Mesterkurzus "A függvény származtatása a vizsga feladataiban. Mesterkurzus "A függvény származéka a vizsgán" anyag a vizsgára való felkészüléshez (gia) algebrában (11. évfolyam) a Származék a vizsga megoldásához témában
Önkormányzati oktatási intézmény
"Saltykovskaya középiskola
Rtishchevsky kerület a Szaratov régióban "
Mesterkurzus matematikából
a 11. osztályban
ebben a témában
"DERIVATÍV FUNKCIÓ
A HASZNÁLAT FELADATÁBAN "
Matematikatanár vezényel
Beloglazova L.S.
2012-2013 tanév
A mesterkurzus célja : fejlessze a diákok készségeit az elméleti ismeretek alkalmazásában a "Származék származéka" témában az egységes államvizsga problémáinak megoldásához.
Feladatok
Nevelési: általánosítani és rendszerezni a hallgatók témában szerzett tudását
"A függvény származéka", vegye figyelembe a USE -problémák prototípusait ebben a témában, és biztosítsa a diákok számára, hogy teszteljék tudásukat a problémák önálló megoldásakor.
Fejlesztés: elősegíti a memória, a figyelem, az önbecsülés és az önkontroll képességek fejlesztését; alapvető kulcskompetenciák kialakítása (összehasonlítás, egymás mellé helyezése, tárgyak osztályozása, meghatározott algoritmusok alapján az oktatási probléma megoldásának megfelelő módjainak meghatározása, a bizonytalan helyzetben való önálló cselekvés képessége, tevékenységük ellenőrzése és értékelése, megtalálása és kiküszöbölni a felmerült nehézségek okait).
Nevelési: hozzájárul:
a tanulók iránti felelősségteljes hozzáállás kialakítása a tanulásban;
a matematika iránti tartós érdeklődés kialakítása;
pozitív belső motiváció megteremtése a matematika tanulmányozására.
Technológiák: egyénileg differenciált tanulás, IKT.
Tanítási módszerek: verbális, vizuális, gyakorlati, problémás.
A munka formái: egyénileg, frontálisan, párban.
Az óra felszerelése és anyagai: kivetítő, képernyő, számítógép minden diák számára, szimulátor (1. függelék), bemutató a leckéhez (2. számú melléklet), egyénileg - differenciált kártyák a páros önálló munkához (3. számú melléklet), az internetes oldalak listája, egyedileg megkülönböztetve házi feladat (4. számú melléklet).
Magyarázat a mesterkurzushoz. Ezt a mesterkurzust a 11. osztályban tartják, hogy felkészüljenek az egységes államvizsgára. Célja a "Származék származtatása" témakör elméleti anyagának alkalmazása a vizsgafeladatok megoldásában.
A mesterkurzus időtartama- 30 perc.
A mesterkurzus felépítése
I. Szervezeti pillanat -1 perc.
II A téma közlése, a mesterkurzus célja, az oktatási tevékenységek motiválása - 1 perc.
III. Frontális munka. Képzés "Feladatok В8 ЕГЭ". A szimulátorral végzett munka elemzése - 6 perc.
IV Egyénileg - differenciált munka párban. Független problémamegoldás В14. Kölcsönös ellenőrzés - 7 perc.
V. Az egyéni házi feladatok ellenőrzése. Probléma a vizsga C5 paraméterével
3 perc
VI. Online tesztelés. A teszteredmények elemzése - 9 perc.
Vii. Egyénileg - differenciált házi feladat -1 perc.
VIII. Osztályonkénti osztályzatok - 1 perc
IX. Lecke összefoglaló. Tükröződés -1 perc.
A mesterkurzus fejlődése
én .Szervezési idő.
II A téma kommunikációja, a mesterkurzus célja, az oktatási tevékenységek motiválása.
(1-2. Dia, 2. számú melléklet)
Leckénk témája: "Egy függvény származéka a vizsga feladataiban". Mindenki ismeri a mondást: "Kicsi orsó, de drága". A matematika egyik ilyen „orsója” a derivált. A származékot a matematika, fizika, kémia, közgazdaságtan és más tudományágak számos gyakorlati feladatának megoldására használják. Lehetővé teszi a problémák egyszerű, gyönyörű és érdekes megoldását.
A "Származékos" témakör az egységes államvizsga B részének (B8, B14) feladataiban kerül bemutatásra. Egyes C5 feladatok származtatott módszerrel is megoldhatók. De ezeknek a problémáknak a megoldásához jó matematikára és a kereten kívüli gondolkodásra van szükség.
Olyan dokumentumokkal dolgozott, amelyek szabályozzák a 2013 -as matematika egységes államvizsga ellenőrző mérőanyagainak szerkezetét és tartalmát. Vonja le azt a következtetést, hogymilyen ismeretekre és készségekre van szüksége a USE problémák sikeres megoldásához a "származékos" témában.
(3-4. Dia, 2. sz. Melléklet)
Mi tanult"Kodifikátor tartalmi elemek a MATH -ban kontroll mérőanyagok előkészítéséhez az egységes államvizsgához ",
"A diplomások képzési szintjére vonatkozó követelmények kodifikátora","Leírás ellenőrző mérőanyagok ","Demonstrációs lehetőségaz egységes 2013 -as államvizsga ellenőrző mérőanyagait "éskiderült milyen ismeretek és készségek szükségesek a függvényről és származékáról a "Származék" témakör problémáinak sikeres megoldásához.
Szükséges
TUDNI
NS a származtatott ügyletek kiszámításának szabályai;
alapvető elemi függvények származékai;
a származék geometriai és fizikai jelentése;
a függvény grafikonjának érintő egyenlete;
függvény tanulmányozása derivált segítségével.
KÉPESNEK LENNI
végezzen műveleteket függvényekkel (írja le a függvény viselkedését és tulajdonságait a grafikon szerint, keresse meg a legmagasabb és a legalacsonyabb értékeket).
HASZNÁLAT
a gyakorlatban és a mindennapi életben megszerzett ismereteket és készségeket.
Elméleti ismeretekkel rendelkezik a Derivative témában. Ma fogunkTANULJON A HASZNÁLATI PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁRA VONATKOZÓ DERIVATÍV FUNKCIÓRÓL SZÓLÓ TUDÁSOK ALKALMAZÁSÁRA. ( 4. dia, 2. számú melléklet)
Nem hiába Arisztotelész ezt mondta „Az elme nem csak tudásban van, hanem abban is, hogy képes -e a tudást a gyakorlatban alkalmazni”( 5. dia, 2. számú melléklet)
A lecke végén visszatérünk az óra céljához, és megtudjuk, elértük -e?
III ... Frontális munka. "B8 HASZNÁLAT" feladat képzése (1. függelék) . A szimulátorral végzett munka elemzése.
Válassza ki a helyes választ a négy javasolt közül.
Véleménye szerint milyen nehézségeket okoz a B8 feladat elvégzése?
Mit gondol, milyen tipikus hibákat követnek el a diplomások a vizsgán, amikor megoldják ezt a problémát?
Amikor a B8. Feladat kérdéseire válaszol, képesnek kell lennie leírni a függvény viselkedését és tulajdonságait a derivált grafikonjából, és a függvény grafikonjából - a függvény deriváltjának viselkedését és tulajdonságait. Ehhez pedig jó elméleti ismeretekre van szükség a következő témákban: „A származék geometriai és mechanikai jelentése. A függvény grafikonjának érintője. A derivált alkalmazása a függvények tanulmányozására ”.
Elemezze, milyen feladatok okoztak nehézségeket?
Milyen elméleti kérdéseket kell tudnia?
IV. Egyénileg - differenciált munka párban. Független problémamegoldás В14. Kölcsönös ellenőrzés. (3. számú melléklet)
Ne felejtse el a problémák megoldására szolgáló algoritmust (B14 USE) a szélső pontok, a függvény szélsőségeinek, a függvény legnagyobb és legkisebb értékeinek megkereséséhez a derivált használatával.
Problémák megoldása a származék használatával.
A diákok a következő problémákkal szembesülnek:
"Gondolja meg, lehetséges -e bizonyos problémákat В14 más módon megoldani, származék használata nélkül?"
1 pár(Lukyanova D., Gavryushina D.)
1) B14. Keresse meg az y = 10x-ln (x + 9) +6 függvény minimális pontját
2) B14.Keresse meg a legnagyobb függvényértékety =
- A második problémát kétféleképpen próbálja megoldani.
2 pár(Saninskaya T., Sazanov A.)
1) B14.Keresse meg az y = (x-10) függvény legkisebb értékét a szegmensen
2) B14. Keresse meg az y = - függvény maximális pontját 
(A diákok megvédik megoldásukat azzal, hogy felírják a táblára a feladatok megoldásának fő lépéseit. A diákok 1 pár (Lukyanova D., Gavryushina D.) adjon két módot a (2) probléma megoldására.
Egy probléma megoldása. Következtetés a diákok számára:
"A B14 néhány feladata HASZNÁLJA a legkisebb és a legnagyobb érték A függvények a függvény tulajdonságaira támaszkodva derivátum használata nélkül is megoldhatók. "
Elemezze, milyen hibát követett el a feladatban?
Milyen elméleti kérdéseket kell megismételni?
V. Az egyéni házi feladatok ellenőrzése. Probléma a C5 paraméterrel (USE) ( 7-8. Dia, 2. számú melléklet)
Lukjanova K. egyéni házi feladatot kapott: a vizsgára való felkészítés kézikönyveiből válasszon ki egy problémát a paraméterrel (C5), és oldja meg a derivált segítségével.
(A hallgató a funkcionális-grafikus módszerre támaszkodva adja meg a probléma megoldását, mint a C5 USE problémák megoldásának egyik módját, és rövid magyarázat ennek a módszernek).
Milyen ismeretekre van szükség a funkcióról és származékáról a C5 USE problémák megoldása során?
V I. Оn - on -line tesztelés a B8, B14 feladatok szerint. A teszteredmények elemzése.
A lecke tesztelésére szolgáló webhely:
Ki nem követett el hibákat?
Kinek volt nehézsége a tesztelésben? Miért?
Milyen feladatokban követtek el hibákat?
Végezetül, milyen elméleti kérdéseket kell tudnia?
VI ÉN. Egyénileg - differenciált házi feladat
(9. dia, 2. számú melléklet), (4. számú melléklet).
Elkészítettem az internetes oldalak listáját a vizsgára való felkészüléshez. Ön is ellátogathat ezekre a webhelyekre Névjegyn – vonaltesztelés. A következő leckéhez a következőket kell tennie: 1) tekintse át az elméleti anyagot a "Függvény származéka" témában;
2) az oldalon " Nyitott bank matematikai feladatok "( ) találja meg a B8 és B14 feladatok prototípusait, és oldjon meg legalább 10 feladatot;
3) Lukyanova K., Gavryushina D. a paraméterekkel kapcsolatos problémák megoldására. A többi tanuló megoldja az 1-8. Feladatokat (1. lehetőség).
VI II. Lecke osztályzatok.
Hogyan értékelné magát egy leckében?
Ön szerint jobban teljesíthetett volna a leckében?
IX. Lecke összefoglaló. Visszaverődés
Foglaljuk össze munkánkat. Mi volt a lecke célja? Ön szerint sikerült?
Nézd meg a táblát, és egy mondatban, a mondat elejének kiválasztásával folytasd a számodra legmegfelelőbb mondatot.
Éreztem…
Tanultam…
Sikerült …
Képes voltam ...
Megpróbálom …
Ezen meglepődtem …
Akartam…
Mondhatja, hogy a lecke során gyarapodott a tudásállománya?
Tehát megismételte a függvény származékával kapcsolatos elméleti kérdéseket, alkalmazták tudásukat a USE -feladatok prototípusainak megoldásában (B8, B14), és K. Lukyanova a C5 -ös feladatot egy paraméterrel hajtotta végre, ami fokozott komplexitású feladat.
Örömmel dolgoztam veled, és Remélem, hogy a matematikaórákon szerzett ismereteit nem csak sikeresen tudja majd alkalmazni vizsga letétele, de további tanulmányaiban is.
A leckét egy olasz filozófus szavaival szeretném befejezni Aquinói Tamás"A tudás olyan értékes dolog, hogy nem szégyen bármilyen forrásból beszerezni." (10. dia, 2. számú melléklet).
Sok sikert kívánok a vizsgára való felkészüléshez!
A lecke céljai:
Oktatási: A „származék alkalmazása” témakör elméleti információinak áttekintése a témával kapcsolatos ismeretek általánosítása, megszilárdítása és javítása érdekében.
Megtanítani, hogyan kell a megszerzett elméleti ismereteket alkalmazni különféle matematikai feladatok megoldásában.
Fontolja meg a bázis deriváltjának fogalmához kapcsolódó USE -feladatok megoldásának módszereit és fokozott szint nehézségek.
Nevelési:
Készségfejlesztés: tevékenységek tervezése, optimális ütemben való munkavégzés, csoportmunka, összegzés.
A képességeik felmérésének képességének, az elvtársakkal való kommunikáció képességének fejlesztése.
A felelősségérzet és az empátia elősegítése, a csapatmunka képességének elősegítése; készségek .. az osztálytársak véleményére utal.
Fejlesztés: Legyen képes megfogalmazni a vizsgált téma kulcsfogalmait. Fejlessze a csapatmunka készségeket.
Az óra típusa: kombinált:
Általánosítás, a képességek megszilárdítása, az elemi funkciók tulajdonságainak alkalmazása, a már kialakult ismeretek, képességek és készségek alkalmazása, egy származék alkalmazása nem szabványos helyzetekben.
Felszerelés: számítógép, kivetítő, képernyő, segédanyagok.
Tanterv:
1. Szervezési tevékenységek
A hangulat tükröződése
2. A tanuló tudásának frissítése
3. Szóbeli munka
4. Önálló munkavégzés csoportokban
5. A befejezett munka védelme
6. Önálló munka
7. Házi feladat
8. Lecke összefoglaló
9. Hangulat tükröződése
Az órák alatt
1. Hangulat tükröződése.
Srácok, jó reggelt! Ezzel a hangulattal (a nap képét mutatva) érkeztem az órájára!
Milyen a hangulatod?
Az asztalon kártyák vannak a nap, a felhők mögötti nap és a felhők képeivel. Mutasd meg, milyen a hangulatod.
2. A próbavizsgák eredményeit, valamint az elmúlt évek záró minősítésének eredményeit elemezve megállapíthatjuk, hogy a diplomások legfeljebb 30% -35% -a képes megbirkózni a vizsga munkájából származó matematikai elemzési feladatokkal. nem mindegyikük végzi helyesen a diagnosztikai munkát. Ez az oka a választásunknak. Gyakoroljuk a derivátum használatának készségét a USE -problémák megoldásában.
A végső tanúsítás problémái mellett kérdések és kétségek merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy az ezen a területen megszerzett tudás mennyire lehet és lesz a jövőben is igényes, mennyire indokoltak mind a téma tanulmányozására fordított idő-, mind egészségügyi kiadások.
Miért van szükség derivatívára? Hol találkozunk a származékkal és használjuk? Lehet -e anélkül a matematikában és nem csak?
Diáküzenet 3 perc -
3. Szóbeli munka.
4. Önálló munka csoportokban (3 csoport)
1. csoport feladata
) Mi a derivált geometriai jelentése?
2) a) Az ábra az y = f (x) függvény grafikonját és ennek a grafikonnak az érintőjét mutatja, az x0 abszcisszával megrajzolva. Keresse meg az f (x) függvény deriváltjának értékét az x0 pontban.
b) Az ábra az y = f (x) függvény grafikonját és ennek a grafikonnak az érintőjét mutatja, az x0 abszcisszával egy pontban. Keresse meg az f (x) függvény deriváltjának értékét az x0 pontban.
1. csoport válasz:
1) A függvény deriváltjának értéke az x = x0 pontban megegyezik a függvény grafikonjához rajzolt érintő feltételes együtthatójával az x0 abszcisszával. A nulla együttható megegyezik a az érintő dőlésszöge (vagy más szóval) az érintő által alkotott szög érintőjéhez és .. az Ox tengely iránya)
2) A) f1 (x) = 4/2 = 2
3) B) f1 (x) = - 4/2 = -2
2. csoport feladata
1) Mi a származék fizikai jelentése?
2) Az anyagi pont a törvény szerint egyenes vonalban mozog
x (t) = - t2 + 8t -21, ahol x a referenciaponttól mért távolság méterben, t a mozgás kezdetétől mért másodpercben megadott idő. Keresse meg sebességét (méterben másodpercenként) a t = 3 s időpontban.
3) Az anyagi pont a törvény szerint egyenes vonalban mozog
x (t) = ½ * t2-t-4, ahol x a referenciaponttól mért távolság méterben, t az idő másodpercben, a mozgás kezdetétől számítva. Melyik időpontban (másodpercben) volt a sebessége 6 m / s?
2. csoport válasz:
1) A származék fizikai (mechanikai) jelentése a következő.
Ha S (t) a test egyenes vonalú mozgásának törvénye, akkor a derivált a pillanatnyi sebességet fejezi ki a t időpontban:
V (t) = - x (t) = - 2t = 8 = -2 * 3 + 8 = 2
3) X (t) = 1 / 2t ^ 2-t-4
3. csoport feladata
1) Az y = 3x-5 egyenes párhuzamos az y = x2 + 2x-7 függvény grafikonjának érintőjével. Keresse meg az érintési pont abszcisszáját.
2) Az ábra az y = f (x) függvény grafikonját mutatja (intervallumban definiálva (-9; 8)). Határozza meg ezen az intervallumon hány egész pontot, amelyben az f (x) függvény deriváltja pozitív.
3. csoport válasz:
1) Mivel az y = 3x-5 egyenes párhuzamos az érintővel, akkor az érintő meredeksége egyenlő az y = 3x-5 egyenes meredekségével, azaz k = 3.
Y1 (x) = 3, y1 = (x ^ 2 + 2x-7) 1 = 2x = 2 2x + 2 = 3
2) Az egész pontok olyan pontok, amelyek egész abszcissza értékekkel rendelkeznek.
Az f (x) függvény deriváltja pozitív, ha a függvény növekszik.
Kérdés: Mit mondhat a függvény deriváltjáról, amelyet a "Minél tovább az erdőbe, annál több tűzifa" mondás ír le
Válasz: A derivált pozitív a definíció teljes területén, mivel ez a függvény monoton növekszik
6. Önálló munka (6 lehetőség esetén)
7. Házi feladat.
Képzési munka Válaszok:
Lecke összefoglaló.
„A zene felemelheti vagy megnyugtathatja a lelket, a festészet tetszhet a szemnek, a költészet felébreszti az érzéseket, a filozófia kielégítheti az elme igényeit, a mérnöki tevékenység javíthatja az emberek életének anyagi oldalát. De a matematika mindezeket a célokat el tudja érni. "
Ezt mondta Maurice Kline amerikai matematikus.
Köszönjük munkáját!
ELLENŐRZÉSEN NEM VÉGZŐ GYAKORLAT 2
Funkciódiagramok konvertálása.
Cél
Funkciók grafikonjainak szerkesztése különféle transzformációk segítségével, válasz a probléma kérdésére.
A munka befejezése
Módszertani utasítások
A mű 10 változatra készült, a változat száma egybeesik a listában szereplő sorszám utolsó számjegyével. Például 1, 11, 21, 31 ... hajtson végre 1 opciót, 2,12, 22 ... - 2 opciót stb.
A munka két részből áll: az 1-5. Feladat első része, ezek azok a feladatok, amelyeket teljesíteni kell, hogy jóváírást kapjanak, ha ezeket a feladatokat hibával fejezték be, javítani kell, és be kell nyújtani a munkát ismét ellenőrzésre. A második rész feladatokat tartalmaz, amelyek elvégzésével további értékelést szerezhet: a fő rész +2 feladat - "4", a fő rész +3 feladat - "5".
1. feladat. Egy lineáris függvény grafikonja egyenes, és két pont elegendő annak ábrázolásához. (az x argumentum értékeit önkényesen vesszük, az y függvény értékét pedig úgy számoljuk, hogy behelyettesítjük a képletbe).
Annak ellenőrzéséhez, hogy a függvény grafikonja átmegy -e a megadott ponton, x és y helyett a pont koordinátáit kell helyettesítenie, ha a helyes egyenlőséget kapja, akkor az egyenes átmegy a megadott ponton, ellenkező esetben nem .
2., 3., 4. feladat. A megadott függvények grafikonjait a függvények grafikonjaiból kapjuk , az eltolás használatával az x vagy y tengely mentén.
, először ábrázoljuk a függvényt vagy , majd tolja el "a" mértékegységgel jobbra vagy balra (+ a - balra, - és jobbra), majd tolja el "c" egységgel felfelé vagy lefelé (+ b - fel, -b - le )
Hasonlóan más funkciókkal:
5. feladat Funkciódiagram ábrázolása: , szüksége van: 1) a függvény grafikonjának felépítésére , 2) hagyja változatlanul a grafikon azon részét, amely az x tengely felett van, 3) tükrözze a grafikon azon részét, amely az x tengely alatt van.
Feladatok a független megoldásért.
Kötelező rész
1. feladat. Ábrázoljon egy lineáris függvény grafikonját, határozza meg, hogy a függvény grafikonja átmegy -e a megadott ponton:
2. feladat Ábrázolja egy másodfokú függvény grafikonját, adja meg ennek a függvénynek az értékkészletét.
3. feladat. Készítsen grafikont a függvényről, határozza meg, hogy a megadott függvény növekszik vagy csökken.
4. feladat Készítsd el a függvény grafikonját, válaszolj a probléma kérdésére!
5. feladat. Ábrázolja a modulus előjelet tartalmazó függvény grafikonját!
Feladatok a további értékeléshez.
6. feladat. Ábrázolja egy függvény grafikonját darabonként, és határozza meg, hogy ennek a függvénynek van -e töréspontja:
7. feladat Határozza meg, hogy az egyenletrendszernek hány megoldása van, a válasz az indokolás. A kérdések megválaszolásával vonjon le következtetéseket.
Milyen funkciókat vett fel ebben a munkában?
Mi a lineáris függvény gráfjának a neve?
Mi a másodfokú függvény gráfjának a neve?
Milyen grafikon transzformációkat ismer?
Hogyan helyezkedik el a páros függvény grafikonja a koordinátarendszerben? Páratlan függvény grafikon?
Az y = 3x + 2 egyenes érintő az y = -12x ^ 2 + bx -10 függvény grafikonjával. Keresse meg a b -t, mivel az érintési pont abszcissza kisebb, mint nulla.
Megoldás megjelenítéseMegoldás
Legyen x_0 az y = -12x ^ 2 + bx -10 függvény grafikonjának azon pontjának abszcisszája, amelyen a grafikon érintője áthalad.
A derivált értéke az x_0 pontban egyenlő az érintő meredekségével, azaz y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. Másrészt az érintőpont a függvény mindkét grafikonjához tartozik és az érintő, azaz -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. Megkapjuk az egyenletrendszert \ start (esetek) -24x_0 + b = 3, \\ -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ end (esetek)
Ezt a rendszert megoldva x_0 ^ 2 = 1 kapunk, ami vagy x_0 = -1, vagy x_0 = 1. A feltétel szerint az érintési pont abszcissza kisebb nullánál, ezért x_0 = -1, akkor b = 3 + 24x_0 = -21.
Válasz
Állapot
Az ábra az y = f (x) függvény grafikonját mutatja (amely három egyenes szegmensből álló törött vonal). Az ábra segítségével számítsa ki az F (9) -F (5) értéket, ahol F (x) az f (x) egyik antiderivatívja.
Megoldás megjelenítéseMegoldás
A Newton -Leibniz képlet szerint az F (9) -F (5) különbség, ahol F (x) az f (x) függvény egyik antiderivatívja, egyenlő a görbe vonalú trapéz területével az y = f (x) függvény grafikonja alapján, az y = 0, x = 9 és x = 5 egyenesekkel. A grafikon szerint megállapítjuk, hogy a jelzett ívelt trapéz trapéz, amelynek bázisa 4 és 3, magassága 3.
Területe az \ frac (4 + 3) (2) \ cdot 3 = 10,5.
Válasz
Forrás: „Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. Profil szint ". Szerk. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Állapot
Az ábra az y = f "(x) grafikonját mutatja - az f (x) függvény deriváltját, amelyet a (-4; 10) intervallumon határoztak meg. Keresse meg az f (x) függvény csökkenési intervallumait. válasz, adja meg a legnagyobb közülük hosszát.
Megoldás
Mint tudod, az f (x) függvény csökken azokon az időközönként, amelyek minden pontjában az f "(x) derivált kisebb nullánál. Figyelembe véve, hogy meg kell találni a legnagyobb közülük hosszát, három ilyen az intervallumok természetesen megkülönböztethetők az ábrától: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).
A legnagyobb közülük (5; 9) hossza 4.
Válasz
Forrás: „Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. Profil szint ". Szerk. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Állapot
Az ábra az y = f "(x) grafikonját mutatja - az f (x) függvény deriváltját, amelyet a (-8; 7) intervallumon határoztak meg. Keresse meg az f (x) függvény maximális pontjainak számát, az intervallumhoz tartozik [-6; -2].
.png)
Megoldás
A grafikon azt mutatja, hogy az f (x) függvény f "(x) deriváltja előjelet pluszból mínuszba változtat (pont olyan helyen lesz, ahol maximum lesz) pontosan egy ponton (-5 és -4 között) ezért a [-6; -2] intervallumban pontosan egy maximális pont van.
Válasz
Forrás: „Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. Profil szint ". Szerk. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Állapot
Az ábra az y = f (x) függvény grafikonját mutatja, a (-2; 8) intervallumon definiálva. Határozza meg azoknak a pontoknak a számát, amelyeknél az f (x) függvény deriváltja 0.
Megoldás
A derivált nullával való egyenlősége egy ponton azt jelenti, hogy a függvény grafikonjának e ponton rajzolt érintője párhuzamos az Ox tengelyével. Ezért olyan pontokat találunk, ahol a függvény grafikonjának érintője párhuzamos az Ox tengelyével. Ezen a diagramon az ilyen pontok szélső pontok (maximális vagy minimum pontok). Mint látható, 5 extrém pont van.
Válasz
Forrás: „Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. Profil szint ". Szerk. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Állapot
Az y = -3x + 4 egyenes párhuzamos az y = -x ^ 2 + 5x -7 függvény grafikonjának érintőjével. Keresse meg az érintési pont abszcisszáját.
Megoldás megjelenítéseMegoldás
Az y = -x ^ 2 + 5x -7 függvény grafikonjához tartozó egyenes meredeksége tetszőleges x_0 pontban egyenlő y "(x_0). De y" = -2x + 5, tehát y "(x_0 ) = -2x_0 + 5. A feltételben megadott y = -3x + 4 egyenes szög együtthatója -3. A párhuzamos egyenesek meredeksége azonos. Ezért olyan x_0 értéket találunk, amely = - 2x_0 + 5 = -3.
Kapjuk: x_0 = 4.
Válasz
Forrás: „Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. Profil szint ". Szerk. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Állapot
Az ábrán az y = f (x) függvény grafikonja látható, és a -6, -1, 1, 4 pontok az abszcissza tengelyen vannak megjelölve. Ezen pontok közül melyik a legkisebb a derivált értéke? Jelölje ezt a pontot a válaszában.
Ez a rész tartalmazza USE célok matematikában a függvények és származékaik tanulmányozásával kapcsolatos témákban.
V bemutatási lehetőségek Egységes államvizsga 2020 évben a szám alatt találkozhatnak 14 alapszintre és szám alatt 7 a profil szintjéhez.
Nézze meg alaposan ezt a három függvénydiagramot.
Észrevette, hogy ezek a funkciók bizonyos értelemben "összefüggnek"?
Például azokon a területeken, ahol a zöld függvény grafikonja nulla felett helyezkedik el, a piros függvény növekszik. Azokon a területeken, ahol a zöld függvény grafikonja nulla alatt van, a piros függvény csökken.
Hasonló megjegyzések tehetők a piros és a kék grafikonok esetében is.
Azt is észreveheti, hogy a zöld függvény nullái (pontok x
= −1 és x
= 3) egybeesik a piros gráf extrém pontjaival: at x
= −1 a piros diagramon egy helyi maximumot látunk, at NS
= 3 a piros diagramon, a helyi minimum.
Könnyen belátható, hogy a kék diagram helyi csúcs- és mélypontjait ugyanazon a ponton érik el, ahol a piros diagram áthalad az értéken y
= 0.
Lehet még néhány következtetést levonni ezeknek a grafikonoknak a viselkedésének sajátosságairól, mert ezek valóban összefüggnek egymással. Nézze meg a grafikonok alatt található függvények képleteit, és számításokkal győződjön meg arról, hogy minden előző származtatott a következőhöz, és ennek megfelelően minden következő az előző függvény egyik előformája.
φ
1 (x
) = φ"
2 (x
) φ
2 (x
) = Φ
1 (x
)
φ
2 (x
) = φ"
3 (x
)
φ
3 (x
) = Φ
2 (x
)
Emlékezzünk vissza, mit tudunk a származékról:
Egy függvény származéka y = f(x) azon a ponton NS a függvény változási sebességét fejezi ki a pontban x.
A származék fizikai jelentése abban rejlik, hogy a derivált az y = f (x) függőség által leírt folyamat sebességét fejezi ki.
A derivált geometriai jelentése abban rejlik, hogy értéke a vizsgált pontban megegyezik a differenciálható függvény grafikonjára húzott érintő meredekségével ezen a ponton.
Most ne legyen piros grafikon a képen. Tegyük fel, hogy a függvényképleteket sem ismerjük. 
Hadd kérdezzek valamit egy funkció viselkedésével kapcsolatban φ
2 (x
) ha ismert, hogy a függvény származéka φ
3 (x
) és az antiderivatív funkció φ
1 (x
)?
Tud. És sok kérdésre pontosan meg lehet válaszolni, mert tudjuk, hogy a derivált a függvény változási sebességének jellemzője, ezért a másik grafikonját megítélve megítélhetjük ezen funkciók egyikének viselkedését.
Mielőtt válaszolna a következő kérdésekre, görgessen felfelé az oldalon, hogy a piros grafikont tartalmazó felső ábra elrejtődjön. A válaszok megadása után tegye vissza, hogy ellenőrizze az eredményt. És csak ezután nézd meg a döntésemet.
Figyelem: A tanítási hatás fokozása érdekében válaszokat és megoldásokat a feladatokat külön -külön töltik be a sárga alapon lévő gombok egymás utáni megnyomásával. (Ha sok feladat van, a gombok késéssel jelenhetnek meg. Ha a gombok egyáltalán nem láthatók, ellenőrizze, hogy a böngészője engedélyezett -e JavaScript.)1) A derivált grafikonjának használata φ" 2 (x ) (esetünkben ez egy zöld grafikon), határozza meg, hogy a függvény 2 értéke közül melyik a nagyobb φ 2 (−3) vagy φ 2 (−2)?
A derivált grafikonja azt mutatja, hogy a [−3; −2] szegmensben az értékei szigorúan pozitívak, ami azt jelenti, hogy a függvény ezen a szegmensen csak növekszik, ezért a függvény értéke a bal végén x = −3 kisebb, mint a jobb végén lévő értéke x = −2.
Válasz: φ 2 (−3) φ 2 (−2)
2) Az antiderivatív gráf használata Φ 2 (x ) (esetünkben ez egy kék grafikon), határozza meg, hogy a függvény 2 értéke közül melyik a nagyobb φ 2 (−1) vagy φ 2 (4)?
Az antiderivatív grafikon azt mutatja, hogy a lényeg x = −1 a növekvő régióban van, ezért a megfelelő derivált értéke pozitív. Pont x = 4 a csökkenés tartományában van, és a megfelelő derivált értéke negatív. Amennyiben pozitív érték nagyobb, mint negatív, arra a következtetésre jutunk, hogy az ismeretlen függvény értéke, amely pontosan a derivált, a 4. pontban kisebb, mint a –1.
Válasz: φ 2 (−1) > φ 2 (4)
Nagyon sok hasonló kérdést tehet fel a hiányzó ütemtervvel kapcsolatban, ami sokféle problémához vezet rövid válasz mellett, ugyanazon séma szerint. Próbáljon néhányat megoldani.
Feladatok egy függvény gráfszármazékának jellemzőinek meghatározásához.
1. kép.
2. ábra.
1. probléma
y = f (x ) intervallumon (−10,5; 19) meghatározott. Határozza meg az egész pontok számát, amelyeknél a függvény deriváltja pozitív.
A függvény deriváltja pozitív azokon a területeken, ahol a függvény növekszik. Az ábra azt mutatja, hogy ezek az intervallumok (−10,5; −7,6), (−1; 8,2) és (15,7; 19). Soroljuk fel a teljes pontokat ezeken az intervallumokon belül: "−10", "- 9", "−8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6" "," 7 "," 8 "," 16 "," 17 "," 18 ". Összesen 15 pont van.
Válasz: 15
Megjegyzések.
1. Ha a függvények grafikonjaival kapcsolatos problémák esetén a "pontokat" meg kell adni, ezek általában csak az argumentum értékeit jelentik x
, amelyek a grafikonon található megfelelő pontok abszcisszái. E pontok ordinátái a függvény értékei, függőek, és szükség esetén könnyen kiszámíthatók.
2. A pontok felsorolásakor nem vettük figyelembe az intervallumok széleit, hiszen ezeken a pontokon a funkció nem növekszik vagy nem csökken, hanem "kibontakozik". A derivált az ilyen pontokon nem pozitív és nem negatív, egyenlő a nullával, ezért állópontoknak nevezzük őket. Ezenkívül itt nem vesszük figyelembe a definíció tartományának határait, mert a feltétel azt mondja, hogy ez egy intervallum.
2. feladat
Az 1. ábra a függvény grafikonját mutatja y = f (x ) intervallumon (−10,5; 19) meghatározott. Határozza meg az egész pontok számát, amelyeknél a függvény deriváltja f " (x ) negatív.
A függvény deriváltja negatív azokon a területeken, ahol a függvény csökken. Az ábra azt mutatja, hogy ezek az intervallumok (−7,6; −1) és (8,2; 15,7). Egész intervallumok ezeken az intervallumokon belül: "−7", "- 6", "−5", "- 4", "−3", "- 2", "9", "10", "11", "12" "," 13 "," 14 "," 15 ". Összesen 13 pont van.
Válasz: 13
Lásd az előző feladathoz tartozó megjegyzéseket.
A következő problémák megoldásához emlékeznie kell még egy definícióra.
A függvény maximális és minimális pontjait egy közös név egyesíti - extremum pontok .
Ezeken a pontokon a függvény deriváltja vagy nulla, vagy nem létezik ( szükséges extrém állapot).
A szükséges feltétel azonban jel, de nem garancia a funkció extremumának létezésére. Elegendő feltétel egy extrémhez változás a derivált előjelében: ha a derivált egy ponton "+"-ról "-"-ra változtatja a jelet, akkor ez a függvény maximális pontja; ha a derivált egy ponton "-"-ról "+"-ra változtatja a jelet, akkor ez a függvény minimális pontja; ha a függvény deriváltja egy pontban nulla, vagy nem létezik, de a derivált előjele ezen a ponton áthaladva nem változik az ellenkezőjére, akkor a megadott pont nem a függvény szélsőpontja. Ez lehet inflexiós pont, töréspont vagy töréspont a függvény grafikonjában.
3. probléma
Az 1. ábra a függvény grafikonját mutatja y = f (x ) intervallumon (−10,5; 19) meghatározott. Keresse meg azon pontok számát, amelyeknél a függvény grafikonjának érintője párhuzamos az egyenessel y = 6 vagy megfelel.
Emlékezzünk vissza, hogy a vonal egyenletének formája van y = kx + b , ahol k- ennek az egyenesnek a tengelyhez való dőlési együtthatója Ökör... A mi esetünkben k= 0, azaz egyenes y = 6 nem megdöntve, hanem párhuzamosan a tengellyel Ökör... Ez azt jelenti, hogy a szükséges érintőknek párhuzamosaknak is kell lenniük a tengellyel Ökörés a meredekségének is 0 -nak kell lennie. Ezért a kérdés megválaszolásához csak ki kell számítania a diagram összes szélső pontját. Ebből 4 van - két maximális és két minimális pont.
Válasz: 4
4. feladat
Funkciók y = f (x ) (−11; 23) intervallumon van megadva. Keresse meg a függvény szélsőpontjainak összegét a szegmensen.
A jelzett szegmensen 2 extrém pontot látunk. A funkció maximumát eléri a pont x
1 = 4, minimum pont x
2 = 8.
x
1 + x
2 = 4 + 8 = 12.
Válasz: 12
5. feladat
Az 1. ábra a függvény grafikonját mutatja y = f (x ) intervallumon (−10,5; 19) meghatározott. Keresse meg azon pontok számát, amelyeknél a függvény deriváltja f " (x ) egyenlő 0 -val.
A függvény deriváltja a végpontjainál nulla, ebből 4 látható a grafikonon:
2 pont a maximum és 2 pont a minimum.
Válasz: 4
Feladatok egy függvény jellemzőinek meghatározására a származéka grafikonjából.
1. kép.
2. ábra.
6. feladat
A 2. ábra a grafikont mutatja f " (x ) - a függvény deriváltja f (x ) (−11; 23) intervallumon van megadva. A [−6; 2] szegmens melyik pontján a függvény f (x ) veszi a legnagyobb értéket.
A jelzett intervallumon a derivált sehol sem volt pozitív, ezért a funkció nem növekedett. Csökkent vagy áthaladt az álló helyeken. Így a függvény a szegmens bal szélén érte el legnagyobb értékét: x = −6.
Válasz: −6
Megjegyzés: A derivált grafikonja azt mutatja, hogy a [−6; 2] szegmensen háromszor egyenlő nullával: a pontokon x = −6, x = −2, x = 2. De azon a ponton x = −2, nem változtatta meg a jelet, ami azt jelenti, hogy ezen a ponton nem lehet extrém funkció. Valószínűleg volt egy inflexiós pont az eredeti függvénygráfban.
7. probléma
A 2. ábra a grafikont mutatja f " (x ) - a függvény deriváltja f (x ) (−11; 23) intervallumon van megadva. A szegmens melyik pontján veszi a függvény a legkisebb értéket.
A szegmensen a derivált szigorúan pozitív, ezért a funkció ezen a szegmensen csak nőtt. Így a függvény elérte a legkisebb értéket a szegmens bal szélén: x = 3.
Válasz: 3
8. feladat
A 2. ábra a grafikont mutatja f " (x ) - a függvény deriváltja f (x ) (−11; 23) intervallumon van megadva. Keresse meg a függvény maximális pontjainak számát f (x ) szegmenshez tartozó [−5; 10].
Az extrémhez szükséges feltétel szerint a funkció maximális értéke lehet azokon a pontokon, ahol deriváltja nulla. Egy adott szegmensben ezek a pontok: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. De a kellő feltétel szerint azt biztosan lesz csak azokban, ahol a derivált jele "+" -ról "-" -ra változik. A derivált grafikonján azt látjuk, hogy a felsorolt pontok közül csak a pont ilyen x = 6.
Válasz: 1
9. feladat
A 2. ábra a grafikont mutatja f " (x ) - a függvény deriváltja f (x ) (−11; 23) intervallumon van megadva. Keresse meg a függvény szélsőpontjainak számát f (x ) a szegmenshez tartozó.
A függvény szélsősége azokon a pontokon lehet, ahol a deriváltja 0. A derivált gráf adott szegmensében 5 ilyen pontot látunk: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. De azon a ponton x = 14 a derivált nem változtatta meg előjelét, ezért ki kell zárni a figyelembevételből. Így 4 pont marad.
Válasz: 4
10. probléma
Az 1. ábra a grafikont mutatja f " (x ) - a függvény deriváltja f (x ) intervallumon (−10,5; 19) meghatározott. Keresse meg a növekvő függvény intervallumait f (x ). A válaszban tüntesse fel a leghosszabb közülük hosszát.
A függvény növekedési intervallumai egybeesnek a derivált pozitivitási intervallumaival. A grafikonon hármat látunk - (−9; −7), (4; 12), (18; 19). Közülük a leghosszabb a második. A hossza l = 12 − 4 = 8.
Válasz: 8
11. feladat
A 2. ábra a grafikont mutatja f " (x ) - a függvény deriváltja f (x ) (−11; 23) intervallumon van megadva. Keresse meg a függvény grafikonjának érintőinek számát f (x ) párhuzamos az egyenes vonallal y = −2x − 11 vagy illeszkedik hozzá.
Egy adott egyenes k = −2 meredeksége (más néven a lejtő érintője). Érdekelnek a párhuzamos vagy egybeeső érintők, azaz egyenes vonalak azonos lejtéssel. A derivált geometriai jelentése - az érintő meredeksége a függvény grafikonjának figyelembe vett pontja alapján - újra kiszámítjuk azokat a pontokat, amelyeken a derivált −2. A 2. ábrán 9 ilyen pont található. Kényelmes számolni őket a grafikon és a tengely −2 értékén áthaladó rács metszéspontja szerint Oy.
Válasz: 9
Mint látható, ugyanazt a grafikont használva sokféle kérdést tehet fel egy függvény és származéka viselkedésével kapcsolatban. Ugyanez a kérdés a különböző függvények grafikonjainak is tulajdonítható. Legyen óvatos, amikor ezt a problémát a vizsgán oldja meg, és ez nagyon egyszerűnek tűnik. A feladat más típusú problémái - az antiderivatívum geometriai jelentésével kapcsolatban - egy másik részben kerülnek tárgyalásra.
