันสองเส้นซึ่งมีต้นกำเนิดร่วมกัน แต่ละรังสีเรียกว่า ด้านข้างของมุมเรียกว่าจุดกำเนิดร่วมของด้านของมุม จุดยอดของมุม.

เป็นไปได้ว่าด้านข้างของมุมจะเป็นเส้นตรง มุมนี้มีชื่อของตัวเอง

คำนิยาม.

ถ้าทั้งสองด้านของมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุมนั้นจะถูกเรียกว่า ขยาย.

เรานำเสนอภาพประกอบกราฟิกของมุมที่หมุนให้กับคุณ

หากต้องการระบุมุม ให้ใช้ไอคอนมุม "" หากด้านข้างของมุมถูกกำหนดด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก (เช่นด้านหนึ่งของมุมคือ k และอีกด้านคือ h) ดังนั้นเพื่อกำหนดมุมนี้ หลังจากไอคอนมุม ตัวอักษรที่ตรงกับด้านข้างจะถูกเขียนด้วย แถวและลำดับการเขียนไม่สำคัญ (นั่นคือหรือ) หากด้านข้างของมุมถูกกำหนดด้วยตัวอักษรละตินขนาดใหญ่สองตัว (เช่น ด้านหนึ่งของมุมคือ OA และด้านที่สองของมุมคือ OB) มุมจะถูกกำหนดดังนี้: หลังจากไอคอนมุม สาม มีการเขียนตัวอักษรที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดด้านข้างของมุมและตัวอักษรที่ตรงกับจุดยอดของมุมนั้นจะอยู่ตรงกลาง (ในกรณีของเรามุมจะถูกกำหนดให้เป็น หรือ ) หากจุดยอดของมุมไม่ใช่จุดยอดของมุมอื่น มุมดังกล่าวสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรที่สอดคล้องกับจุดยอดของมุมนั้น (เช่น ) บางครั้งคุณจะเห็นว่ามุมต่างๆ ในภาพวาดมีเครื่องหมายกำกับไว้ด้วยตัวเลข (1, 2 ฯลฯ) มุมเหล่านี้ถูกกำหนดเป็นและอื่นๆ เพื่อความชัดเจน เราขอนำเสนอภาพวาดซึ่งมีการแสดงและระบุมุมต่างๆ

มุมใดก็ตามจะแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน ยิ่งกว่านั้นหากไม่หมุนมุมก็จะเรียกส่วนหนึ่งของระนาบ พื้นที่มุมด้านในและอีกอัน - พื้นที่มุมด้านนอก- รูปภาพต่อไปนี้จะอธิบายว่าส่วนใดของเครื่องบินที่สอดคล้องกับพื้นที่ภายในของมุมและส่วนใดของเครื่องบินที่อยู่ภายนอก

ส่วนใดๆ ในสองส่วนที่มีมุมที่กางออกแบ่งระนาบนั้น ถือได้ว่าเป็นพื้นที่ภายในของมุมที่กางออก

การกำหนดขอบเขตภายในของมุมทำให้เราเข้าใจคำจำกัดความที่สองของมุม

คำนิยาม.

มุมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยรังสีที่แตกต่างกันสองรังสีซึ่งมีจุดกำเนิดร่วมกันและพื้นที่ภายในของมุมที่สอดคล้องกัน

ควรสังเกตว่าคำจำกัดความที่สองของมุมนั้นเข้มงวดกว่าคำจำกัดความแรกเนื่องจากมีเงื่อนไขมากกว่า อย่างไรก็ตาม ไม่ควรละทิ้งคำจำกัดความแรกของมุม และไม่ควรพิจารณาคำจำกัดความที่หนึ่งและที่สองของมุมแยกกัน มาชี้แจงประเด็นนี้กัน เมื่อเราพูดถึงมุมที่เป็นรูปทรงเรขาคณิต มุมนั้นก็เข้าใจว่าเป็นรูปที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้นที่มีต้นกำเนิดร่วมกัน หากจำเป็นต้องดำเนินการใดๆ กับมุมนี้ (เช่น การวัดมุม) ควรเข้าใจมุมนั้นว่าเป็นรังสีสองเส้นที่มีจุดเริ่มต้นและพื้นที่ภายในร่วมกัน (ไม่เช่นนั้นจะเกิดสถานการณ์ซ้ำซ้อนเนื่องจาก การปรากฏตัวของพื้นที่ทั้งภายในและภายนอกของมุม )

ให้เราให้คำจำกัดความของมุมประชิดและมุมแนวตั้งด้วย

คำนิยาม.

