Является немало важной даже в повседневной жизни. Вычитание часто может пригодиться при подсчете сдачи в магазине. Например, у вас с собой одна тысяча (1000) рублей, а ваши покупки составляют 870. Вы, еще не расплатившись, поинтересуетесь: «А сколько же сдачи у меня останется?». Так вот, 1000-870 и будет 130. И таких подсчетов много разных и не освоив эту тему, будет трудно в реальной жизни.Вычитание – это арифметическое действие, в процессе которого из первого числа вычитается второе число, а итогом будет третье.
Формула сложения выражается так: a - b = c
a – яблок у Васи изначально.
b – количество яблок отданных Пете.
c – яблок у Васи после передачи.
Подставим в формулу:
Вычитание чисел легко освоить любому первокласснику. Например, из 6 нужно вычесть 5. 6-5=1, 6 больше числа 5 на единицу, значит, и ответ будет единицей. Можно для проверки произвести сложение 1+5=6. Если вы не знакомы со сложением, то можете прочитать нашу .
Большое число делится на части, возьмем число 1234, а в нем: 4-единицы, 3-десятки, 2-сотни, 1-тысячи. Если вычитать единицы, то все легко и просто. Но допустим пример: 14-7. В числе 14: 1-десяток, а 4- единицы. 1 десяток – 10 единиц. Тогда получаем 10+4-7, сделаем так: 10-7+4, 10 – 7 =3, а 3+4=7. Ответ найден верно!
Рассмотрим пример 23 -16. Первое число 2 десятка и 3 единицы, а второе 1 десяток и 6 единиц. Представим число 23 как 10+10+3, а 16 как 10+6, тогда представим 23-16 как 10+10+3-10-6. Тогда 10-10=0, останется 10+3-6, 10-6=4, тогда 4+3=7. Ответ найден!
Аналогично делается с сотнями и тысячами
Ответ: 3411.
Представим арбуз. Арбуз – это одно целое, а разрезав пополам, мы получим что-то меньшее, чем единица верно? Половинка единицы. Как это записать?
½, так мы обозначаем половину одного целого арбуза, а если поделить арбуз на 4 равные части, то каждая из них будет обозначаться ¼. И так далее…
вычитание дробей, как это?
Все просто. Вычтем из 2/4 ¼ -ую. При вычитании важно, чтобы знаменатель(4) одной дроби совпадал со знаменателем второй. (1) и (2) – называются числителями.
Итак, вычитаем. Убедились, что знаменатели одинаковые. Тогда вычитаем числители (2-1)/4, так получаем 1/4.
Вычитание пределов – это не сложно. Тут достаточно простой формулы, в которой говорится, что если предел разности функций стремится к числу а, то это равносильно разности этих функций, предел каждой из которых стремится к числу а.
Смешанное число - это целое число с дробной частью. То есть если числитель меньше знаменателя – то дробь меньше единицы, а если числитель больше знаменателя, то дробь больше единицы. Смешанное число - это дробь, которая больше единицы и у которой выделена целая часть, изобразим на примере:
Чтобы произвести вычитание смешанных чисел, нужно:
Привести дроби к общему знаменателю.
Целую часть внести в числитель
Произвести вычисление
Вычитание – это арифметическое действие, в процессе которого ищется разность 2 чисел и ответов является третье.Формула сложения выражается так: a - b = c .
Примеры и задачи Вы сможете найти ниже.
При вычитании дробей следует помнить, что:
Дана дробь 7/4, получаем, что 7 больше 4, а значит 7/4 больше 1. Как выделить целую часть? (4+3)/4, далее получаем сумму дробей 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Итог: одна целая, три четвертых.
Первый класс – начало пути, начало обучения и изучения основ, в том числе и вычитания. Обучение стоит вести в игровой форме. Всегда в первом классе вычисления начинают с простых примеров на яблоках, конфетах, грушах. Используется этот метод не зря, а потому что детям намного интереснее, когда с ними играют. И это не единственная причина. Яблоки, конфеты и тому подобное дети видели очень часто в свой жизни и имели дело с передачей и количеством, поэтому научить сложению таких вещей будет не сложно.
Задачи на вычитание первоклассникам можно придумать целую тучу, к примеру:
Задача 1. Утром, гуляя по лесу ежик нашел 4 грибочка, а вечером, когда пришел домой, ежик на ужин скушал 2 грибочка. Сколько грибочков осталось?
Задача 2. Маша пошла в магазин за хлебом. Мама дала маше 10 рублей, а хлеб стоит 7 рублей. Сколько Маша должна принести денег домой?
Задача 3. В магазине утром на прилавке находилось 7 килограмм сыра. До обеда посетители выкупили 5 килограмм. Сколько килограмм осталось?
Задача 4. Рома вынес во двор конфеты, который дал ему папа. У Ромы было 9 конфет, а своему другу Никите он дал 4. Сколько конфет осталось у Ромы?
Первоклассники в основном решают задачи, в которых ответом будет число от 1 до 10.
Второй класс это уже выше первого, а соответственно и примеры для решения тоже. Итак, приступим:
Однозначные числа:
Двузначные числа:
Суть вычитания в 3-4 классе – вычитание в столбик больших чисел.
Рассмотрим пример 4312-901. Для начала запишем числа друг под другом, так чтобы из числа 901 единица была под 2, 0 под 1, 9 под 3.
Затем производим вычитание справа налево, то есть из числа 2 число 1. Получаем единицу:
Вычитая из тройки девять, нужно позаимствовать 1 десяток. То есть из 4 вычитаем 1 десяток. 10+3-9=4.
А так как у 4 заняли 1, то 4-1=3
Ответ: 3411.
Пятый класс – это время для работы над сложными дробями с разными знаменателями. Повторим правила:1. Вычитаются числители, а не знаменатели.
Итак, вычитаем. Убедились, что знаменатели одинаковые. Тогда вычитаем числители (2-1)/4, так получаем 1/4. При складывании дробей, вычитаются только числители!
2. Чтобы осуществить вычитание, убедитесь, что знаменатели равны.
Попалась разность дробей, к примеру, 1/2 и 1/3, то домножить придется не одну дробь, а обе, чтобы привести к общему знаменателю. Самый простой способ сделать это: первую дробь умножить на знаменатель второй, а вторую дробь на знаменатель первой, получаем: 3/6 и 2/6. Складываем (3-2)/6 и получаем 1/6.
3. Сокращение дроби производится путем деления числителя и знаменателя на одинаковое число.
Дробь 2/4 можно привести к виду ½. Почему? Что из себя представляет дробь? ½ = 1:2, а если делить 2 на 4, то это тоже самое, что делить 1 на 2. Поэтому дробь 2/4 = 1/2.
4. Если дробь больше единицы, то можно выделить целую часть.
Дана дробь 7/4, получаем, что 7 больше 4, а значит 7/4 больше 1. Как выделить целую часть? (4+3)/4, далее получаем сумму дробей 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Итог: одна целая, три четвертых.
Ссылка на презентацию находится ниже. Презентация рассматривает основные вопросы вычитания шестого класса:Скачать презентацию
Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.
Игра «быстрый счет» поможет вам усовершенствовать свое мышление . Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ «да» или «нет» на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.
«Математические матрицы» великолепное упражнение для мозга детей , которое поможет вам развить его мыслительную работу, устный счет, быстрый поиск нужных компонентов, внимательность. Суть игры заключается в том, что игроку предстоит из предложенных 16 чисел найти такую пару, которая в сумме даст данное число, например на картинке ниже данное число «29», а искомая пара «5» и «24».
Игра «числовой охват» нагрузит вашу память во время занятий с данным упражнением.
Суть игры – запомнить цифру, на запоминание которой отводится около трех секунд. Затем нужно ее воспроизвести. По мере прохождения этапов игры, количество цифр растет, начинаете с двух и далее.
Прекрасная игра, с которой вы сможете расслабиться телом, а напрячься мозгом. На скриншоте показан пример данной игры, в которой будет вопрос, связанный с картинкой, а вам надо будет ответить. Время ограниченно. Как много вы успеете ответить?
Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.
Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.
Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.
Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.
Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика.
Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.
Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.
Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.
Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.
Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.
Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.
Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:
Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.
Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.
Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.
Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!
Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.
Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:
Разберем все это на конкретных примерах:
Задача. Найдите значение выражения:
В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:
Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.
Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.
Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.
Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:
Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:
Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.
Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.
Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.
В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:
Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.
Класс: 5
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
Образовательные:
Развивающие:
Воспитательные:
Знать: правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: экран, мультимедиа, презентация "Сложение и вычитание обыкновенных дробей" (приложение 1), модель обыкновенной дроби (рисунок 1); бланк с тестом, таблицей ответов (рисунок 2), смайлики для рефлексии (рисунок 3), нарисованная ёлочка (рисунок 4).
№ п/п | Этап урока | Время | Задачи этапа |
1. | Организационный момент. | 3 мин. | Настроить учащихся на урок. |
2. | Актуализация знаний. Повторение пройденного материала. | 10 мин. | Повторить правильные, неправильные дроби, сокращение дробей, приведение дробей к новому знаменателю, выделение целой части. |
3. | Применение правил сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. | 10 мин. | Повторить сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. |
4. | Физкультминутка. | 3 мин. | Снять утомление ребенка, обеспечить активный отдых и повысить умственную работоспособность учащихся. |
5. | Применение правил сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями. | 13 мин. | Повторить сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями. |
6. | Домашнее задание. | 2 мин. | Инструктаж по домашнему заданию. |
7. | Итог урока. | 4 мин. | Подведение итога. Выставление оценок. Рефлексия. |
Ход урока
1). Организационный момент.
- "Сложение и вычитание обыкновенных дробей".
Предлагается сформулировать цели и задачи урока, в ходе обсуждения они формулируются (учитель может их записать на доске).
2). Актуализация знаний. Повторение пройденного материала. (Слайд № 1).
а) Сегодня урок мы начнём с аукциона. Выставлен единственный лот "обыкновенная дробь" (рисунок 1) . Вспомним, что мы знаем об обыкновенных дробях:
Числитель;
Знаменатель;
Дробная черта - деление;
На b частей делим, берём а таких частей;
Правильная;
Неправильная;
Выделить целую часть;
Сократить;
Привести к новому знаменателю;
Примеры.
Кто последний сказал об обыкновенной дроби, тому достаётся модель обыкновенной дроби.
б) Закрепим наши знания при выполнении теста (бланк ответов, задание №1, слайд № 2).
ТЕСТ
1. Найдите правильную дробь:
А); Б) ; В) .
2. Найдите неправильную дробь:
А); Б) ; В) .
3. Сократите дробь :
А); Б) ; В) .
4. Приведите дробь к знаменателю 28:
А); Б) ; В) .
5. Выделите целую часть :
А); Б) ; В) .
Ответы вписывают в таблицу.
1 2 3 4 5
Подвести итог:
3).Применение правил сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.
Какие обыкновенные дроби мы умеем складывать?
Дроби с одинаковыми и разными знаменателями (слайд № 3).
Повторим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить без изменения.
Закрепим знания на практике.
Учащимся предлагается вычислить устно примеры и ответы записать в бланк ответов задания № 2.
Обменяться тетрадями, выполнить взаимопроверку.
Подвести итог:
4). Физкультминутка.
5). Применение правил сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.
Мы складывали дроби с одинаковыми знаменателями. Что необходимо выполнить, чтобы сложить обыкновенные дроби с разными знаменателями? (слайд № 4).
Чтобы выполнить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, надо привести дроби к общему знаменателю, найдя дополнительные множители. Выполнить сложение и вычитание обыкновенных дробей уже с одинаковыми знаменателями.
В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему - сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров
Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.
Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.
При-мер 1. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние
Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: .
При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: . Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.
При-мер 2. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние
Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .
От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.
При-мер 3. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .
При-мер 4. Вы-честь дроби: .
Ре-ше-ние
Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .
При-мер 5. Вы-честь дроби: .
Ре-ше-ние: .
При-мер 6. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: .
В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.
При-мер 7. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: .
При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.
При-мер 8. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).
Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.
Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.
При-мер 1. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:
Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.
Опре-де-ле-ние
Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .
Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.
; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .
После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).
Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.
По-лу-ча-ем: .
Ответ: .
Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.
При-мер 2. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:
Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.
.
Ответ: .
Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :
1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.
2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).
3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.
4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.
Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.
Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.
Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.
Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.
А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.
Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:
Короче, в общем виде:
А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:
Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.
Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .
Ещё пример:
Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:
Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:
Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!
Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:
И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.
Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...
Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.
Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.
А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да...
Итак, нам надо сложить два дробных выражения:
Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:
И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:
Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...
В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:
Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!
И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.
Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)
Вычислить:
Ответы (в беспорядке):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Умножение/деление дробей - в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.