โมดูลัสของตัวเลขหาได้ง่าย และทฤษฎีเบื้องหลังก็มีความสำคัญในการแก้ปัญหา

คุณสมบัติและกฎการเปิดเผยข้อมูลที่ใช้ในการแก้แบบฝึกหัดและการสอบจะเป็นประโยชน์สำหรับเด็กนักเรียนและนักเรียน หารายได้โดยใช้ความรู้ของคุณบน https://teachs.ru!

โมดูลในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร

โมดูลัสของตัวเลขอธิบายระยะทางบนเส้นจำนวนจากศูนย์ถึงจุดหนึ่ง โดยไม่คำนึงถึงทิศทางที่จุดอยู่ห่างจากศูนย์ สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ : |x|.

กล่าวอีกนัยหนึ่งสิ่งนี้ ค่าสัมบูรณ์ตัวเลข คำจำกัดความพิสูจน์ว่าค่าไม่เป็นลบ

คุณสมบัติของโมดูล

สิ่งสำคัญคือต้องจำคุณสมบัติต่อไปนี้:

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนคือความยาวของส่วนตรงที่ลากจากจุดเริ่มต้นของระนาบเชิงซ้อนไปยังจุด (a, b)

ส่วนที่กำหนดทิศทางนี้ยังเป็นเวกเตอร์ที่แสดงถึงจำนวนเชิงซ้อน เอ+บีดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนจะเท่ากับขนาด (หรือความยาว) ของเวกเตอร์ที่เป็นตัวแทน เอ+ ไบ.

วิธีแก้สมการด้วยโมดูลัส

สมการที่มีโมดูลัสคือความเท่าเทียมกันที่มีนิพจน์ค่าสัมบูรณ์ ถ้าเป็นจำนวนจริง หมายถึงระยะห่างจากจุดกำเนิดบนเส้นจำนวน ความไม่เท่ากันกับมอดุลัสจะเป็นประเภทของอสมการที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์

สมการเช่น |x| =ก

สมการ |x| = มี สองคำตอบ x = a และ x = –aเนื่องจากทั้งสองตัวเลือกอยู่บนเส้นพิกัดที่ระยะห่างจาก 0

ความเท่าเทียมกันกับค่าสัมบูรณ์ไม่มีวิธีแก้ปัญหาหากค่าเป็นลบ

ถ้า |x|< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

สมการเช่น |x| = |ย|

เมื่อมีค่าสัมบูรณ์ทั้งสองด้านของสมการ เราต้องพิจารณาความเป็นไปได้ทั้งสองอย่างสำหรับคำจำกัดความที่ยอมรับได้—นิพจน์เชิงบวกและเชิงลบ

ตัวอย่างเช่น เพื่อความเท่าเทียมกัน |x − a| = |x + ข| มีสองตัวเลือก: (x − a) = − (x + b) หรือ (x − a) = (x + b)

สมการเช่น |x| = ย

สมการประเภทนี้ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของนิพจน์ที่มีตัวแปรทางด้านซ้ายของศูนย์และตัวแปรอีกตัวที่ไม่รู้จักทางด้านขวา ตัวแปร y สามารถมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ก็ได้

เพื่อให้ได้คำตอบสำหรับความเท่าเทียมกันนี้ คุณต้องแก้ระบบสมการหลายสมการ โดยคุณต้องแน่ใจว่า y เป็นปริมาณที่ไม่เป็นลบ:

การแก้อสมการด้วยโมดูลัส

เพื่อให้เข้าใจวิธีขยายโมดูลได้ดีขึ้น ประเภทต่างๆความเสมอภาคและอสมการ คุณต้องวิเคราะห์ตัวอย่าง

สมการของแบบฟอร์ม |x| =ก

ตัวอย่างที่ 1(พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 6) แก้โจทย์: |x| + 2 = 4

สารละลาย.

สมการดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับความเท่าเทียมกันที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าเมื่อย้ายสิ่งที่ไม่รู้จักไปทางซ้ายและค่าคงที่ไปทางขวา นิพจน์จะไม่เปลี่ยนแปลง

หลังจากเลื่อนค่าคงที่ไปทางขวาเราจะได้: |x| = 2.

เนื่องจากสิ่งที่ไม่ทราบเกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์ สมการนี้จึงมีคำตอบสองข้อ: 2 และ −2 .

คำตอบ: 2 และ −2 .

ตัวอย่างที่ 2(พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7) แก้อสมการ |x + 2| ≥ 1

สารละลาย.

สิ่งแรกที่ต้องทำคือค้นหาจุดที่ค่าสัมบูรณ์จะเปลี่ยนแปลง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ นิพจน์จะเท่ากับ 0 - ได้รับ: x = –2.

นี่หมายความว่า –2 – จุดเปลี่ยน

ลองแบ่งช่วงเวลาออกเป็น 2 ส่วน:

1. สำหรับ x + 2 ≥ 0

[−1; + ∞).

1. สำหรับ x+2< 0

คำตอบทั่วไปสำหรับอสมการทั้งสองนี้คือช่วง (−∞; –3].

การตัดสินใจครั้งสุดท้าย – รวมคำตอบของแต่ละส่วน:

x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

คำตอบ: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

สมการของแบบฟอร์ม |x| = |ย|

ตัวอย่างที่ 1(พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8) แก้สมการด้วยสองโมดูล: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

สารละลาย:

คำตอบ: x 1 = 3; x 2 = − 1.

ตัวอย่างที่ 2(พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8) แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:

สมการของแบบฟอร์ม |x| = ย

ตัวอย่างที่ 1(พีชคณิตเกรด 10) ค้นหา x:

สารละลาย:

การตรวจสอบทางด้านขวาเป็นสิ่งสำคัญมาก ไม่เช่นนั้นคุณอาจเขียนรากที่ผิดพลาดในคำตอบได้ จากระบบก็ชัดเจนว่าไม่อยู่ในช่องว่าง

คำตอบ: x = 0.

โมดูลผลรวม

โมดูลัสของความแตกต่าง

ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างตัวเลขสองตัว xและ y เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่มีพิกัด เอ็กซ์และ ยบนเส้นพิกัด

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

โมดูลัสของจำนวนลบ

ในการหาค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขที่น้อยกว่าศูนย์ คุณต้องหาว่าค่าดังกล่าวอยู่ห่างจากศูนย์มากแค่ไหน เนื่องจากระยะทางเป็นค่าบวกเสมอ (เป็นไปไม่ได้ที่จะทำตามขั้นตอน "เชิงลบ" เนื่องจากเป็นเพียงก้าวไปในทิศทางอื่น) ผลลัพธ์จึงเป็นค่าบวกเสมอ นั่นคือ

พูดง่ายๆ ก็คือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนลบมีความหมายตรงกันข้าม

โมดูลศูนย์

ทรัพย์สินที่ทราบ:

นี่คือเหตุผลว่าทำไมค่าสัมบูรณ์จึงไม่สามารถบอกว่าเป็นจำนวนบวกได้ เพราะศูนย์ไม่ใช่ทั้งค่าลบหรือค่าบวก

โมดูลกำลังสอง

โมดูลัสกำลังสองจะเท่ากับนิพจน์กำลังสองเสมอ:

ตัวอย่างกราฟที่มีโมดูล

บ่อยครั้งในการทดสอบและการสอบมีงานที่สามารถแก้ไขได้โดยการวิเคราะห์กราฟเท่านั้น พิจารณางานดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อกำหนดฟังก์ชัน f(x) = |x| จำเป็นต้องสร้างกราฟจาก – 3 ถึง 3 ด้วยขั้นตอนที่ 1

สารละลาย:

คำอธิบาย: รูปแสดงว่ากราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Y

ตัวอย่างที่ 2- จำเป็นต้องวาดและเปรียบเทียบกราฟของฟังก์ชัน f(x) = |x–2| และ g(x) = |x|–2

สารละลาย:

คำอธิบาย: ค่าคงที่ภายในค่าสัมบูรณ์จะย้ายกราฟทั้งหมดไปทางขวาหากค่าเป็นลบ และไปทางซ้ายหากค่าเป็นบวก แต่ค่าคงที่ภายนอกจะเลื่อนกราฟขึ้นหากค่าเป็นบวก และลงหากเป็นลบ (เช่น - 2 ในการทำงาน ก(x)).