มุมที่อยู่ติดกัน- นี่คือมุมสองมุมที่ด้านหนึ่งเป็นมุมร่วม และอีกสองมุมเป็นมุมที่กางออก

จากคำจำกัดความจะเป็นไปตามว่ามุมที่อยู่ติดกันประกอบกันจนกระทั่งมุมถูกหมุน

คำนิยาม.

มุมแนวตั้ง- นี่คือมุมสองมุมที่ด้านของมุมหนึ่งต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

รูปนี้แสดงมุมแนวตั้ง

แน่นอนว่า เส้นตัดกันสองเส้นประกอบเป็นมุมที่อยู่ติดกันสี่คู่และมุมแนวตั้งสองคู่

การเปรียบเทียบมุม

ในย่อหน้านี้ของบทความนี้ เราจะเข้าใจคำจำกัดความของมุมที่เท่ากันและไม่เท่ากัน และในกรณีของมุมที่ไม่เท่ากัน เราจะอธิบายว่ามุมใดถือว่าใหญ่กว่าและมุมใดเล็กกว่า

โปรดจำไว้ว่ารูปทรงเรขาคณิตสองรูปเรียกว่าเท่ากันหากสามารถนำมารวมกันได้โดยการทับซ้อนกัน

ให้เราได้รับสองมุม ขอให้เราให้เหตุผลที่ช่วยให้เราได้คำตอบสำหรับคำถาม: “มุมทั้งสองนี้เท่ากันหรือไม่”

แน่นอนว่าเราสามารถจับคู่จุดยอดของมุมทั้งสองได้เสมอ เช่นเดียวกับด้านหนึ่งของมุมแรกกับด้านใดด้านหนึ่งของมุมที่สอง ลองจัดด้านของมุมแรกให้ตรงกับด้านนั้นของมุมที่สอง เพื่อให้ด้านที่เหลือของมุมอยู่ด้านเดียวกับเส้นตรงที่ด้านที่รวมกันของมุมนั้นอยู่ จากนั้นถ้าอีกสองด้านของมุมตรงกัน มุมนั้นจะถูกเรียก เท่ากัน.

ถ้าอีกสองมุมของมุมไม่ตรงกัน มุมนั้นจะถูกเรียก ไม่เท่ากัน, และ เล็กกว่ามุมที่เป็นส่วนหนึ่งของมุมอื่นถือว่า ( ใหญ่คือมุมที่มีอีกมุมหนึ่งอยู่ครบ)

แน่นอนว่ามุมตรงทั้งสองมุมเท่ากัน เห็นได้ชัดว่ามุมที่พัฒนาแล้วนั้นมากกว่ามุมที่ไม่พัฒนาใดๆ

การวัดมุม

การวัดมุมขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบมุมที่วัดกับมุมที่ใช้เป็นหน่วยวัด กระบวนการวัดมุมมีลักษณะดังนี้: เริ่มต้นจากด้านใดด้านหนึ่งของมุมที่จะวัด พื้นที่ภายในจะเต็มไปด้วยมุมเดี่ยวตามลำดับ โดยวางไว้ติดกันอย่างแน่นหนา ในเวลาเดียวกันจะจำจำนวนมุมที่วางซึ่งให้การวัดมุมที่วัดได้

ที่จริงแล้ว มุมใดๆ ก็สามารถนำมาใช้เป็นหน่วยวัดมุมได้ อย่างไรก็ตาม มีหน่วยวัดที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปหลายหน่วยสำหรับมุมที่เกี่ยวข้องกับ พื้นที่ต่างๆวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีได้รับชื่อพิเศษ

หนึ่งในหน่วยวัดมุมก็คือ ระดับ.

คำนิยาม.

ระดับหนึ่ง- นี่คือมุมเท่ากับหนึ่งร้อยแปดสิบของมุมเลี้ยว

องศาจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ "" ดังนั้น องศาหนึ่งจึงแสดงเป็น

ดังนั้น ในมุมที่หมุนแล้ว เราสามารถใส่มุม 180 มุมให้เท่ากับ 1 องศาได้ จะมีลักษณะเป็นพายครึ่งวงกลมตัดเป็น 180 ชิ้นเท่าๆ กัน สำคัญมาก: “ชิ้นส่วนของพาย” พอดีกันแน่น (นั่นคือ ด้านข้างของมุมอยู่ในแนวเดียวกัน) โดยด้านข้างของมุมแรกชิดกับด้านหนึ่งของมุมที่กางออก และด้านข้างของมุมหน่วยสุดท้าย เกิดขึ้นพร้อมกับอีกด้านของมุมที่กางออก

เมื่อวัดมุม ให้ค้นหาว่ามีการวางองศา (หรือหน่วยวัดมุมอื่นๆ) ไว้ในมุมที่วัดกี่ครั้งจนกระทั่งครอบคลุมพื้นที่ด้านในของมุมที่วัดจนหมด ดังที่เราได้เห็นแล้วว่า ในมุมที่หมุนแล้ว องศาจะเท่ากับ 180 เท่าพอดี ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของมุมที่มุมหนึ่งองศาพอดี 30 เท่าพอดี (มุมดังกล่าวเป็นมุมที่หกของมุมที่กางออก) และ 90 เท่าพอดี (ครึ่งหนึ่งของมุมที่กางออก)

ในการวัดมุมที่น้อยกว่าหนึ่งองศา (หรือหน่วยวัดมุมอื่น ๆ ) และในกรณีที่ไม่สามารถวัดมุมด้วยจำนวนองศาทั้งหมดได้ (นำหน่วยวัดมาใช้) จำเป็นต้องใช้ส่วนขององศา (ส่วนของ ใช้หน่วยวัด) บางส่วนของปริญญามีชื่อพิเศษ ที่พบบ่อยที่สุดคือสิ่งที่เรียกว่านาทีและวินาที

คำนิยาม.

นาทีคือหนึ่งในหกสิบของปริญญา

คำนิยาม.

ที่สองคือหนึ่งในหกสิบของนาที

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีหกสิบวินาทีในหนึ่งนาที และหกสิบนาทีในหนึ่งองศา (3,600 วินาที) สัญลักษณ์ “” ใช้เพื่อแสดงถึงนาที และใช้สัญลักษณ์ “” เพื่อแสดงถึงวินาที (อย่าสับสนกับอนุพันธ์และเครื่องหมายอนุพันธ์อันดับสอง) จากนั้น ด้วยคำจำกัดความและสัญลักษณ์ที่แนะนำ เรามี และมุมที่พอดี 17 องศา 3 นาที 59 วินาที สามารถแสดงเป็น

คำนิยาม.

การวัดองศาของมุมคือจำนวนบวกที่แสดงจำนวนครั้งขององศาและส่วนต่างๆ ขององศานั้นพอดีในมุมที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น การวัดระดับของมุมที่พัฒนาแล้วคือหนึ่งร้อยแปดสิบ และการวัดระดับของมุมจะเท่ากับ .

มีสิ่งพิเศษสำหรับการวัดมุม เครื่องมือวัดที่มีชื่อเสียงที่สุดคือไม้โปรแทรกเตอร์

หากทราบทั้งการกำหนดมุม (เช่น ) และการวัดระดับ (ให้ 110) ให้ใช้รูปแบบสั้นๆ และพวกเขาพูดว่า: "มุม AOB เท่ากับหนึ่งร้อยสิบองศา"

จากคำจำกัดความของมุมและการวัดระดับของมุม ตามมาด้วยว่าในเรขาคณิต การวัดมุมเป็นองศาจะแสดงด้วยจำนวนจริงจากช่วง (0, 180] (ในวิชาตรีโกณมิติ มุมที่มีระดับใดก็ได้ ถือว่าวัดเรียกว่า) มุมเก้าสิบองศามีชื่อพิเศษเรียกว่า มุมขวา- เรียกว่ามุมที่น้อยกว่า 90 องศา มุมแหลม- เรียกว่ามุมที่มากกว่าเก้าสิบองศา มุมป้าน- ดังนั้น การวัดมุมแหลมในหน่วยองศาจะแสดงเป็นตัวเลขจากช่วง (0, 90) การวัดมุมป้านจะแสดงเป็นตัวเลขจากช่วง (90, 180) ซึ่งมุมขวาจะเท่ากับ เก้าสิบองศา ต่อไปนี้เป็นภาพประกอบของมุมแหลม มุมป้าน และ มุมขวา.

จากหลักการวัดมุม จะเป็นไปตามว่า การวัดระดับของมุมที่เท่ากันจะเท่ากัน การวัดระดับของมุมที่ใหญ่กว่าจะมากกว่าการวัดระดับของมุมที่เล็กกว่า และการวัดระดับของมุมที่ประกอบขึ้นด้วยหลาย ๆ มุมเท่ากับผลรวมของการวัดระดับของมุมส่วนประกอบ รูปด้านล่างแสดงมุม AOB ซึ่งประกอบขึ้นด้วยมุม AOC, COD และ DOB ในกรณีนี้

ดังนั้น, ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือหนึ่งร้อยแปดสิบองศาเนื่องจากพวกมันสร้างมุมตรง

จากข้อความนี้เป็นไปตามนั้น แท้จริงแล้ว ถ้ามุม AOB และ COD เป็นแนวตั้ง มุม AOB และ BOC จะอยู่ประชิดกัน และมุม COD และ BOC ก็อยู่ติดกันด้วย ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน และใช้ได้ ซึ่งแสดงถึงความเท่าเทียมกัน

นอกจากระดับแล้ว ยังเรียกหน่วยวัดที่สะดวกสำหรับมุมอีกด้วย เรเดียน- การวัดเรเดียนใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาตรีโกณมิติ มานิยามเรเดียนกันดีกว่า.

คำนิยาม.

มุมหนึ่งเรเดียน- นี้ มุมกลางซึ่งสอดคล้องกับความยาวของส่วนโค้ง เท่ากับความยาวรัศมีของวงกลมที่สอดคล้องกัน

ลองให้ภาพกราฟิกของมุมหนึ่งเรเดียนดู ในรูปวาด ความยาวของรัศมี OA (เช่นเดียวกับรัศมี OB) เท่ากับความยาวของส่วนโค้ง AB ดังนั้น ตามนิยามแล้ว มุม AOB จะเท่ากับหนึ่งเรเดียน

อักษรย่อ “rad” ใช้แทนเรเดียน ตัวอย่างเช่น รายการ 5 rad หมายถึง 5 เรเดียน อย่างไรก็ตาม ในการเขียนคำว่า "rad" มักถูกมองข้ามไป ตัวอย่างเช่น เมื่อเขียนว่ามุมเท่ากับพาย ก็หมายถึงพายราด

เป็นที่น่าสังเกตว่าขนาดของมุมที่แสดงเป็นเรเดียนนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของรัศมีของวงกลม นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยมุมที่กำหนดและส่วนโค้งของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของมุมที่กำหนดนั้นมีความคล้ายคลึงกัน

การวัดมุมเป็นเรเดียนสามารถทำได้ในลักษณะเดียวกับการวัดมุมเป็นองศา: ค้นหาว่ามุมของหนึ่งเรเดียน (และส่วนของมัน) พอดีกับมุมที่กำหนดกี่ครั้ง หรือคุณสามารถคำนวณความยาวส่วนโค้งของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน แล้วหารด้วยความยาวของรัศมี

เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ จะมีประโยชน์ที่จะรู้ว่าการวัดระดับและเรเดียนเกี่ยวข้องกันอย่างไร เนื่องจากต้องทำหลายอย่างมาก บทความนี้สร้างความเชื่อมโยงระหว่างการวัดมุมแบบองศาและเรเดียน และยกตัวอย่างการแปลงองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน

การกำหนดมุมในภาพวาด

ในภาพวาดเพื่อความสะดวกและชัดเจนสามารถทำเครื่องหมายมุมด้วยส่วนโค้งซึ่งมักจะวาดที่บริเวณด้านในของมุมจากด้านหนึ่งของมุมไปอีกด้านหนึ่ง มุมที่เท่ากันจะถูกทำเครื่องหมายด้วยจำนวนส่วนโค้งเท่ากัน มุมที่ไม่เท่ากัน - จำนวนเงินที่แตกต่างกันส่วนโค้ง มุมขวาในภาพวาดจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ของรูปแบบ "" ซึ่งปรากฎในพื้นที่ด้านในของมุมขวาจากด้านหนึ่งของมุมไปอีกด้านหนึ่ง

หากคุณต้องทำเครื่องหมายมุมที่แตกต่างกันจำนวนมากในภาพวาด (โดยปกติจะมากกว่าสาม) จากนั้นเมื่อทำเครื่องหมายมุมนอกเหนือจากส่วนโค้งธรรมดาจะอนุญาตให้ใช้ส่วนโค้งประเภทพิเศษบางประเภทได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถพรรณนาส่วนโค้งหยักหรือสิ่งที่คล้ายกันได้

ควรสังเกตว่าคุณไม่ควรละเลยการกำหนดมุมในภาพวาดและอย่าทำให้ภาพวาดเกะกะ เราแนะนำให้ทำเครื่องหมายเฉพาะมุมที่จำเป็นในกระบวนการแก้ปัญหาหรือพิสูจน์อักษร

อ้างอิง.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. เรขาคณิต. เกรด 7 – 9: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. เรขาคณิต. หนังสือเรียนสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 10-11
• Pogorelov A.V. เรขาคณิต หนังสือเรียนสำหรับเกรด 7-11 ในสถาบันการศึกษาทั่วไป