Рассмотрен порядок решения задач на определение реакций опор балок. Приводится пример решения задачи и проверка правильности определения реакций. Приводится решение задачи вторым способом.
СодержаниеУсловие задачи.
Жесткая балка, линейные размеры которой указаны на рисунке 1, закреплена в точках А и В. На балку действуют пара сил с моментом М, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и две силы P и G, место приложения которых показано на рисунке.
Определить реакции опор балки в точках A и В, вызываемые указанными нагрузками.
Дано:
P = 20,2 Н
;
G = 22,6 Н
;
q = 2 Н/м
;
M = 42,8 Н·м
;
a = 1,3 м
;
b = 3,9 м
;
α = 45°
;
Проводим оси x и y системы координат. Начало системы координат поместим в точку A . Ось x направим горизонтально, вдоль балки. Ось y - вертикально. Ось z перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас. На рисунке она не указана.
Силы, действующие на балку.
Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.
В шарнире A
,
разложим силу реакции на составляющие и вдоль осей координат.
Реакция ,
в подвижной опоре на катках, направлена вертикально. Предполагаемые направления реакций опор выбираем по своему усмотрению, наугад. Если ошибемся с направлением реакции, то получим отрицательное значение, что будет говорить о том, что соответствующая сила реакции направлена в противоположную сторону.
Заменим равномерно распределенную нагрузку q
равнодействующей .
Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:
Н
.
Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры. Поскольку эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в точке C
- посередине отрезка AD
:
AC = CD = b/2 = 1,95 м
.
Определяем проекции сил на оси координат.
Разложим силу на составляющие вдоль координатных осей:
.
Абсолютные значения составляющих:
.
Вектор параллелен оси x
и направлен в противоположную от нее сторону. Вектор параллелен оси y
и также направлен в противоположную сторону. Поэтому проекции силы на оси координат имеют следующие значения:
.
Остальные силы параллельны осям координат. Поэтому они имеют следующие проекции:
;
;
;
;
.
Составляем уравнения равновесия для сил.
Сумма проекций всех сил на ось x
равна нулю:
;
;
;
(П1)
.
Сумма проекций всех сил на ось y
равна нулю:
;
;
;
(П2)
.
Итак, мы уже составили два уравнения для сил: (П1) и (П2). Но в них есть три неизвестные величины: , и . Чтобы их определить, нам нужно составить еще одно уравнение.
Составим уравнение равновесия для моментов сил. Для этого нам нужно выбрать ось, относительно которой мы будем вычислять моменты. В качестве такой оси возьмем ось, проходящую через точку A , перпендикулярно плоскости рисунка. За положительное направление выберем то, которое направлено на нас. Тогда, по правилу правого винта, положительным направлением закручивания будет направление против часовой стрелки.
Находим моменты сил относительно выбранной оси.
Силы ,
и пересекают ось. Поэтому их моменты равны нулю:
;
;
.
Сила перпендикулярна плечу AB
.
Ее момент:
.
Поскольку, относительно оси A
,
сила направлена против часовой стрелки, то ее момент положительный.
Сила перпендикулярна плечу AK
.
Поскольку, относительно оси A
,
эта сила направлена по часовой стрелки, то ее момент имеет отрицательное значение:
.
Аналогичным способом находим моменты остальных сил:
;
.
Момент от пары сил M
не зависит от точек приложения сил, входящих в пару:
.
Составляем уравнение равновесия. Сумма моментов сил относительно оси A
равна нулю:
;
;
;
(П3)
.
Итак, для трех неизвестных величин, мы получили три уравнения:
(П1)
.
(П2)
.
(П3)
.
Решаем эти уравнения. Вычисляем расстояния.
м;
м;
м;
м.
Из уравнения (П1) находим:
Н.
Из уравнения (П3) находим:
Н.
Из уравнения (П2) имеем:
Н.
Абсолютное значение реакции опоры в точке A
:
Н.
Чтобы проверить, правильно ли мы определили реакции опор балки, найдем сумму моментов сил относительно другой оси. Если мы нашли реакции правильно, то она должна равняться нулю.
Возьмем ось, проходящую через точку E
.
Вычисляем сумму моментов сил относительно этой оси:
.
Найдем погрешность вычисления суммы моментов. Найденные силы мы округлили до двух знаков после запятой. То есть погрешность определения реакций опор составляет 0,01 Н
.
Расстояния, по порядку величины, примерно равны 10 м. Тогда погрешность вычисления суммы моментов составляет около 10·0,01 = 0,1 Нм
.
Мы получили значение -0,03 Нм
.
Эта величина отличается от нуля не более, чем на величину погрешности. То есть, с учетом погрешности вычислений, сумма моментов относительно другой оси равна нулю. Значит решение правильное, силы реакций найдены верно.
Первым способом мы составили два уравнения для сил и одно - для моментов. Задачу можно решить другим способом, составив два уравнения для моментов и одно для сил.
Воспользуемся тем, что сумма моментов сил равна нулю относительно любой оси. Возьмем вторую ось, которая проходит через точку B
перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой равна нулю:
.
Вычисляем моменты сил относительно оси B
.
;
;
;
;
;
;
;
.
Сумма моментов сил относительно оси B
равна нулю:
;
;
;
(П4)
;
Итак, вторым способом, мы также имеем три уравнения:
(П1)
.
(П3)
;
(П4)
.
Здесь каждое уравнение содержит только одну неизвестную величину. Реакции и определяются из тех же уравнений, что и ранее. Находим силу из уравнения (П4):
Н.
Значение реакции совпало со значением, полученным первым способом из уравнения (П2).
1. Какая система сил является системой сходящихся сил?
2. Сформулируйте условие равновесия системы сходящихся сил в аналитической и геометрической формах.
3. Сформулируйте правила построения силового многоугольника.
4. Приведите формулу для определения равнодействующей системы сходящихся сил.
5. В каком случае проекция силы равна 0?
6. В каком случае проекция силы положительна?
Цель работы: Закрепить теоретические знания и умения определять реакции в опорах балочных систем
Образовательные результаты, соответствующие ФГОС:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ПК 3.1. Конструировать элементы систем водоснабжения и водоотведения, отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха.
ПК 3.2. Выполнять основы расчета систем водоснабжения и водоотведения, отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха.
Обучающийся должен знать основные понятия и законы механики твердого тела.
Форма работы - индивидуальная.
Характер работы - частично-поисковый.
Краткие теоретические и справочно-информационные материалы по теме:
Очень часто в машинах и конструкциях встречаются тела удлиненной формы, называемые балками (или балочными системами). Балки в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балки имеют специальные опорные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий.
Неизвестные числовые значения реакций опорных устройств балки определяются через систему уравнений равновесия.
Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил могут быть представлены в трех формах. Первая (основная форма этих уравнений):
https://pandia.ru/text/80/184/images/image022_18.jpg" width="316" height="43 src=">
Это вторая форма уравнений равновесия.
Третья форма уравнений равновесия представляет собой равенство нулю сумм моментов относительно двух произвольных точек А и В и равенство нулю суммы проекций на некоторую ось х:
https://pandia.ru/text/80/184/images/image024_12.jpg" width="185" height="26 src=">
Вторая и третья формы уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примут одинаковый вид:
https://pandia.ru/text/80/184/images/image026_16.gif" width="58" height="23">или Учебные пособия" href="/text/category/uchebnie_posobiya/" rel="bookmark">учебное пособие / . - 2-е изд. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012.
Проверка знаний и умений (необходимых для выполнения практической работы)
Задание 1.
Задание 2.
1. Заменить распределенную нагрузку ее равнодействующей и указать точку ее приложения.
2. Освободить балку от связей, заменив их реакциями.
3. Выбрать систему уравнений равновесия.
4. Решить уравнения равновесия.
5. Выполнить проверку решения.
Примеры расчета :
Задание 1. Определить величины реакций в заделке. Провести проверку правильности решения.
https://pandia.ru/text/80/184/images/image032_11.gif" width="247 height=19" height="19">
2. Освобождаем балку АВ от связей, отбрасываем заделку в точке А и заменяем действие заделки возможными реакциями, возникающими в опоре – реактивным моментом МА и составляющими реакциями и . Получили плоскую систему параллельно расположенных сил, значит .
3. Выбираем систему уравнений равновесия:
4. Решение начинаем с крайней левой точки.
https://pandia.ru/text/80/184/images/image038_12.gif" width="205" height="25 src=">
В уравнении учитываем все моменты, которые создаются действующими силами находящимися на расстоянии относительно точки А.(Реакции, находящиеся в точке А, в уравнении не учитываются, так как они не создают плеча с точкой).
https://pandia.ru/text/80/184/images/image041_11.gif" width="516" height="45">
Решение выполнено, верно.
Задание 2. Определить величины реакций в шарнирных опорах балки. Провести проверку правильности решения.
Знать теорему Пуансо о приведении силы к точке.
Уметь приводить произвольную плоскую систему сил к точке, определяя величины главного вектора и главного момента системы.
Знать три формы уравнений равновесия и уметь ими пользоваться при определении реакций в опорах балочных систем.
Основные формулы и предпосылки расчета
Виды опор балок и их реакции (рис. П2.1)
Моменты пары сил и силы относительно точки (рис. П2.2)
Главный вектор
Главный момент
Условия равновесия
Проверка:
Проверка:
Упражнения при подготовке к самостоятельной работе
4. Перенести силу F в точку А, используя теорему Пуансо (рис. П2.3).
F = 20кН; АВ = 6м; ВС = 2м.
2. Привести систему сил к точке В , определить главный вектор и главный момент системы сил (рис. П2.4). АВ = 2м; ВС = 1,5м; CD = 1м. F 1 = 18кН; F 2 = 10кН; F 3 = 30кН; т = 36кН-м.
3. Система сил находится в равновесии. Определить величину момента пары т (рис. П2.5).
F 1 = F 1 ’ = 10 кН; F 2 = F 2 ’ = 20кН.
4. Нанести реакции в опорах балок 1 и 2 (рис. П2.6).
6. Записать систему уравнений равновесия для определения реакций в опоре защемленной балки.
7. Записать систему уравнений равновесия для определения реакций в опорах двухопорной балки, закрепленной на двух шарнирах.
Расчетно-графическая работа №2. Определение реакций в опорах балочных систем под действием сосредоточенных сил и пар сил
Задание 1. Определить величины реакций в опоре защемленной балки. Провести проверку правильности решения.
|
|
Расчетно-графическая работа №3. Определение величин реакций в опорах балочных систем под действием сосредоточенных и распределенных нагрузок
Задание 1. Определить величины реакций в заделке. Провести проверку правильности решения.
Задание 2. Определить величины реакций в шарнирных опорах балки. Провести проверку правильности решения.
При защите работ ответить на вопросы карт с тестовыми заданиями.
Тема 1.4. Статика. Произвольная плоская система сил
ЛЕКЦИЯ 9
Тема 1.7. Основные понятия кинематики. Кинематика точки
Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.
Знать способы задания движения точки (естественный и координатный).
Знать обозначения, единицы измерения, взаимосвязь кинематических параметров движения, формулы для определения скоростей и ускорений (без вывода).
Кинематика рассматривает движение как перемещение в пространстве. Причины, вызывающие движение, не рассматриваются. Кинематика устанавливает способы задания движения и определяет методы определения кинематических параметров движения.
Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах.
Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем.
Уметь выполнять проверку правильности решения.
Виды нагрузок и разновидности опор
Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на
· сосредоточенные и
· распределенные.
Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосредоточенной.
Часто нагрузка распределена по значительной площадке или линии (давление воды на плотину, давление снега на крышу и т.п.), тогда нагрузку считают распределенной.
В задачах статики для абсолютно твердых тел распределенную нагрузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой (рис. 6.1).
q - интенсивность нагрузки; I - длина стержня;
G = ql - равнодействующая распределенной нагрузки.
Разновидности опор балочных систем (см. лекцию 1)
Балка - конструктивная деталь в виде прямого бруса, закрепленная на опорах и изгибаемая приложенными к ней силами.
Высота сечения балки незначительна по сравнению с длиной.
Жесткая заделка (защемление) (рис. 6.2)
Опора не допускает перемещений и поворотов. Заделку заменяют двумя составляющими силы Rax и и парой с моментом Mr.
Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравнений в виде
Каждое уравнение имеет одну неизвестную величину и решается без подстановок.
Для контроля правильности решений используют дополнительное уравнение моментов относительно любой точки на балке, например
Шарнирно-подвижная опора (рис. 6.3)
Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 6.4)
Опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заменена двумя составляющими силы вдоль осей координат.
Балка на двух шарнирных опорах (рис. 6.5)
|
Не известны три силы, две из них - вертикальные, следовательно, удобнее для определения неизвестных использовать систему уравнений во второй форме:
Составляются уравнения моментов относительно точек крепления балки. Поскольку момент силы, проходящей через точку крепления, равен 0, в уравнении останется одна неизвестная сила.
Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение
При равновесии твердого тела, где можно выбрать три точки, не лежащие на одной прямой, удобно использовать систему уравнений в третьей форме (рис. 6.6):
Примеры решения задач
Пример 1. Одноопорная (защемленная) балка нагружена сосредоточенными силами и парой сил (рис. 6.7). Определить реакции заделки.
|
2. В заделке может возникнуть реакция, представляемая двум: составляющими (R Ay ,R Ax ), и реактивный момент М A . Наносим на схему балки возможные направления реакций.
Замечание. Если направления выбраны неверно, при расчетах получим отрицательные значения реакций. В этом случае реакции на схеме следует направить в противоположную сторону, не повторяя расчета.
В силу малой высоты считают, что все точки балки находятся на одной прямой; все три неизвестные реакции приложены в одной точке. Для решения удобно использовать систему уравнений равновесия в первой форме. Каждое уравнение будет содержать одну неизвестную.
3. Используем систему уравнений:
Знаки полученных реакций (+), следовательно, направления реакций выбраны верно.
3. Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов относительно точки В.
Подставляем значения полученных реакций:
Решение выполнено верно.
Пример 2. Двухопорная балка с шарнирными опорами А и В нагружена сосредоточенной силой F, распределенной нагрузкой с интенсивностью q и парой сил с моментом т (рис. 6.8а). Определить реакции опор.
|
Решение
1. Левая опора (точка А) - подвижный шарнир, здесь реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.
Правая опора (точка В) - неподвижный шарнир, здесь наносим две составляющие реакции вдоль осей координат. Ось Ох совмещаем с продольной осью балки.
2. Поскольку на схеме возникнут две неизвестные вертикальные реакции, использовать первую форму уравнений равновесия нецелесообразно.
3. Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной:
G = ql; G = 2*6 = 12 кН.
Сосредоточенную силу помещаем в середине пролета, далее задача решается с сосредоточенными силами (рис. 6.8, б).
4. Наносим возможные реакции в опорах (направление произвольное).
5. Для решения выбираем уравнение равновесия в виде
6. Составляем уравнения моментов относительно точек крепления:
Реакция отрицательная, следовательно, R А y нужно направить н противоположную сторону.
7. Используя уравнение проекций, получим:
R Bx - горизонтальная реакция в опоре В.
Реакция отрицательна, следовательно, на схеме ее направление будет противоположно выбранному.
8. Проверка правильности решения. Для этого используем четвертое уравнение равновесия
Подставим полученные значения реакций. Если условие выполнено, решение верно:
5,1 - 12 + 34,6 – 25 -0,7 = 0.
Пример 3. Определить опорные реакции балки, показанной на рис. 1.17, а .
Решение
Рассмотрим равновесие балки АВ. Отбросим опорное закрепление (заделку) и заменим его действие реакциями Н А, V A и т А (рис. 1.17, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (рис. 1.17,6) и составляем уравнения равновесия:
Составим проверочное уравнение
следовательно, реакции определены верно.
Пример 4. Для заданной балки (рис. 1.18, а ) определить опорные реакции.
Решение
Рассматриваем равновесие балки АВ. Отбрасываем опорные закрепления и заменяем их действие реакциями (рис. 1.18,6). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (см. рис. 1.18,6) и составляем уравнения равновесия:
q 1 ,
Расстояние от точки А q 1 (а + b);
Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q 2 ;
Расстояние от точки А до линии действия равнодействующей q 2 (d - с).
Подставив числовые значения, получим
откуда V B = 28,8 кН;
- расстояние от точки В до линии действия равнодействующей q 1 (a+b);
- расстояние от точки В до линии действия равнодействующей q 2 (d - c).
откуда V A = 81,2 кН.
Составляем проверочное уравнение:
Пример 5. Для заданной стержневой системы (рис. 1.19, а ) определить усилия в стержнях.
Решение
Рассмотрим равновесие балки AB, к которой приложены как заданные, так и искомые силы.
На балку действуют равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, сила Р и сосредоточенный момент т .
Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями (рис. 1.19, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (см. рис. 1.19, б ) и составляем уравнения равновесия:
Где q (a + b) - равнодействующая
равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (на чертеже она показана штриховой линией).
Подставив числовые значения, получим:
откуда N AC = 16 кН;
Напомним, что сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю;
где N BD cos α N BD ", N BF cos β - вертикальная составляющая силы N BF (линии действия горизонтальных составляющих сил N BD и N BF проходят через точку А и поэтому их моменты относительно точки А равны нулю). Подставляя числовые значения и учитывая, что N BD = 1,41 N BF , получаем:
откуда N BF = 33,1 кН.
Тогда N BD = 1,41*33,1 = 46,7 кН.
Для определения усилий в стержнях не было использовано уравнение равновесия: ΣP to = 0. Если усилия в стержнях определены верно, то сумма проекций на ось v всех сил, действующих на балку, должна быть равна нулю. Проектируя все силы на ось v, получаем:
следовательно, усилия в стержнях определены верно.
Пример 6. Для заданной плоской рамы (рис. 1.20, а ) определить опорные реакции
Решение
Освобождаем раму от связей и заменяем их действие реакциями N А, V A , V B (рис. 1.20, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (см. рис. 1.20, б
) и составляем уравнения равновесия:
где Р 2 cos α - вертикальная составляющая силы Р 2 ;
P 2 sin α - горизонтальная составляющая силы Р 2 ;
2qa - равнодействующая равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (показана штриховой линией);
откуда V B = 5,27qa;
откуда H A =7qa
линия действия силы Р 2 cosα проходит через точку В и поэтому ее момент относительно точки В равен нулю
откуда V A = 7qa.
Для определения реакций не было использовано уравнение равновесия ΣP iv =0. Если реакции определены верно, то сумма проекций на ось v всех сил, действующих на раму, должна быть равна нулю. Проектируя все силы на ось v, получаем:
следовательно, опорные реакции определены верно.
Напомним, что сумма проекций сил, составляющих пару с моментом т, на любую ось равна нулю.
Контрольные вопросы и задания
1. Замените распределенную нагрузку сосредоточенной и определите расстояние от точки приложения равнодействующей до опоры А (рис. 6.9).
2. Рассчитайте величину суммарного момента сил системы относительно точки А (рис. 6.10).
3. Какую из форм уравнений равновесия целесообразно использовать при определении реакций в заделке?
4. Какую форму системы уравнений равновесия целесообразно использовать при определении реакций в опорах двухопорной балки и почему?
6. Определите вертикальную реакцию в заделке для балки, представленной на рис. 6.11.
Решение
2 . В заделке может возникнуть реакция, представляемая двум: составляющими (R Ay ,R Ax ), и реактивный момент М A . Наносим на схему балки возможные направления реакций.
Замечание. Если направления выбраны неверно, при расчетах получим отрицательные значения реакций. В этом случае реакции на схеме следует направить в противоположную сторону, не повторяя расчета.
В силу малой высоты считают , что все точки балки находятся на одной прямой; все три неизвестные реакции приложены в одной точке. Для решения удобно использовать систему уравнений равновесия в первой форме. Каждое уравнение будет содержать одну неизвестную.
Знаки полученных реакций (+), следовательно, направления ре-акций выбраны верно.
3 . Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов относительно точки В.
Подставляем значения полученных реакций:
Решение выполнено верно.
Пример 2. Двухопорная балка с шарнирными опорами А и В нагружена сосредоточенной силой F, распределенной нагрузкой с интенсивностью q и парой сил с моментом т (рис. 6.8а). Определить реакции опор.