พิกัดจุดยอด x(จุดที่เส้นสองเส้นเชื่อมต่อกันคือจุดยอดของกราฟ) คือตัวเลขที่ใช้เลื่อนกราฟไปทางซ้ายหรือขวา พิกัด ย– นี่คือค่าที่กราฟเลื่อนขึ้นหรือลง

คุณสามารถสร้างกราฟดังกล่าวได้โดยใช้แอปพลิเคชันการลงจุดออนไลน์ ด้วยความช่วยเหลือเหล่านี้ คุณจะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าค่าคงที่ส่งผลต่อฟังก์ชันอย่างไร

วิธีช่วงเวลาในปัญหาเกี่ยวกับมอดุลัส

วิธีช่วงเวลาเป็นหนึ่งในวิธี วิธีที่ดีที่สุดค้นหาคำตอบในปัญหาเกี่ยวกับโมดูล โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีหลายโมดูลในนิพจน์

หากต้องการใช้วิธีนี้คุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

1. เทียบแต่ละนิพจน์ให้เป็นศูนย์
2. ค้นหาค่าของตัวแปร
3. พล็อตคะแนนที่ได้รับในขั้นตอนที่ 2 บนเส้นจำนวน
4. กำหนดสัญลักษณ์ของนิพจน์ในช่วงเวลา (ลบหรือ ค่าบวก) และวาดสัญลักษณ์ – หรือ + ตามลำดับ วิธีที่ง่ายที่สุดในการกำหนดเครื่องหมายคือการใช้วิธีการทดแทน (การแทนที่ค่าใดๆ จากช่วงเวลา)
5. แก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยสัญญาณที่ได้รับ

ตัวอย่างที่ 1- แก้โดยใช้วิธีช่วงเวลา

สารละลาย:

คำแนะนำ

หากโมดูลแสดงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ค่าของอาร์กิวเมนต์อาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

โมดูลัสเป็นศูนย์ และโมดูลัสของจำนวนบวกใดๆ คือ หากอาร์กิวเมนต์เป็นลบ หลังจากเปิดวงเล็บแล้ว เครื่องหมายจะเปลี่ยนจากลบเป็นบวก จากข้อมูลนี้ ข้อสรุปจึงตามมาว่าโมดูลของสิ่งที่ตรงกันข้ามมีค่าเท่ากัน: |-x| = |x| = x

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนหาได้จากสูตร: |a| = √b ² + c ² และ |a + b| ≤ |ก| + |ข|. หากอาร์กิวเมนต์มีจำนวนบวกเป็นตัวคูณ ก็สามารถนำออกจากเครื่องหมายวงเล็บได้ เช่น |4*b| = 4*|ข|.

หากอาร์กิวเมนต์แสดงเป็นจำนวนเชิงซ้อนเพื่อความสะดวกในการคำนวณอนุญาตให้ใช้ลำดับของเงื่อนไขของนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเหลี่ยมได้: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 เพราะ (2-3) น้อยกว่าศูนย์

อาร์กิวเมนต์ที่ยกกำลังขึ้นพร้อมๆ กันภายใต้เครื่องหมายของรากที่มีลำดับเดียวกัน - แก้ไขได้โดยใช้: √a² = |a| = ±ก

