Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Статика твердого тела

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

Основные понятия и законы статики
• Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
• Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
• Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
• Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
• Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
• Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
• Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
• Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
• Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
  Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.
• Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
• Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
• Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
  Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
  Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м).
• Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
• Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
• Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
• Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
• Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
• Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
• Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
• Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
  Принятое обозначение: .
• Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
• Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
  .
• Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
  .
• Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
• Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
  Принятое обозначение: .
  Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.
• Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
  Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.
• Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
• Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
  Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
• Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
  Эти две силы называются уравновешивающимися.
  Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.
• Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
  Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
  Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.
• Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
  диагонали.
  По модулю равнодействующая равна:
  
• Закон 5 (закон равенства действия и противодействия) . Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
  Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.
• Закон 6 (закон отвердевания) . Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
  Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.
• Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции
• Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
• Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
• Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
• Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
• Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Кинематика

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

Основные понятия кинематики
• Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
• Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
• Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
• Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).

Определение кинематических характеристик точки
• Траектория точки
  В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
  В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
  В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
• Определение скорости точки в векторной системе координат
  При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
  Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
  Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
  Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
  Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
• Определение скорости точки в координатной системе отсчета
  Скорости изменения координат точки:
  .
  Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
  .
  Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
  ,
  где — углы между вектором скорости и осями координат.
• Определение скорости точки в естественной системе отсчета
  Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
  Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .

Кинематика твердого тела
• В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
  1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
  2) определение кинематических характеристик точек тела.
• Поступательное движение твердого тела
  Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
  Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
  Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки .
• Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
  Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
  Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
  Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
  Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
  — угловая скорость, рад/с;
  — угловое ускорение, рад/с².
  Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
  Модуль линейной скорости:
  .
  Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
  ,
  где .
  В итоге, получаем формулы
  тангенциальное ускорение: ;
  нормальное ускорение: .

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики
• Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
• Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
• Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
• Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:
  
  где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
  В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.
• Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
  Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
  .
  Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
  
• Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
• Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
  где — ускорение центра масс тела.
• Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt :
  .
  Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
  .
• Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.6.1), которую будем называть осью (прямая OO может быть и вне тела). Разобьем тело на элементарные участки (материальные точки) массами
, находящиеся от оси на расстоянии
соответственно.

Моментом инерции материальной точки относительно оси (OO) называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

. (6.1)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (OO) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

. (6.2)

Как видно момент инерции тела есть величина аддитивная – момент инерции всего тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае

.

Измеряется момент инерции в кгм 2 . Так как

, (6.3)

где  – плотность вещества,
– объемi - го участка, то

,

или, переходя к бесконечно малым элементам,

. (6.4)

Формулу (6.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает

,

где т - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычислении МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I c относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

. (6.5)

Момент силы относительно оси

Пусть на тело действует сила F . Примем для простоты, что сила F лежит в плоскости, перпендикулярной некоторой прямой ОО (рис.6.2,а ), которую назовем осью (например, это ось вращения тела). На рис. 6.2,а А - точка приложения силы F ,
- точка пересечения оси с плоскостью, в которой лежит сила;r - радиус-вектор, определяющий положение точки А относительно точки О "; O "B = b - плечо силы. Плечом силы относительно оси называется наименьшее расстояние от оси до прямой, на которой лежит вектор силы F (длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой).

Моментом силы относительно оси называется векторная величина, определяемая равенством

. (6.6)

Модуль этого вектора . Иногда, поэтому говорят, что момент силы относительно оси – это произведение силы на ее плечо.

Если сила F направлена произвольно, то ее можно разложить на две составляющие; и(рис.6.2,б ), т.е.
+, где- составляющая, направленная параллельно оси ОО, алежит в плоскости, перпендикулярной оси. В этом случае под моментом силыF относительно оси OO понимают вектор

. (6.7)

В соответствии с выражениями (6.6) и (6.7) вектор М направлен вдоль оси (см. рис.6.2, а ,б ).

Момент импульса тела относительно оси вращения

Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью
. Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами
, которые находятся от оси соответственно на расстояниях
и вращаются по окружностям, имея линейные скорости
Известно, что величина равная
- есть импульсi -участка. Моментом импульса i -участка (материальной точки) относительно оси вращения называется вектор (точнее псевдовектор)

, (6.8)

где r i – радиус-вектор, определяющий положение i - участка относительно оси.

Моментом импульса всего тела относительно оси вращения называют вектор

(6.9)

модуль которого
.

В соответствии с выражениями (6.8) и (6.9) векторы
инаправлены по оси вращения (рис.6.3). Легко показать, что момент импульса тела L относительно оси вращения и момент инерции I этого тела относительно той же оси связаны соотношением

. (6.10)

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ I тела относительно точки, оси или плоскости называется сумма произведений массы точек тела m i , на квадраты их расстояний r i до точки, оси или плоскости:

Момент инерции тела относительно оси является мерой инерции тела во вращательном движении вокруг этой оси.

Момент инерции тела может быть также выражен через массу М тела и его радиус инерции r:

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ, ПЛОСКОСТЕЙ И НАЧАЛА ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.

Момент инерции относительно начала координат (полярный момент инерции):

СВЯЗЬ МЕЖДУ ОСЕВЫМИ, ПЛОСКОСТНЫМИ И ПОЛЯРНЫМ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ:

Значения осевых моментов инерции некоторых геометрических тел приведены в табл. 1.

Таблица 1. Момент инерции некоторых тел

ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПЕРЕМЕНЕ ОСЕЙ

Момент инерции I u 1 относительно оси u 1 , параллельной данной оси u (рис. 1):

где I u - момент инерции тела относительно оси u; l(l 1) - расстояние от оси u (от оси u 1) до параллельной им оси u с, проходящей через центр масс тела; а - расстояние между осями u и u 1 .

Рисунок 1.

Если ось u центральная (l=0), то

т. е. для любой группы параллельных осей момент инерции относительно центральной оси наименьший.

Момент инерции I u относительно оси u, составляющей углы α, β, γ с осями декартовых координат х, у, z (рис. 2):

Рисунок 2.

Оси х, у, z главные, если

Момент инерции относительно оси u, составляющей углы α, β, γ c главными осями инерции х, у, z:

ИЗМЕНЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ:

где - центробежный момент инерции относительно центральных осей х с, y с, параллельных осям х, у; М - масса тела; x с, y с - координаты центра масс в системе осей х, у.

ИЗМЕНЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ x, y ВОКРУГ ОСИ z НА УГОЛ α В ПОЛОЖЕНИЕ x 1 y 1 (рис. 3):

Рисунок 3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ. Ось материальной симметрии тела - главная ось инерции тела.

Если плоскость xОz является плоскостью материальной симметрии тела, то любая из осей y - главная ось инерции тела.

Если положение одной из главных осей z гл известно, то положение двух других осей x гл и y гл определяется поворотом осей х и у вокруг оси z гл на угол φ (рис. 3):

ЭЛЛИПСОИД И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ИНЕРЦИИ. Эллипсоидом инерции называется эллипсоид, оси симметрии которого совпадают с главными центральными осями тела x гл, y гл, z гл, а полуоси а х, а у, а z равны соответственно:

где r уО z , r х Oz , r xOy - радиусы инерции тела относительно главных плоскостей инерции.

Параллелепипедом инерции называется параллелепипед, описанный вокруг эллипсоида инерции и имеющий с ним общие оси симметрии (рис. 4).

Рисунок 4.

РЕДУЦИРОВАНИЕ (ЗАМЕНА С ЦЕЛЬЮ УПРОЩЕНИЯ РАСЧЕТА) ТВЕРДОГО ТЕЛА СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ . При вычислении осевых, плоскостных, центробежных и полярных моментов инерции тело массой М можно редуцировать восемью сосредоточенными массами М/8, расположенными в вершинах параллелепипеда инерции. Моменты инерции относительно любых осей, плоскостей, полюсов вычисляются по координатам вершин параллелепипеда инерции x i , y i , z i (i=1, 2, ..., 8) по формулам:

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

1. Определение моментов инерции тел вращения с использованием дифференциального уравнения вращения - см. формулы ("Вращательное движение твердого тела") .

Исследуемое тело закрепляется на горизонтальной оси х, совпадающей с его осью симметрии, и приводится во вращение вокруг нее с помощью груза Р, прикрепленного к гибкой нити, навернутой на исследуемое тело (рис. 5), при этом замеряется время t опускания груза на высоту h. Для исключения влияния трения в точках закрепления тела на оси х опыт производится несколько раз при разных значениях веса груза Р.

Рисунок 5.

При двух опытах с грузами Р 1 и Р 2

2. Экспериментальное определение моментов инерции тел посредством изучения колебаний физического маятника (см. 2.8.3) .

Исследуемое тело закрепляют на горизонтальной оси х (нецентральной) и замеряют, период малых колебаний около этой оси Т. Момент инерции относительно оси х определится по формуле

где Р - вес тела; l 0 - расстояние от оси вращения до центра масс С тела.

1. Закон инерции : изолированная материальная точка неспособна вывести себя из состояния покоя или равномерного прямолинейного движения без воздействия внешних сил или полей;

2. Основной закон динамики : сила, действующая на тело, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и совпадает с ней по направлению: , масса - мера инертности точки: .

3. Закон равенства действия и противодействия ;

4. Закон про равнодействующую силу : несколько одновременно действующих на точку сил сообщают ей такое ускорение, какое сообщает ей одна сила, равная их геометрической сумме: .

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах.

Метод кинетостатики : если к движущейся под действием сил точке приложить силу инерции, то геометрическая сумма всех сил будет равна нулю: , где Ф - сила инерции.

Так как: , то проектируя на ось координат получаю:, так как: то аналогично для y и z получаю:

Основные задачи динамики точки.

1. Зная массу материальной точки и уравнение ее движения определить модуль и направление равнодействующей силы, под действием которой точка движется.

2. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу и начальные условия движения определить траекторию.

Свободное падение тела без учета сопротивления воздуха.

v 0 =0; ; ;. По начальным условиям: и определяю постоянные интегрирования и: .

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, без учета сопротивления воздуха.

;; , постоянные интегрирования определяются по заданным начальным условиям.

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, если сила зависит от времени.

Зависимость силы от времени возможна степенная и тригонометрическая.

Связи и реакции связей.

Несвободная материальная точка - на движение наложены кинематические ограничения. Связи - тела, ограничивающие свободу движения материальной точки. Динамические реакции связи - силы, с которыми связи действуют на движущуюся материальную точку.

Классификация связей :

1. стационарные - уравнения которых не содержат t в явном виде и нестационарные.

2. голономные - ограничивающие только свободу перемещения, а не скорость и неголономные.

3. неудерживающие - препятствующие движению в одном направлении и допускающие в противоположном и удерживающие.

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки.

Подставляя в основное уравнение динамики: , обозначая переносную и кориолисову силы инерции: . В проекциях на координатные оси:

Координаты центра масс системы материальных точек.

Механическая система материальных точек - совокупность точек, в которой положение и движение каждой зависит от остальных. Система с кинематическими ограничениями - несвободная. Масса механической системы - арифметическая сумма масс всех ее точек. Центр масс - геометрическая точка, положение которой определяется уравнениями:

Силы, действующие на точки механической системы.

Задаваемые силы и реакции связи;

Внешние силы - силы, с которыми на механическую систему действуют другие тела, не входящие в нее.

Внутренние силы - силы взаимодействия точек системы.

Свойства внутренних сил:

1. главный вектор внутренних сил равен нулю;

2. главный вектор момент внутренних сил относительно любого неподвижного центра равен нулю.

Моменты инерции твердого тела. Радиус инерции.

Момент инерции - скалярная величина, равная произведению массы на квадрат расстояния.

Планарный момент инерции - момент инерции относительно плоскости: ; осевой - относительно оси: ; полярный - относительно полюса: ; центробежный момент инерции : .

Радиус инерции - расстояние от оси до воображаемой точки, в которой необходимо сосредоточить массу тела, чтоб момент инерции этой точки относительно заданной оси был равен моменту инерции данного тела относительно этой же оси: .