หากคุณมีงานที่ไม่ได้ระบุเงื่อนไขในการขยายวงเล็บโมดูลก็ไม่จำเป็นต้องกำจัดทิ้ง - นี่จะเป็นผลลัพธ์สุดท้าย และถ้าคุณต้องการเปิดมัน คุณต้องระบุเครื่องหมาย ± ตัวอย่างเช่น คุณต้องค้นหาค่าของนิพจน์ √(2 * (4-b))² ผลเฉลยของเขาจะเป็นดังนี้: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. เนื่องจากไม่ทราบสัญลักษณ์ของนิพจน์ 4-b จึงต้องอยู่ในวงเล็บ หากคุณเพิ่มเงื่อนไขเพิ่มเติม เช่น |4-b| -

โมดูลัสของศูนย์เท่ากับศูนย์ และโมดูลัสของจำนวนบวกใดๆ จะเท่ากับตัวมันเอง หากอาร์กิวเมนต์เป็นลบ หลังจากเปิดวงเล็บแล้ว เครื่องหมายจะเปลี่ยนจากลบเป็นบวก จากข้อมูลนี้ สรุปได้ว่าโมดูลที่มีจำนวนตรงข้ามเท่ากัน: |-x| = |x| = x

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนหาได้จากสูตร: |a| = √b ² + c ² และ |a + b| ≤ |ก| + |ข|. หากอาร์กิวเมนต์มีจำนวนเต็มบวกเป็นตัวประกอบ ก็สามารถนำออกจากเครื่องหมายวงเล็บได้ เช่น: |4*b| = 4*|ข|.

โมดูลัสไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้นจำนวนลบใดๆ จะถูกแปลงเป็นบวก: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2.5| = 2.5

หากอาร์กิวเมนต์ถูกนำเสนอในรูปแบบของจำนวนเชิงซ้อนเพื่อความสะดวกในการคำนวณอนุญาตให้เปลี่ยนลำดับของเงื่อนไขของนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเหลี่ยม: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 เพราะ (2-3) น้อยกว่าศูนย์

หากคุณมีงานที่ไม่ได้ระบุเงื่อนไขในการขยายวงเล็บโมดูลก็ไม่จำเป็นต้องกำจัดทิ้ง - นี่จะเป็นผลลัพธ์สุดท้าย และถ้าคุณต้องการเปิดมัน คุณต้องระบุเครื่องหมาย ± ตัวอย่างเช่น คุณต้องค้นหาค่าของนิพจน์ √(2 * (4-b))² ผลเฉลยของเขาจะเป็นดังนี้: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. เนื่องจากไม่ทราบสัญลักษณ์ของนิพจน์ 4-b จึงต้องอยู่ในวงเล็บ หากคุณเพิ่มเงื่อนไขเพิ่มเติม เช่น |4-b| > 0 ผลลัพธ์จะเป็น 2 * |4-b| = 2 *(4 - ข) องค์ประกอบที่ไม่รู้จักสามารถตั้งค่าเป็นหมายเลขเฉพาะได้ซึ่งควรนำมาพิจารณาด้วย มันจะส่งผลต่อสัญลักษณ์ของการแสดงออก

โมดูลัสคือค่าสัมบูรณ์ของนิพจน์ เพื่อระบุโมดูล เป็นเรื่องปกติที่จะต้องใช้วงเล็บเหลี่ยม ค่าที่อยู่ในวงเล็บคู่คือค่าที่ใช้แบบโมดูโล กระบวนการแก้ไขโมดูลใดๆ ประกอบด้วยการเปิดวงเล็บตรงเหล่านั้น ซึ่งในภาษาคณิตศาสตร์เรียกว่าวงเล็บแบบโมดูลาร์ การเปิดเผยเกิดขึ้นตามกฎจำนวนหนึ่ง นอกจากนี้ตามลำดับการแก้โมดูลจะพบชุดของค่าของนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บแบบโมดูลาร์ ในกรณีส่วนใหญ่ โมดูลจะถูกขยายในลักษณะที่นิพจน์ที่เป็นโมดูลย่อยได้รับทั้งค่าบวกและค่าลบ รวมถึงค่าศูนย์ด้วย หากเราเริ่มต้นจากคุณสมบัติที่กำหนดไว้ของโมดูลจากนั้นในกระบวนการจะรวบรวมสมการหรืออสมการต่าง ๆ จากนิพจน์ดั้งเดิมซึ่งจะต้องแก้ไข เรามาดูวิธีแก้ปัญหาโมดูลกันดีกว่า

กระบวนการแก้ปัญหา

การแก้โมดูลเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการดั้งเดิมด้วยโมดูล หากต้องการตอบคำถามว่าจะแก้สมการด้วยโมดูลัสได้อย่างไร คุณต้องเปิดมันให้หมด เพื่อแก้สมการดังกล่าว โมดูลจึงถูกขยาย ต้องพิจารณานิพจน์โมดูลาร์ทั้งหมด มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าค่าใดของปริมาณที่ไม่รู้จักรวมอยู่ในองค์ประกอบการแสดงออกแบบโมดูลาร์ในวงเล็บจะกลายเป็นศูนย์ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะจัดนิพจน์ในวงเล็บแบบโมดูลาร์ให้เป็นศูนย์ จากนั้นจึงคำนวณผลเฉลยของสมการผลลัพธ์ ต้องบันทึกค่าที่พบ ในทำนองเดียวกัน คุณยังต้องกำหนดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมดสำหรับโมดูลทั้งหมดในสมการนี้ด้วย ต่อไป จำเป็นต้องพิจารณาและพิจารณาทุกกรณีของการมีอยู่ของตัวแปรในนิพจน์เมื่อตัวแปรแตกต่างจากค่าศูนย์ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเขียนระบบความไม่เท่าเทียมกันบางอย่างที่สอดคล้องกับโมดูลทั้งหมดในความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม ต้องเขียนความไม่เท่าเทียมกันเพื่อให้ครอบคลุมค่าที่มีอยู่และค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับตัวแปรที่พบในเส้นจำนวน จากนั้นคุณจะต้องวาดเส้นจำนวนเดียวกันนี้เพื่อสร้างภาพข้อมูลซึ่งจะลงจุดค่าที่ได้รับทั้งหมดในภายหลัง

เกือบทุกอย่างสามารถทำได้บนอินเทอร์เน็ตแล้ว โมดูลนี้ไม่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎ คุณสามารถแก้ไขได้ทางออนไลน์โดยใช้แหล่งข้อมูลสมัยใหม่ที่มีอยู่มากมาย ค่าทั้งหมดของตัวแปรที่อยู่ในโมดูลศูนย์จะเป็นข้อจำกัดพิเศษที่จะใช้ในกระบวนการแก้สมการโมดูลาร์ ในสมการดั้งเดิม คุณต้องเปิดวงเล็บโมดูลาร์ที่มีอยู่ทั้งหมด ในขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายของนิพจน์เพื่อให้ค่าของตัวแปรที่ต้องการตรงกับค่าที่มองเห็นได้บนเส้นจำนวน ต้องแก้สมการผลลัพธ์ ค่าของตัวแปรที่จะได้รับระหว่างการแก้สมการต้องได้รับการตรวจสอบกับข้อจำกัดที่ระบุโดยโมดูลเอง หากค่าของตัวแปรเป็นไปตามเงื่อนไขโดยสมบูรณ์ แสดงว่าค่านั้นถูกต้อง จะต้องทิ้งรากทั้งหมดที่จะได้รับระหว่างการแก้สมการ แต่ไม่เข้าเกณฑ์ที่กำหนด

คำว่า (โมดูล) แปลตามตัวอักษรจากภาษาละตินแปลว่า "การวัด" แนวคิดนี้ถูกนำมาใช้ในวิชาคณิตศาสตร์โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ R. Cotes และนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน K. Weierstrass ได้แนะนำเครื่องหมายโมดูลัสซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่แสดงถึงแนวคิดนี้เมื่อเขียน

เป็นครั้งแรกที่มีการศึกษาแนวคิดนี้ในวิชาคณิตศาสตร์ตามโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนมัธยมปลาย- ตามคำจำกัดความหนึ่ง โมดูลัสคือค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากต้องการหาโมดูลัสของจำนวนจริง คุณต้องละทิ้งเครื่องหมายของมันไป

ค่าสัมบูรณ์แบบกราฟิก กแสดงว่าเป็น |a|.

ลักษณะเด่นที่สำคัญของแนวคิดนี้คือเป็นปริมาณที่ไม่เป็นลบเสมอ

ตัวเลขที่แตกต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้นเรียกว่าตัวเลขตรงข้าม หากค่าเป็นบวก ค่าตรงข้ามจะเป็นลบ และศูนย์คือค่าตรงกันข้าม

ความหมายทางเรขาคณิต

หากเราพิจารณาแนวคิดของโมดูลจากมุมมองของเรขาคณิต มันจะแสดงถึงระยะทางที่วัดเป็นส่วนของหน่วยจากจุดกำเนิดของพิกัดไปยังจุดที่กำหนด คำจำกัดความนี้เผยให้เห็นความหมายทางเรขาคณิตของคำที่กำลังศึกษาอย่างสมบูรณ์

ในเชิงกราฟิกสามารถแสดงได้ดังนี้: |a| = โอเอ

คุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์

ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดของแนวคิดนี้และวิธีการเขียนในรูปแบบของนิพจน์ตามตัวอักษร:

คุณสมบัติของการแก้สมการด้วยโมดูลัส

หากเราพูดถึงการแก้สมการทางคณิตศาสตร์และอสมการที่มีโมดูลอยู่ เราต้องจำไว้ว่าในการแก้สมการเหล่านี้คุณจะต้องเปิดเครื่องหมายนี้

ตัวอย่างเช่น หากเครื่องหมายของค่าสัมบูรณ์มีนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อยู่ ดังนั้นก่อนที่จะเปิดโมดูล จำเป็นต้องคำนึงถึงคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบันด้วย

|เอ + 5| = เอ + 5, ถ้า, A มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

5-เอ, ถ้า, ค่าน้อยกว่าศูนย์

ในบางกรณี เครื่องหมายสามารถเปิดเผยได้อย่างชัดเจนสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง มาสร้างเส้นพิกัดที่เราทำเครื่องหมายค่าตัวเลขทั้งหมดซึ่งค่าสัมบูรณ์จะเป็น 5

ก่อนอื่นคุณต้องวาดเส้นพิกัด ทำเครื่องหมายที่มาของพิกัดบนนั้น และกำหนดขนาดของส่วนของหน่วย นอกจากนี้เส้นตรงจะต้องมีทิศทาง ตอนนี้บนเส้นตรงนี้จำเป็นต้องใช้เครื่องหมายที่จะเท่ากับขนาดของส่วนของหน่วย

ดังนั้นเราจะเห็นได้ว่าบนเส้นพิกัดนี้จะมีจุดสนใจสองจุดสำหรับเราโดยมีค่า 5 และ -5

หนึ่งในหัวข้อที่ยากที่สุดสำหรับนักเรียนคือการแก้สมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าสิ่งนี้เชื่อมโยงกับอะไร? ตัวอย่างเช่น เหตุใดเด็กส่วนใหญ่จึงถอดรหัสสมการกำลังสองเช่นถั่ว แต่กลับมีปัญหามากมายกับแนวคิดที่ห่างไกลจากแนวคิดที่ซับซ้อนในฐานะโมดูล

ในความคิดของฉัน ปัญหาทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการขาดกฎที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนในการแก้สมการด้วยโมดูลัส ดังนั้นการตัดสินใจ สมการกำลังสองนักเรียนรู้แน่ว่าเขาต้องใช้สูตรแยกแยะก่อน จากนั้นจึงใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง จะทำอย่างไรถ้าพบโมดูลัสในสมการ? เราจะพยายามอธิบายแผนปฏิบัติการที่จำเป็นอย่างชัดเจนในกรณีที่สมการมีสิ่งไม่ทราบอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส เราจะยกตัวอย่างหลายกรณีสำหรับแต่ละกรณี

แต่ก่อนอื่นเรามาจำไว้ คำจำกัดความของโมดูล- ดังนั้นโมดูโลตัวเลข กหมายเลขนี้เองเรียกว่าถ้า กไม่เป็นลบและ -กถ้าเป็นตัวเลข กน้อยกว่าศูนย์ คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

|a| = a ถ้า ≥ 0 และ |a| = -a ถ้าก< 0

เมื่อพูดถึงความหมายทางเรขาคณิตของโมดูล ควรจำไว้ว่าจำนวนจริงแต่ละตัวสอดคล้องกับจุดใดจุดหนึ่งบนแกนตัวเลข - ประสานงาน ดังนั้น โมดูลหรือค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขคือระยะห่างจากจุดนี้ถึงจุดกำเนิดของแกนตัวเลข ระยะทางจะถูกระบุเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น โมดูลัสของจำนวนลบใดๆ จึงเป็นจำนวนบวก อย่างไรก็ตาม แม้ในขั้นตอนนี้ นักเรียนหลายคนก็เริ่มสับสน โมดูลสามารถมีตัวเลขใดก็ได้ แต่ผลลัพธ์ของการใช้โมดูลจะเป็นจำนวนบวกเสมอ

ตอนนี้เรามาดูการแก้สมการกันโดยตรง

1. พิจารณาสมการที่อยู่ในรูปแบบ |x| = c โดยที่ c เป็นจำนวนจริง สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้นิยามโมดูลัส

เราแบ่งจำนวนจริงทั้งหมดออกเป็นสามกลุ่ม: จำนวนที่มากกว่าศูนย์, จำนวนที่น้อยกว่าศูนย์ และกลุ่มที่สามคือเลข 0 เราเขียนคำตอบในรูปของแผนภาพ:

(±c ถ้า c > 0

ถ้า |x| = c แล้ว x = (0 ถ้า c = 0

(ไม่มีรากถ้ามี< 0

1) |x| = 5 เพราะว่า 5 > 0 จากนั้น x = ±5;

2) |x| = -5 เพราะว่า -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0 จากนั้น x = 0

2. สมการของแบบฟอร์ม |f(x)| = b โดยที่ b > 0 ในการแก้สมการนี้ จำเป็นต้องกำจัดโมดูลออก เราทำอย่างนี้: f(x) = b หรือ f(x) = -b ตอนนี้คุณต้องแก้สมการผลลัพธ์แต่ละสมการแยกกัน ถ้าอยู่ในสมการเดิม b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4 เพราะว่า 4 > 0 แล้ว

x + 2 = 4 หรือ x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11 เพราะว่า 11 > 0 แล้ว

x 2 – 5 = 11 หรือ x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ไม่มีราก

3) |x 2 – 5x| = -8 เพราะว่า -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. สมการที่อยู่ในรูปแบบ |f(x)| = ก(x) ตามความหมายของโมดูล สมการดังกล่าวจะมีคำตอบหากทางด้านขวามือมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เช่น g(x) ≥ 0 จากนั้นเราจะได้:

ฉ(x) = ก(x)หรือ ฉ(x) = -ก(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10 สมการนี้จะมีรากถ้า 5x – 10 ≥ 0 นี่คือจุดเริ่มต้นของการแก้สมการดังกล่าว

1. โอ.ดี.ซี. 5x – 10 ≥ 0

2. วิธีแก้ไข:

2x – 1 = 5x – 10 หรือ 2x – 1 = -(5x – 10)

3. เรารวม O.D.Z. และวิธีแก้ปัญหาเราได้รับ:

ราก x = 11/7 ไม่ตรงกับ O.D.Z. ซึ่งน้อยกว่า 2 แต่ x = 3 เป็นไปตามเงื่อนไขนี้

คำตอบ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. โอ.ดี.ซี. 1 – x 2 ≥ 0 ลองแก้อสมการนี้โดยใช้วิธีช่วงเวลา:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. วิธีแก้ไข:

x – 1 = 1 – x 2 หรือ x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 หรือ x = 1 x = 0 หรือ x = 1

3. เรารวมโซลูชันและ O.D.Z.:

เฉพาะราก x = 1 และ x = 0 เท่านั้นที่เหมาะสม

คำตอบ: x = 0, x = 1

4. สมการของแบบฟอร์ม |f(x)| = |ก.(x)|. สมการดังกล่าวเทียบเท่ากับสมการสองสมการต่อไปนี้ f(x) = g(x) หรือ f(x) = -g(x)

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. สมการนี้เทียบเท่ากับสองสมการต่อไปนี้:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 หรือ x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 หรือ x = 4 x = 2 หรือ x = 1

คำตอบ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4

5. สมการแก้ได้โดยวิธีการทดแทน (การแทนที่ตัวแปร) วิธีการนี้วิธีแก้ปัญหานั้นอธิบายได้ง่ายที่สุดโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง ดังนั้น ให้เราได้รับสมการกำลังสองพร้อมโมดูลัส:

x 2 – 6|x| + 5 = 0 โดยคุณสมบัติโมดูลัส x 2 = |x| 2 ดังนั้นจึงสามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0 มาแทนที่ |x| กันดีกว่า = t ≥ 0 จากนั้นเราจะได้:

t 2 – 6t + 5 = 0 เมื่อแก้สมการนี้ เราจะพบว่า t = 1 หรือ t = 5 ลองกลับไปที่การแทนที่กัน:

|x| = 1 หรือ |x| = 5

x = ±1 x = ±5

คำตอบ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5

ลองดูตัวอย่างอื่น:

x 2 + |x| – 2 = 0 โดยคุณสมบัติโมดูลัส x 2 = |x| 2 ดังนั้น

|x| 2 + |x| – 2 = 0 มาแทนที่ |x| กันดีกว่า = เสื้อ ≥ 0 ดังนั้น:

t 2 + t – 2 = 0 เมื่อแก้สมการนี้ เราจะได้ t = -2 หรือ t = 1 กลับไปที่การแทนที่กัน:

|x| = -2 หรือ |x| = 1

ไม่มีราก x = ± 1

คำตอบ: x = -1, x = 1

6. สมการอีกประเภทหนึ่งคือสมการที่มีโมดูลัส "เชิงซ้อน" สมการดังกล่าวรวมถึงสมการที่มี "โมดูลภายในโมดูล" สมการประเภทนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติของโมดูล

1) |3 – |x|| = 4 เราจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในสมการประเภทที่สอง เพราะ 4 > 0 เราจะได้สมการสองสมการ:

3 – |x| = 4 หรือ 3 – |x| = -4.

ตอนนี้ให้เราแสดงโมดูลัส x ในแต่ละสมการ จากนั้น |x| = -1 หรือ |x| = 7.

เราแก้สมการผลลัพธ์แต่ละสมการ ไม่มีรากในสมการแรก เพราะว่า -1< 0, а во втором x = ±7.

ตอบ x = -7, x = 7

2) |3 + |x + 1|| = 5 เราแก้สมการนี้ในลักษณะเดียวกัน:

3 + |x + 1| = 5 หรือ 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 หรือ x + 1 = -2 ไม่มีราก.

คำตอบ: x = -3, x = 1

นอกจากนี้ยังมีวิธีการสากลในการแก้สมการด้วยโมดูลัส นี่คือวิธีช่วงเวลา แต่เราจะดูมันในภายหลัง

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม