Gyökerek kiválasztása trigonometrikus egyenletben. A szegmens gyökér-egyenlethez tartozó egyenlet gyökereinek megtalálása a megoldás megoldása
1. feladat
A logika egyszerű: ugyanúgy fogjuk ezt megtenni, mint nem fizetik meg azt a tényt, hogy most a trigonometrikus funkciók összetettebb érvévé váltak!
Ha megoldjuk az űrlap egyenletét:
Ezt a választ fogjuk rögzíteni:
Vagy (mivel)
De most itt járunk el itt:
Akkor írhatsz:
Célunk, hogy úgy tegye meg, hogy a bal oldali standok egyszerűen "szennyeződések nélkül"!
Fokozatosan megszabaduljunk tőlük!
Kezdetben távolítsa el a nevezőt, amikor: Ehhez esélyünk erre:
Most megszabaduljon, osztja meg mindkét részét:
Most megszabaduljon a nyolcból:
A kapott expresszió 2 sorozatú megoldásként (egy négyzetes egyenletes analógiával, ahol hozzáadunk vagy levonunk a diszkriminálót)
Meg kell találnunk a legnagyobb negatív gyökeret! Nyilvánvaló, hogy meg kell rendezni.
Fontolja meg először az első sorozatot:
Nyilvánvaló, hogy ha ezt eredményezzük, pozitív számokat kapunk, és nem érdekelnek minket.
Így negatívnak kell lennie. Legyen.
A gyökér már:
És meg kell találnunk a legnagyobb negatívat! Szóval menj a negatív oldalra, itt már nincs értelme. A sorozat legnagyobb negatív gyökere egyenlő lesz.
Most tekintjük a második sorozatot:
És ismét helyettesítjük:, akkor:
Nem érdekel!
Ezután nincs értelme növelni többé! Csökkentjük! Hagyja, majd:
Alkalmas!
Legyen. Akkor
Ezután - a legnagyobb negatív gyökér!
Válasz:
2. feladat.
Ismét eldöntjük, hogy nem nézzük meg a komplex okbetegség argumentumát:
Most ismét kifejezze a bal oldalamat:
Szorozzuk mindkét oldalt
Osztjuk mindkét oldalt
Mindaz, ami továbbra is fennáll, hogy átadja a jobbra, hogy megváltoztatja a jele egy mínusz plusz.
Ismét kimutatunk 2 sorozatú gyökereket, az egyiket, a másikval.
Meg kell találnunk a legnagyobb negatív gyökeret. Tekintsük az első sorozatot:
Nyilvánvaló, hogy az első negatív gyökér, amelyet akkor kapunk, mikor lesz egyenlő, és az első sorozat legnagyobb negatív gyökere lesz.
A második sorozathoz
Az első negatív gyökér is megszerezhető és egyenlő lesz. Mivel az egyenlet legnagyobb negatív gyökere.
Válasz: .
3. feladat.
Úgy döntünk anélkül, hogy megnéznénk a tangens összetett érvét.
Ez, semmi bonyolult, nem igaz?
Mint korábban, a bal oldalon kifejtünk:
Nos, és csodálatos, itt csak egy sor gyökér! Megint meg fogom találni a legnagyobb negatívat.
Nyilvánvaló, hogy kiderül, ha elhelyez. És ez a gyökér egyenlő.
Válasz:
Most próbálja meg megoldani a következő feladatokat.
Házi feladat vagy 3 feladat az önmegoldásokhoz.
- A RE-SHIH NE-NO.
- A RE-SHIH NE-NO.
A VES-VES, NA-PI-SHI-TEE NA-MESH-TEL-REN. - A RE-SHIH NE-NO.
A VES-VES, NA-PI-SHI-TEE NA-MESH-TEL-REN.
Kész? Jelölje be. A teljes megoldás algoritmust részletesen nem fogom leírni, úgy tűnik számomra, hogy annyira fizetett a figyelmet.
Nos, minden igaza van? Ó, ezek a csúnya szinuszok, velük mindig vannak bajok!
Nos, most tudja, hogyan oldja meg a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket!
Ellenőrizze a megoldásokat és válaszokat:
1. feladat
Expressz
A legkisebb pozitív gyökér kiderül, ha elhelyezi, mert
Válasz:
2. feladat.
A legkisebb pozitív gyökér sikeres lesz.
Ez egyenlő lesz.
Válasz: .
3. feladat.
Amikor kapunk, amikor van.
Válasz: .
Ezek a tudás segítenek megoldani a vizsga során találkozó feladatokat.
Ha "5" minősítést jelent, akkor csak egy cikket kell olvasnia középszint amely összetettebb trigonometrikus egyenletek megoldására szolgál (Q1 feladat).
KÖZÉPSZINT
Ebben a cikkben leírom egy összetettebb típusú trigonometrikus egyenletek megoldása És hogyan lehet a gyökerei kiválasztását. Itt a következő témákra támaszkodom:
- Trigonometrikus egyenletek a kezdeti szintre (lásd fent).
A bonyolultabb trigonometrikus egyenletek a megnövekedett komplexitás feladatainak alapja. Szükségük van arra, hogy miként oldja meg az egyenletet általában, és megtalálja a meghatározott réshez tartozó egyenletek gyökereit.
A trigonometrikus egyenletek megoldása két részösszegre csökken:
- Megoldási egyenlet
- A gyökerek kiválasztása
Meg kell jegyezni, hogy a második nem mindig szükséges, de még mindig a legtöbb példa, amit meg kell választani. És ha nem szükséges, akkor inkább felmerülhet - ez azt jelenti, hogy az egyenlet önmagában meglehetősen bonyolult.
A feladatelemzési tapasztalat C1 azt mutatja, hogy általában ilyen kategóriákra oszlik.
A fokozott komplexitás négy kategóriája (korábbi C1)
- Egyenletek csökkentették a szorzók bomlását.
- Az egyenletek elmere csökkentek.
- A változó cseréjével megoldott egyenletek.
- Az irracionalitás vagy nevező miatt további választékot igénylő egyenletek.
Könnyen beszél: ha elkapsz az első három típus egyenleteEzután fontolja meg, mit szeretsz. Számukra, szabályként kell kiválasztani a köztitermékhez tartozó gyökereket.
Ha megragadta a 4-es típusú egyenletet, akkor szerencsés vagy kevesebb: hosszabb és szorosabban megrémülnie kell, de gyakran nem kellene kiválasztani a gyökereket. Mindazonáltal az ilyen típusú egyenletek szétszerelem a következő cikkben, és ez megoldást jelent az első három típus egyenleteinek megoldására.
Az egyenletek csökkentették a szorzók bomlását
A legfontosabb dolog, amit meg kell emlékezni, hogy megoldja az ilyen típusú egyenleteket
Mivel a gyakorlat szerint ez a tudás elég. Forduljunk a példákhoz:
1. példa 1. egyenlet a szorzók bomlására csökkentve a dupla szögű vezetés és szinuszok formuláinak segítségével
- A re-shi-ezek egyenlőek
- Nai-di, az egyenlet minden gyökerei, a fenten-Lesy-Ki-Ku
Itt, ahogy ígértem, a képletek dolgoznak:
Ezután az egyenletem ezt a fajta:
Ezután az egyenletem a következő űrlapot veszi:
A rövidlátó hallgató azt mondhatta: És most csökkentem mindkét részét, a legegyszerűbb egyenletet és örülök az életben! És ez keserűen téved!
| Ne feledje: Soha nem csökkentheti az ismeretlen funkciót tartalmazó trigonometrikus egyenlet mindkét részét. Tehát nyalogatod a gyökereket! |
Szóval mit kéne tenni? Igen, minden egyszerű, hogy mindent áthelyez egy irányba, és vegyen ki egy általános szorzót:
Nos, a tényezők lefektetnek, éljenek! Most döntünk:
Az első egyenletnek van egy gyökere:
És a második:
Ezen a feladat első része megoldódott. Most ki kell választania a gyökereket:
A rés ilyen:
Vagy így is írhatod:
Nos, vegyük a gyökereket:
Először az első sorozatban fogunk dolgozni (és könnyebbé válunk, mit kell mondanom!)
Mivel a szakadék - teljesen negatív, akkor nincs szükség nem negatív, még mindig nem negatív gyökereket adnak.
Vegyük, akkor - túl sok, nem esik le.
Hagyja - nem jött újra.
Egy másik kísérlet -, akkor - ott van! Az első root megtalálható!
Újra lőni :, majd - ismét megkaptam!
Nos, és még egyszer :: - ez már repülés.
Tehát a rés első sorozatából 2 gyökér :.
A második sorozatban dolgozunk (erekció a szabály mértéke):
Undershoot!
Újra!
Újra!
Lóg!
Repülési!
Így a résem az ilyen gyökerekhez tartozik:
Ehhez az algoritmushoz minden más példát megoldunk. Gyakoroljunk együtt egy példát.
2. példa 2. egyenlet a multiplikátorok bomlására csökkentve a képlet segítségével
- Döntse el az egyenletet
Döntés:
Ismét a hírhedt formulák:
Ismét ne próbálja meg vágni!
Az első egyenletnek van egy gyökere:
És a második:
Most ismét keresse meg a gyökereket.
Elkezdem a második sorozat, minden ismert nekem az előző példa! Nézd meg, és győződjön meg róla, hogy a gyökerek a következők:
Most az első sorozat és egyszerűbb:
Ha alkalmas
Ha - is alkalmas
Ha ez már járat.
Ezután a gyökerek a következők lesznek:
Önálló munkavégzés. 3 egyenlet.
Nos, a technika világos? A trigonometrikus egyenletek megoldása nem tűnik olyan nehéz? Ezután a következő feladatok gyorsan szolgálnak egymástól függetlenül, majd más példákat fogunk megoldani:
- Döntse el az egyenletet
Nay-Di ennek az egyenletnek a gyökerei, a fent említett résen. - A re-shi-ezek egyenlőek
Az egyenlet gyökerei, a fenten-Lesy-Ki-Ku - A re-shi-ezek egyenlőek
NAI-DI az egyenlet összes gyökere, a fenti Levy-Ku-val.
1. egyenlet.
És ismét az előadás képlete:
A gyökerek első sora:
A gyökerek második sora:
Elkezdjük a rés kiválasztását
Válasz :,.
2. egyenlet. Ellenőrizze a független munkát.
Elég trükkös csoportosítás a multiplikátoroknál (kettős sarokszin-formula):
akkor vagy
Ez egy általános megoldás. Most ki kell választania a gyökereket. A baj az, hogy nem mondhatjuk meg a szög pontos értékét, amelynek koszinusa egynegyede. Ezért nem tudok csak megszabadulni az Arkkosinustól - ez egy ilyen bosszúság!
Mit tehetek, hogy becslése szerint azóta.
Tegyen egy táblázatot: GAP:
Nos, az a tény, hogy mi jött a kiábrándító következtetést, hogy a egyenletnek egy gyökér a megadott időközönként: \\ Displaystyle arccos \\ frac (1) (4) -5 \\ Pi
3. egyenlet. Ellenőrizze a független munkát.
Egy félelmetes típus egyenlete. Azonban egyszerűen megoldható egy kettős szögű sinus formula alkalmazásával:
Slim 2:
Az első kifejezést a második és a harmadik a negyedik és az általános szorzók:
Nyilvánvaló, hogy a gyökerek első egyenlete nincs, és most a másodiknak tartja:
Általánosságban elmondható, hogy egy kicsit később megálltam, hogy megállítsák az ilyen egyenletek megoldását, de ha egyszer felismertem, akkor semmi köze semmi, meg kell oldani ...
Az űrlap egyenletei:
Ezt az egyenletet úgy oldják meg, hogy mindkét részosztást elosztják:
Így az egyenletünk egy sor gyökerei vannak:
Meg kell találni azokat, amelyek a réshez tartoznak :.
Ismét építsen egy jelet, ahogyan én tettem:
Válasz:.
Az egyenletek elmere csökkentek:
Nos, most itt az ideje, hogy az egyenletek második részére költözzenek, különösen azért, mert már megérintettem, hogy mi az új típusú trigonometrikus egyenletek megoldása. De ez nem lesz felesleges, hogy ismételje meg, hogy az űrlap egyenlete
Ezt úgy oldják meg, hogy mindkét részét a koszinusra osztják:
- A re-shi-ezek egyenlőek
Az egyenlet gyökerei, a fenti Levy-Ki-Ku. - A re-shi-ezek egyenlőek
Az egyenlet gyökerei, a fenten-Lesy-Ku-Ku.
1. példa.
Az első nagyon egyszerű. Jobbra továbbítjuk, és kettős sarokkazin képletet alkalmazunk:
Igen! Az űrlap egyenlete :. Megosztom mindkét részét
A gyökereket dobjuk:
Múlás:
Válasz:
2. példa.
Minden szintén triviális: nyitott zárójelek a jobb oldalon:
Alapvető trigonometrikus identitás:
Dupla sarok sinus:
Végül kapja meg:
Referencia gyökerek: rés.
Válasz:.
Nos, hogyan szereted a készülékeket, nem túl bonyolult? Remélem, nem. Azonnal tudod, hogy a fenntartás: a tiszta formában az egyenlet, amely azonnal csökkenti az egyenletet a tangens, igen ritka. Általános szabályként ez az átmenet (Cosine divízió) csak egy összetettebb feladat része. Itt van a példa, hogy gyakorolhasson:
- A re-shi-ezek egyenlőek
- Nay-Di ennek az egyenletnek a gyökerei, a lesy-ku.
Na gyere:
Az egyenlet azonnal megoldódott, elegendő megosztani mindkét alkatrészt:
Referencia gyökerek:
Válasz:.
Egy vagy más módon még mindig meg kell találkoznunk a fajok egyenleteivel, amelyeket éppen szétszereltünk. Azonban még korán már bezárul: egy másik "plaszt" maradt az egyenletek, amelyek nem szétszereltek. Így:
Trigonometrikus egyenletek megoldása a változó cseréjével
Minden átlátszó itt: Úgy nézünk ki szorosan az egyenleten, mi a lehető legnagyobb mértékben egyszerűsítjük, cseréljük ki, eldöntjük, hogy fordított csere! Szavakban minden nagyon könnyű. Nézzük a valóságot:
Példa.
- Az egyenlet megoldása :.
- Nay-Di ennek az egyenletnek a gyökerei, a lesy-ku.
Nos, itt a csere maga javasolja a kezünket!
Ezután az egyenletünk ilyen lesz:
Az első egyenletnek van egy gyökere:
És a második itt:
Most találja meg a réshez tartozó gyökereket
Válasz:.
Nézzünk össze egy kicsit összetettebb példát:
- A re-shi-ezek egyenlőek
- A gyökér a gyökerek a Dan-But-edik equancy, és a fent lesy-ku-ku.
Itt a csere nem látható azonnal, ráadásul ez nem nyilvánvaló. Először gondoljunk: Mit tehetünk?
Például elküldhetjük
És ugyanakkor I.
Ezután az egyenletem az űrlapot fogja venni:
És most a figyelem, a fókusz:
Letesszük az egyenlet mindkét részét:
Hirtelen négyzetes egyenletet kaptunk veled! Cseréljük, akkor kapunk:
Az egyenlet a következő gyökerekkel rendelkezik:
Kellemetlen második sorozatú gyökerek, de semmi sem végezhető el! Gyökér kiválasztást állítunk elő az intervallumon.
Azt is figyelembe kellene, hogy
Ahogy van
Válasz:
Ahhoz, hogy biztosítsa, mielőtt Ön magad megoldja a feladatokat, még mindig van egy gyakorlása:
- A re-shi-ezek egyenlőek
- NAI-DI az egyenlet összes gyökere, a fenti Levy-Ku-val.
Itt meg kell tartania a fül keleti részét: Van egy denominátor, aki lehet nulla! Ezért különösen figyelmet kell fordítani a gyökerekre!
Először is meg kell konvertálnom az egyenletet úgy, hogy megfelelő helyettesítést készítsek. Nem tudok semmit sem jönni, mint a sinus és a cosine átírása:
Most a koszinóról a sinusra megyek a fő trigonometriai identitásra:
És végül mindent adok a tábornok nevét:
Most megyek az egyenlethez:
De (azaz amikor).
Most minden készen áll a cserere:
Akkor vagy
Figyeljen azonban, hogy ha, akkor, akkor egyszerre!
Ki szenved ez? A tangens baj, nincs meghatározva, ha a koszinusz nulla (nulla).
Így az egyenlet gyökerei a következők:
Most gyökér lemorzsolódjon az intervallumon:
| - illeszkedik | |
| - Nagy |
Így az egyenletünknek az egyetlen gyökere az intervallumon, és ez egyenlő.
Nézze meg: A nevező megjelenése (szintén, mint a tangens, bizonyos nehézségeket vezet a gyökerekkel! Figyelmeztetésre van szükség!).
Nos, mi és én szinte befejeztem a trigonometrikus egyenletek elemzését, meglehetősen kicsit megmaradt - két feladatot megoldani. Itt vannak.
- Döntse el az egyenletet
Nay-Di ennek az egyenletnek a gyökerei, a lesy-ku. - A re-shi-ezek egyenlőek
Az egyenlet gyökerei, a felettesek, a-cut-ku.
Eldöntöttem? Nem túl nehéz? Na gyere:
- A hozzátartozás képletei szerint dolgozunk:
Mi helyettesítjük az egyenletet:
Mindent átírom a koszinán keresztül, hogy kényelmesebbé tegyem a cserét:
Most könnyen cserélhető:
Nyilvánvaló, hogy - egy idegen gyökér, mivel a megoldások egyenletének nincs. Azután:
Gyökereket keresünk az intervallumra
Válasz:.
Itt a csere azonnal látható:Akkor vagy
- Alkalmas! - Alkalmas! - Alkalmas! - Alkalmas! - Sok! - Sokat is! Válasz:
Nos, most minden! De a trigonometrikus egyenletek megoldása nem ér véget, a fedélzeten van a legnehezebb esetek: ha vannak irracionalitás az egyenletekben, vagy másfajta "komplex nevelők". Az ilyen feladatok megoldása A cikket fejlett szintre nézzük.
HALADÓ SZINT
Amellett, hogy a trigonometrikus egyenletek tárgyalt előző két cikket, fontolja meg egy másik csoportját egyenletek igénylő még figyelmes elemzést. Ezek a trigonometriai példák az irracionalitás vagy a denominátor, amely összetettebbé teszi az elemzést. Mindazonáltal könnyen szembesülhet ezekkel az egyenletekkel a vizsga munkájában. Azonban nincs humusz jóság nélkül: Az ilyen egyenletek esetében általában nem kérdés, hogy melyik gyökerei a megadott szakadékhoz tartoznak. Ne sétáljunk körül, de azonnal trigonometrikus példák.
1. példa.
Oldja meg az egyenletet, és keresse meg azokat a gyökereket, amelyek a szegmenshez tartoznak.
Döntés:
Van egy denominátor, aki nem lehet nulla! Ezután döntse el, hogy ez az egyenlet ugyanaz, mint a rendszer megoldása
Hagyja, hogy az egyes egyenletek:
És most a második:
Nézzük meg a sorozatot:
Nyilvánvaló, hogy nem illeszkedünk az opcióhoz, mert ugyanakkor a denominátor visszaáll (lásd a második egyenlet gyökerét)
Ha minden rendben van, és a denominátor nem egyenlő nulla! Ezután az egyenlet gyökerei a következők :.
Most előállítjuk a réshez tartozó gyökerek kiválasztását.
| - Nem megfelelő | - illeszkedik | |
| - illeszkedik | - illeszkedik | |
| nagy | nagy |
Ezután a gyökerek a következők:
Látod, még egy kis interferencia megjelenése egy denominátor formájában is jelentősen befolyásolta az egyenlet megoldását: eldobtuk a root sorozat, a nevezőt. Még nehezebb lehet abban az esetben, ha az irracionalitású trigonometrikus példák esnek.
2. példa.
Az egyenlet megoldása:
Döntés:
Nos, legalább ne vegye a gyökereket, és ez jó! Először megoldjuk az egyenletet, ne nézzen az irracionalitásra:
És mi az egész? Nem, sajnos, túl könnyű lenne! Emlékeznünk kell arra, hogy csak a nem negatív számok lehetnek a gyökér alatt. Azután:
Az egyenlőtlenség megoldása:
Most meg kell találnia, hogy az első egyenlet gyökerei nem esnek az első egyenlet gyökereibe, ahol az egyenlőtlenség nem említi.
Ehhez újra használhatja az asztalt:
| :, de | Nem! | |
| Igen! | ||
| Igen! |
Így "elesettem" az egyik gyökeret! Kiderül, ha elhelyez. Ezután a válasz a következő formában írható:
Válasz:
Lásd, a gyökér még nagyobb figyelmet igényel! Bonyoluljunk: Hagyja, hogy a gyökér alatt van egy trigonometrikus funkció.
3. példa.
Mint korábban: Először is eldöntöm, hogy minden egyes külön-külön, majd gondolkodom, amit tettünk.
Most a második egyenlet:
Most a legnehezebb dolog az, hogy megtudjuk, hogy nincs negatív érték az aritmetikai gyökér alatt, ha helyettesítjük a gyökereket az első egyenletből:
A számot radianoknak kell érteni. Mivel a Radian a diplomákról van szó, akkor a radianok diplomák sorrendje. Ez a második negyedév szöge. Cosine a második negyedévben, milyen jel? Mínusz. És sinus? Egy plusz. Tehát mondhatjuk a kifejezésről:
Ez kevesebb, mint nulla!
Szóval nem az egyenlet gyökere.
Most forduljon.
Hasonlítsa össze ezt a számot nullával.
Kotangenes - csökkenő funkció 1 negyedévben (annál kisebb az argumentum, a cotangenes). A radianok a fokozatokról szólnak. Ugyanabban az időben
mivel, és ezért
,
Válasz:.
Lehetne még nehezebb? Szívesen! Nehéz lesz, ha a trigonometrikus funkció még mindig a gyökér alatt van, és az egyenlet második része ismét trigonometrikus funkció.
A trigonometrikus példák, annál jobb, nézd tovább:
4. példa.
A root nem alkalmas a korlátozott koszinus miatt
Most a második:
Ugyanakkor a gyökér meghatározásával:
Szükség van az egység körére: nevezetesen, ezek a negyedek, ahol a szinusz kisebb, mint nulla. Melyek ezek a negyedek? Harmadik és negyedik. Aztán érdekelnénk az első olyan megoldásokat, amelyek a harmadik vagy negyedik negyedévben fekszenek.
Az első sorozat a harmadik és a negyedik negyedév metszéspontjában fekszik. A második sorozat - ez átmérőjű - és az első és a második negyedév határán fekvő gyökereket eredményez. Ezért ez a sorozat nem illeszkedik minket.
Válasz:
És újra trigonometrikus példák a "kemény irracionalitás". Nemcsak a gyökér alatt ismét trigonometrikus funkciójuk van, így most már a nevezőben is!
5. példa.
Nos, semmi sem lehet megtenni - mi csináljuk, mint korábban.
Most a denominátorral dolgozunk:
Nem akarok megoldani a trigonometrikus egyenlőtlenséget, ezért Hestro-t fogok tenni: a sorozat gyökereinek egyenlőtlenségében fogok, és állok állni:
Ha még van:
mivel a fajok minden szöge a negyedik negyedévben fekszik. És ismét egy szent kérdés: Mi a szinusz jel a negyedik negyedévben? Negatív. Majd az egyenlőtlenség
Ha az egyik -set, akkor:
Melyik negyedév a sarok? Ez a második negyedév szöge. Ezután az összes szög - ismét a második negyed szögei. A Sinus pozitív. Csak mire van szükség! Tehát sorozat:
Alkalmas!
Hasonlóképpen értjük a gyökerek második sorozatával:
Helyettesítjük az egyenlőtlenségünket:
Ha ez még akkor is
Az első negyedév sarkai. A Sinus pozitív, akkor a sorozat alkalmas. Most, ha - páratlan, akkor:
is illik!
Nos, írja meg a választ!
Válasz:
Nos, valószínűleg a leginkább időigényes eset volt. Most felajánlom Önnek egy független megoldás feladatait.
Edzés
- Döntse el és keresse meg a vágott egyenletek összes gyökereit.
Megoldások:
Első egyenlet:
vagy
Ost gyökér:Második egyenlet:
A réshez tartozó gyökerek kiválasztása
Válasz:
Vagy
vagy
De
Fontolgat :. Ha ez még akkor is
- Nem illeszkedik!
Ha - furcsa,: - Alkalmas!
Tehát az egyenletünk ilyen gyökerei vannak:
vagy
A gyökerek kiválasztása az intervallumban:
| - Nem megfelelő | - illeszkedik | |
| - illeszkedik | - sokan | |
| - illeszkedik | sok |
Válasz :,.
Vagy
Mivel a tangens nincs meghatározva. Azonnal dobja ezt a sorozatot!
Második rész:
Ugyanakkor az OTZ kell
Ellenőrizzük az első egyenletben található gyökereket:
Ha a jel:
Az első negyedév sarkai, ahol a tangens pozitív. Nem illeszkedik!
Ha a jel:
A negyedik negyedév sarkában. Negatív tangens van. Alkalmas. Rögzítse a választ:
Válasz :,.
Együtt szétszereltük a komplex trigonometrikus példákat ebben a cikkben, de meg kell szakítania az egyenleteket.
Összefoglaló és alapvető képletek
A trigonometriás egyenlet olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen szigorúan a trigonometrikus funkció jele alatt áll.
A trigonometrikus egyenletek két módja van:
Az első módszer - a képletek használata.
A második módszer trigonometrikus körön keresztül történik.
Lehetővé teszi, hogy mérje meg a szögeket, megtalálja a sziraszokat, a koszinót és így tovább.
A lecke célja:
és) biztosítsa a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldását;
b) tanítsd meg a trigonometrikus egyenletek gyökereit egy adott résből
Az osztályok során.
1. A tudás aktualizálása.
a) A házi feladat ellenőrzése: Az osztály vezető házi feladatot kap - megoldani az egyenletet, és megtalálja a módját, hogy válasszon gyökereket ebből a résből.
1) cos. X.\u003d -0,5, ahol XI [-]. Válasz:.
2) bűn. X.\u003d, ahol Xi. Válasz:; .
3) COS 2 x. \u003d -, ahol Xi. Válasz:
A diákok leírják az oldatot a táblán. Valaki egy grafikon segítségével, valaki a kiválasztási módszerrel.
Ebben az időben osztályban orálisan működik.
Keresse meg a kifejezés értékét:
a) tg - sin + cos + bűn. Válasz: 1.
b) 2Arccos 0 + 3 Arccos 1. Válasz :?
c) Arcsin + Arcsin. Válasz:.
d) 5 Arctg (-) - Arccos (-). Válasz:-.
- Ellenőrizze a házi feladatot, nyissa meg a notebookokat a házi feladatával.
Néhányan találtak megoldást a kiválasztás módjára, és néhány a gráf segítségével.
2. Következtetés arról, hogyan oldja meg ezeket a feladatokat és a probléma megfogalmazását, azaz a lecke témájának és célkitűzéseinek témáját.
- A) A kiválasztás segítségével nehéz megoldani, ha nagy rés van megadva.
- b) A grafikus módszer nem ad pontos eredményeket, ellenőrizni kell, és sok időt vesz igénybe.
- Ezért legalább egyirányúnak kell lennie, a leginkább univerzális - megtalálja. Szóval, mit fogunk tenni ma a leckében? (Ismerje meg, hogy válassza ki a trigonometrikus egyenlet gyökereit egy adott intervallumon.)
- 1. példa (a hallgató a táblára megy)
kötözősaláta. x. \u003d -0,5, ahol XI [-].
Kérdés: Miért függ a válasz erre a feladatra? (Az egyenlet általános oldatából. Általános formában megoldást írunk). A megoldás a táblára van írva
x \u003d + 2? K, ahol k r.
- Ezt a megoldást totalitás formájában írjuk:
- Mit gondolsz, amikor megoldást ír, kényelmes választani gyökereket az intervallumon? (a második rekordból). De ez a választás módja. Mit kell tudnunk, hogy megkapjam a helyes választ? (Meg kell ismerni a K értékeket).
(Készítsen egy matematikai modellt a k) megtalálásához.
mint ki z, akkor k \u003d 0, innen h.= = |
ebből az egyenlőtlenségből látható, hogy nincs egész számjegy. |
Kimenet:A gyökerek kiválasztása egy adott résből a trigonometrikus egyenlet megoldásakor:
- a nézet egyenletének megoldása sin x \u003d a, cos x \u003d a Kényelmesebb az egyenlet gyökereinek megégése, mint két gyökérsorozat.
- az űrlap egyenleteinek megoldása tg x \u003d a, ctg x \u003d a Rögzítse a gyökerek általános képletét.
- hozzon létre egy matematikai modellt minden megoldáshoz kettős egyenlőtlenség formájában, és keresse meg a K vagy N paraméter teljes értékét.
- helyettesítse ezeket az értékeket a gyökér formulában és kiszámítja őket.
Példa 2. és 3. szám A házi feladatból dönthet a kapott algoritmus használatával. Ugyanakkor az Igazgatóság két diákot alkalmaz, amelyet a munka ellenőrzése követ.
Kötelező minimális tudás
sIN X \u003d A, -1 A 1 (A 1)X \u003d ARCSIN A + 2 N, N Z
X \u003d - ARCSIN A + 2 N, N Z
vagy
X \u003d (- 1) K ARCSIN A + K, K Z
Arcsin (- A) \u003d - Arcsin A
sin x \u003d 1
X \u003d / 2 + 2 K, K Z
sin x \u003d 0
x \u003d k, k z
Sin x \u003d - 1
X \u003d - / 2 + 2 K, K Z
y.
y.
X.
y.
X.
X.
Kötelező minimális tudás
cos x \u003d A, -1 A 1 (A 1)x \u003d Arccos A + 2 N, N Z
Arccos (- a) \u003d - Arccos a
Cos x \u003d 1
x \u003d 2 k, k z
Cos x \u003d 0
x \u003d / 2 + k, k z
y.
y.
X.
Cos x \u003d - 1
X \u003d + 2 K, K Z
y.
X.
X.
Kötelező minimális tudás
tg x \u003d a, egy rX \u003d Arctg A + N, N Z
CTG X \u003d A, AR
X \u003d ArccTG A + N, N Z
Arctg (- A) \u003d - Arctg A
Arctg (- a) \u003d - Arctg A csökkenti az egyenletet egy funkcióra
Hozza egy érv
Néhány megoldás módszer
Trigonometrikus egyenletek
Trigonometrikus képletek használata
A rövidített szorzás formuláinak használata
Faktorizáció
Egy x, cos x, tg x
Kiegészítő érv bevezetése
A homogén első fokú egyenlet részének osztása
(Asin x + bcosx \u003d 0) a cos x-en
A második fokozat egyenletes egyenletének osztása
(Sin2 x + bsin x cos x + c cos2x \u003d 0) a cos2 x-en
Orális gyakorlatok számítanak ki
arcsin ½Arcsin (- √2 / 2)
Arccos √3 / 2
Arccos (-1/2)
Arctg √3
Arctg (-√3 / 3)
= /6
= - /4
= /6
\u003d - Arccos ½ \u003d - / 3 \u003d 2/3
= /3
= - /6
(Trigonometrikus kör segítségével)
cos 2x \u003d ½, x [- / 2; 3/2]
2x \u003d ± Arccos ½ + 2 N, N Z
2x \u003d ± / 3 + 2 N, N Z
X \u003d ± 6 + N, N Z
Trigonometrikus kör segítségével válassza ki a gyökereket
Válasz: - / 6; / 6; 5/6; 7/6.
A gyökerek kiválasztásának különböző módjai
Keresse meg az ehhez a réshez tartozó egyenletek gyökereitSIN 3X \u003d √3 / 2, X [- / 2; / 2]
3x \u003d (- 1) k / 3 + k, k z
X \u003d (- 1) K / 9 + K / 3, K Z
Kiválasztom a gyökereket a K-értékek nyüzsgésével:
k \u003d 0, x \u003d / 9 - Horgott
k \u003d 1, x \u003d / 9 + / 3 \u003d 2/9 - tartozék
k \u003d 2, x \u003d / 9 + 2/3 \u003d 7/9 - nem tartozik a réshez
k \u003d - 1, x \u003d - / 9 - / 3 \u003d - 4/9 - tartozék
k \u003d - 2, x \u003d / 9 - 2/3 \u003d - 5/9 - nem tartozik
Válasz: -4 / 9; / 9; 2/9
A gyökerek kiválasztásának különböző módjai
Keresse meg az ehhez a réshez tartozó egyenletek gyökereit(az egyenlőtlenség segítségével)
TG 3x \u003d - 1, X (- / 2;)
3x \u003d - / 4 + n, n z
X \u003d - / 12 + N / 3, N Z
A gyökereket az egyenlőtlenség segítségével választjuk ki:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n \u003d - 1; 0; egy; 2; 3.
n \u003d - 1, x \u003d - / 12 - / 3 \u003d - 5/12
n \u003d 0, x \u003d / 12
n \u003d 1, x \u003d / 12 + / 3 \u003d / 4 \u003d / 4
n \u003d 2, x \u003d / / 12 + 2/3 \u003d 7/12
n \u003d 3, x \u003d / / 12 + \u003d 11/12
Válasz: - 5/12; - / 12; Négy; 7/12; 11/12
10. A gyökerek kiválasztásának különböző módjai
Keresse meg az ehhez a réshez tartozó egyenletek gyökereit(a grafikon használatával)
cos x \u003d - √2 / 2, x [-4; 5/4]
X \u003d Arccos (- √2 / 2) + 2 N, N Z
x \u003d 3/4 + 2 N, N Z
A gyökereket az ütemterv segítségével választjuk ki:
x \u003d - / 2 - / 4 \u003d - 3/4; X \u003d - - / 4 \u003d - 5/4
Válasz: 5/4; 3/4
11. 1. Megoldja a 72cosx \u003d 49sin2x egyenletet, és adja meg gyökereit a szegmensen [; 5 / 2]
1. megoldja a 72cosx \u003d 49sin2x-otés adja meg gyökereit a szegmensen [; 5/2]
Az egyenlet megoldása:
72cosx \u003d 49sin2x,
72cosx \u003d 72sin2x,
2cos x \u003d 2sin 2x,
Cos x - 2 sinx cosx \u003d 0,
Cos x (1 - 2sinx) \u003d 0,
cos x \u003d 0,
x \u003d / 2 + k, k z
vagy
1 - 2sinx \u003d 0,
sin x \u003d ½,
X \u003d (-1) N / 6 + N, N Z
Vágja le a gyökér kiválasztását
Trigonometrikus kör:
x \u003d 2 + / 6 \u003d 13/6
Válasz:
a) / 2 + k, k z, (-1) N / 6 + N, N Z
b) 3/2; 5/2; 13/6
12. 2. Megoldja a 4COS2 X + 8 COS (X - 3 / 2) +1 \u003d 0 találatát
2. Megoldja a 4COS2 X + 8 COS (X - 3/2) +1 \u003d 0 megoldástKeresse meg gyökereit egy szegmensen
4COS2 x + 8 cos (X - 3/2) +1 \u003d 0
4COS2X + 8 COS (3/2 - X) +1 \u003d 0,
4COS2X - 8 SIN X +1 \u003d 0,
4 - 4SIN2 X - 8 SIN X +1 \u003d 0,
4sin 2x + 8sin x - 5 \u003d 0,
D / 4 \u003d 16 + 20 \u003d 36,
SIN X \u003d - 2.5
vagy
SIN X \u003d ½
X \u003d (-1) K / 6 + K, K Z
13. A szegmensben lévő gyökerek kiválasztását (grafikonok segítségével)
Kiválasztjuk a szegmens gyökereit(grafikonok segítségével)
SIN X \u003d ½
Az y \u003d sin x és y \u003d ½ funkciók grafikonjait építjük
x \u003d 4 + / 6 \u003d 25/6
Válasz: a) (-1) K / 6 + K, K Z; b) 25/6
14. 3. Oldja meg az egyenletet, hogy megtalálja a gyökereit a szegmensen
4 - cos2 2x \u003d 3 sin2 2x + 2 bűn 4x4 (SIN2 2x + cos2 2x) - cos2 2x \u003d 3 Sin2 2x + 4 Sin 2x cos 2x,
Sin2 2x + 3 cos2 2x - 4 Sin 2x cos 2x \u003d 0
Ha cos2 2x \u003d 0, akkor a sin2 2x \u003d 0, ami lehetetlen, így
A COS2 2X 0 és az egyenlet mindkét részét COS2 2X-re oszthatjuk.
TG22x + 3 - 4 TG 2x \u003d 0,
TG22X - 4 TG 2x + 3 \u003d 0,
TG 2x \u003d 1,
2x \u003d / 4 + n, n z
X \u003d / 8 + N / 2, N Z
vagy
Tg 2x \u003d 3,
2x \u003d Arctg 3 + K, K Z
x \u003d ½ Arctg 3 + K / 2, K Z
15.
4 - cos2 2x \u003d 3 sin2 2x + 2 bűn 4xX \u003d / 8 + N / 2, N Z vagy X \u003d ½ Arctg 3 + K / 2, K Z
Mivel 0< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
Határozat
Mivel 0< /8 < /4 < 1,значит /8
A döntés is
Más megoldások nem esnek bele
rés, mivel ők
a ½-as és / 8 számokból származik
Számok hozzáadása, több / 2.
Válasz: a) / 8 + N / 2, N Z; ½ Arctg 3 + K / 2, K Z
b) / 8; ½ Arctg 3.
16. 4. Végezze el a log5 egyenletet (COS X - SIN 2x + 25) \u003d 2 Keresse meg gyökereit a szegmensen
4. oldja meg a log5 egyenletet (COS X - SIN 2x + 25) \u003d 2Keresse meg gyökereit egy szegmensen
Az egyenlet megoldása:
Log5 (COS X - SIN 2X + 25) \u003d 2
OTZ: COS X - SIN 2X + 25\u003e 0,
Cos x - SIN 2x + 25 \u003d 25, 25\u003e 0,
cos x - 2sin x cos x \u003d 0,
cos x (1 - 2sin x) \u003d 0,
cos x \u003d 0,
X \u003d / 2 + N, N Z
vagy
1 - 2sinx \u003d 0,
sin x \u003d 1/2
X \u003d (-1) K / 6 + K, K Z
17.
Vágja a gyökér kiválasztását a szegmensenVágja le a szegmensben lévő gyökerek kiválasztását:
1) x \u003d / 2 + n, n z
2/2 + N 7/2, N Z
2 1/2 + N 7/2, N Z
2 - ½ N 7/2 - ½, n z
1,5 n 3, n z
n \u003d 2; 3.
x \u003d / 2 + 2 \u003d 5/2
x \u003d / 2 + 3 \u003d 7/2
2) SIN X \u003d 1/2
x \u003d 2 + / 6 \u003d 13/6
x \u003d 3 - / 6 \u003d 17/6
Válasz: A) / 2 + N, N Z; (-1) K / 6 + K, K Z
b) 13/6; 5/2; 7/2; 17/6
18. 5. Az 1. egyenlet megoldása / SIN2X + 1 / SIN X \u003d 2 Keresse meg gyökereit a szegmensen [-5 / 2; -3 / 2]
5. Élelés 1 / SIN2X + 1 / SIN X \u003d 2Keresse meg gyökereit a szegmensen [-5 / 2; -3 / 2]
Az egyenlet megoldása:
1 / SIN2X + 1 / SIN X \u003d 2
X K.
Csere 1 / sin x \u003d t,
T2 + t \u003d 2,
T2 + T - 2 \u003d 0,
T1 \u003d - 2, t2 \u003d 1
1 / SIN X \u003d - 2,
SIN X \u003d - ½,
X \u003d - / 6 + 2 N, N Z
vagy
X \u003d - 5/6 + 2 N, N Z
1 / SIN X \u003d 1,
sin x \u003d 1,
X \u003d / 2 + 2 N, N Z
Ez a sorozat gyökerei kizártak, mert -150º + 360ºn túlmutat
meghatározott intervallum [-450º; -270º]
19.
Folytassa a szegmensben lévő gyökerek kiválasztásátTekintsük a többi sorozat gyökerek és töltik a kiválasztás a gyökerek.
a szegmensen [-5 / 2; -3 / 2] ([-450º, -270º]):
1) X \u003d - / 6 + 2 N, N Z
2) X \u003d / 2 + 2 N, N Z
-5 / 2 - / 6 + 2 N -3 / 2, N Z
-5 / 2/2 + 2 N -3 / 2, N Z
-5/2 -1/6 + 2N -3/2, N Z
-5/2 1/2 + 2N -3/2, N Z
-5/2 +1/6 2N -3/2 + 1/6, N Z
-5/2 - 1/2 2N -3/2 - 1/2, N Z
- 7/3 2 N -4/3, N Z
- 3 2N -2, N Z
-7/6 n -2/3, n z
-1,5 N -1, N Z
N \u003d -1.
N \u003d -1.
X \u003d - / 6 - 2 \u003d -13 / 6 (-390º)
X \u003d / 2 - 2 \u003d -3 / 2 (-270º)
Válasz: a) / 2 + 2 N, N Z; (-1) K + 1/6 + K, K Z
b) -13 / 6; -3 / 2.
20. 6. Problémák egyenletet | SIN X | / sin x + 2 \u003d 2COS X megtalálja a gyökerek a szegmens [-1; 8]
Az egyenlet megoldása| SIN X | / SIN X + 2 \u003d 2COS X
1) ha a Sin X\u003e 0, akkor | Sin X | \u003d SIN X.
Az egyenlet az űrlapot veszi:
2 cos x \u003d 3,
cos x \u003d 1.5 - nincs gyökere
2) Ha a bűn x<0, то |sin x| =-sin x
és az egyenlet lesz az űrlap
2COS x \u003d 1, cos x \u003d 1/2,
x \u003d ± π / 3 + 2πk, k z
Figyelembe véve, hogy a bűn x< 0, то
Van egy válaszsor
x \u003d - π / 3 + 2πk, k z
Gyökér kiválasztása
szegmens [-1; 8]
k \u003d 0, x \u003d - π / 3, - π< -3, - π/3 < -1,
-π / 3 nem tartozik hozzá
Vágott
k \u003d 1, x \u003d - π / 3 + 2π \u003d 5π / 3<8,
5 π / 3 [-1; 8]
k \u003d 2, x \u003d - π / 3 + 4π \u003d 11π / 3\u003e 8,
11π / 3 nem tartozik hozzá
Vágott.
Válasz: a) - π / 3 + 2πk, k z
b) 5.
π / 3.
21. 7. A 4SIN3X \u003d 3COS (X- π / 2) megoldása megtalálja az intervallumon
8. Segítsen egyenlet √1-sin2x \u003d sin xKeresse meg az intervallumot
Megoldom √1-sin2x \u003d sin x egyenletet.
Sin x ≥ 0,
1- SIN2X \u003d SIN2X;
Sin x ≥ 0,
2sin2x \u003d 1;
x≥0 bűn,
SIN X \u003d √2 / 2; SIN X \u003d - √2 / 2;
Sin x \u003d √2 / 2
X \u003d (- 1) K / 4 + K, K Z
Sin x \u003d √2 / 2
25. Változtassa meg a szegmens gyökereit
Vágja a gyökér kiválasztását a szegmensenX \u003d (- 1) K / 4 + K, K Z
Sin x \u003d √2 / 2
y \u003d sin x és y \u003d √2 / 2
5 /2 + /4 = 11 /4
Válasz: a) (-1) K / 4 + K, K Z; B) 11/4
26. 9. Megoldja az egyenletet (SIN2X + 2 SIN2X) / √-cos X \u003d 0 Keressen gyökereit az intervallumon [-5; -7 / 2]
9. Az egyenlet megoldása (SIN2X + 2 SIN2X) / √-cos x \u003d 0Keresse meg a gyökereit az intervallumban [-5; -7 / 2]
Az egyenlet megoldása
(SIN2X + 2 SIN2X) / √-cos x \u003d 0.
1) OTZ: COS X<0 ,
/ 2 +2 n
2 sinx ∙ cos x + 2 sin2x \u003d 0,
Sin x (cos x + sin x) \u003d 0,
SIN X \u003d 0, X \u003d N, N Z
vagy
Cos x + sin x \u003d 0 | : Cos x,
TG X \u003d -1, X \u003d - / 4 + N, N Z
C Figyelembe véve ...
X \u003d N, N Z, X \u003d +2 N, N Z;
X \u003d - / 4 + N, N Z,
x \u003d 3/4 + 2 N, N Z
27. Határozza meg az adott szegmens gyökereit
Válassza ki a megadott gyökereketszegmens [-5; -7 / 2]
X \u003d +2 N, N Z;
-5 ≤ +2 N ≤ -7 / 2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7 / 2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n z
n \u003d -3, x \u003d -6 \u003d -5
x \u003d 3/4 + 2 N, N Z
-5 ≤ 3/4 + 2 N ≤ -7 / 2
-23/8 ≤ N ≤ -17/8, nincs ilyen
egész n.
Válasz: a) +2 N, N Z;
3/4 + 2 N, N Z;
b) -5.
28. 10. Megoldja a 2SIN2X \u003d 4COS X -SINX + 1-et az intervallumban [ / 2; 3 / 2]
10. Megoldja az egyenletet 2sin2x \u003d 4COS X -SINX + 1Keresse meg a gyökereit az intervallumon [/ 2; 3/2]
Az egyenlet megoldása
2sin2x \u003d 4COS X - SINX + 1
2sin2x \u003d 4COS X - SINX + 1,
4 SinX ∙ COS X - 4COS X + SIN X -1 \u003d 0,
4COS X (SIN X - 1) + (SIN X - 1) \u003d 0,
(SIN X - 1) (4COS X +1) \u003d 0,
SIN X - 1 \u003d 0, SIN X \u003d 1, X \u003d / 2 + 2 N, N Z
vagy
4COS x + 1 \u003d 0, cos x \u003d -0,25
X \u003d ± (-arcos (0,25)) + 2 N, N Z
Másképp írjuk az egyenlet gyökereit
X \u003d - Arccos (0,25) + 2 N,
X \u003d - (- Arccos (0,25)) + 2 N, N Z
29. Határozza meg a gyökereket a kör segítségével
x \u003d / 2 + 2 N, N Z, X \u003d / 2;x \u003d -arccos (0,25) +2 n,
x \u003d - (- Arccos (0,25)) +2 N, N Z,
x \u003d - Arccos (0,25),
X \u003d + Arccos (0,25)
Válasz: a) / 2 + 2 n,
-Rccos (0,25) +2 n,
- (- Arccos (0,25)) +2 N, N Z;
b) / 2;
-Arccos (0,25); + Arccos (0,25)
Részletes megoldást rendelhet a feladatához !!!
Az ismeretlen trigonometrikus funkciót tartalmazó egyenlőség (`sin x, cos x, tg x` vagy` ctg x`) a trigonometriás egyenletnek nevezik, tovább fogjuk tekinteni a képletek tovább.
A legegyszerűbbet az egyenleteknek nevezik `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, ahol az" x "a találati szög," a "- bármilyen szám. Mindegyikükre írjuk a képlet gyökereit.
1. Equáció `sin x \u003d a`.
A `| a |\u003e 1` Nincs megoldása.
A `| a | Leq 1` végtelen számú megoldás.
Formula gyökerek: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ t
2. Equáció `cos x \u003d a`
A `| a |\u003e 1` - Mint a sinus esetében, nincsenek megoldások az érvényes számok között.
A `| a | Leq 1` Infinite Set megoldásokkal rendelkezik.
Formula roots: `x \u003d \\ pm Arccos A + 2 Pi N, N Z`
Privát esetek sinus és cosine a diagramokban. 
3. Equation `tg x \u003d a`
Végtelen megoldás-készlete van az "a" bármely értékéhez.
A gyökerek képlete: `x \u003d arctg a + \\ pi n, n \\ t
4. Egyenlet `ctg x \u003d a`
Végtelenített megoldásokat is tartalmaz az "a" bármely értékéhez.
Formula gyökerek: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in z
A trigonometrikus egyenletek gyökereinek képletei az asztalban
Sinus esetében: 
COSINE: 
Tangens és Kotnence esetében: 
Formulák az inverz trigonometrikus funkciókat tartalmazó egyenletek megoldására:
A trigonometrikus egyenletek megoldására szolgáló módszerek
A trigonometrikus egyenlet megoldása két szakaszból áll:
- a legegyszerűbbnek konvertálva;
- az ebből eredő legegyszerűbb egyenlet megoldása, a gyökerek és táblázatok fenti írott formuláinak segítségével.
Tekintsük a példák megoldásának alapvető módszereit.
Algebrai módszer.
Ebben a módszerben a változó cseréje és helyettesítése az egyenlőségbe.
Példa. Az egyenlet megoldása: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0```
`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3COS (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`
cseréljük: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, akkor` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,
megtaláljuk a gyökereket: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2, amelyből két eset követi:
1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.
2. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1/2`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ PM ARCCOS 1/2 + 2 \\ PI N`, `x_2 \u003d pm \\ frac 3- \\ frac \\ Pi 6 + 2 Pi N`.
Válasz: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.
Faktorizáció.
Példa. Az egyenlet megoldása: "SIN X + COS X \u003d 1".
Döntés. Mozgás elhagyta az egyenlőség valamennyi tagját: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Használata, átalakítjuk és lebomlik a bal oldali rész:
`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`
`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`
`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`
- `sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
- `cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0,` tg x / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arctg 1+ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`, `x_2 \u003d pi / 2 + 2 \\ pi n`.
Válasz: `x_1 \u003d 2 pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.
Homogén egyenlethez vezet
Kezdetben ezt a trigonometrikus egyenletet a két típus egyikéhez kell hozni:
`sin x + b cos x \u003d 0 (homogén egyenlet az első fokozat) vagy` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (a második fokozat homogén egyenlete).
Ezután osztja meg mindkét részét a `cos X neh 0-ra - az első esetben, és a" cos ^ 2 x n \u003d 0 "-on. Az egyenletet a TG X`-hez képest kapjuk meg: `A TG X + B \u003d 0 és` A TG ^ 2 x + B TG X + C \u003d 0`, amelyet jól ismert módszerek megoldásához szükséges.
Példa. Az egyenlet megoldása: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`.
Döntés. A jobb oldalt írjuk, mint `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:
`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,
`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`
`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.
Ez a második fokozat homogén trigonometrikus egyenlete, a bal és a jobb oldali részeket `cos ^ 2 x neh 0-ra osztjuk:
`\\ Frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0``````
`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Bemutatjuk a "TG X \u003d T" cserét, a "t ^ 2 + t - 2 \u003d 0" eredményeként. Az egyenlet gyökerei: `t_1 \u003d -2` és` t_2 \u003d 1`. Azután:
- `Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ in z`
- `Tg x \u003d 1`,` x \u003d arctg 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in z`.
Válasz. `x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ in z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in z '.
Áttérés egy fél sarokba
Példa. Az egyenlet megoldása: `11 SIN X - 2 COS X \u003d 10`.
Döntés. Applikáta térsarok képletek, ennek eredményeként: `22 sin (x / 2) COS (X / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`
`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 TG x / 2 + 6 \u003d 0`
A fent leírt algebrai módszer alkalmazása:
- `Tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`,
- `Tg x / 2 \u003d 3/4`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`.
Válasz. `x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n, n \\ in z`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`.
A kiegészítő sarok bevezetése
A Trigonometriai egyenletben "A SIN X + B COS X \u003d C", ahol A, B, C-koefficiensek és X egy változó, osztjuk meg mindkét részét az "sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)`:
`\\ Frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) SIN X +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d` `frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2))) ".
A bal oldalon lévő együtthatók a sinus és a koszinusz tulajdonságai vannak, nevezetesen az 1-es négyzetük összege és moduljaik összege legfeljebb 1. Az alábbiakban jelentik őket: `\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b) ^ 2)) \u003d cos \\ varhu`, `` \\ frac b (sqrt (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d SIN \\ VARPHI`, `\\ frac c (SQRT (A ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C `, akkor:
`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d c`.
Tekintsük részletesebben a következő példában:
Példa. Az egyenlet megoldása: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`.
Döntés. Az egyenlőség mindkét részét megosztjuk `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, kapunk:
`\\ Frac (3 sin x) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `\\ frac 2 (SQRT) (3 ^ 2 + 4 ^ 2))) "
`3/5 SIN X + 4/5 COS X \u003d 2/5`.
A `3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d sin \\ varphi`. `Sin \\ varphi\u003e 0,` cos \\ varphi\u003e 0, majd segédszög, hogy `\\ varphi \u003d arcsin 4 / 5`. Ezután az egyenlőségünk az űrlapon íródik:
`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5`
A Sinus sarkok összegének összegének alkalmazásával a következő formában írjuk ki az egyenlőségünket:
`sin (x + \\ varphi) \u003d 2/5`
`X + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ in z ',
`X \u003d (- 1) ^ n ARCSIN 2/5-` `Arcsin 4/5 + \\ Pi n`,` n \\ in z.
Válasz. `X \u003d (- 1) ^ n ARCSIN 2/5-` `Arcsin 4/5 + \\ Pi n`,` n \\ in z.
Frakcionális-racionális trigonometrikus egyenletek
Ezek a frakciókkal való egyenlőség, a numerátorokban és a denominátorokban, amelyekből trigonometrikus funkciók vannak.
Példa. Az egyenlet megoldása. `\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.
Döntés. Szorozzuk meg, és megosztjuk az egyenlőség jobb oldalát a `(1 + cos x)`. Ennek eredményeként:
`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`
`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`
`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`
`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) -````` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`
`\\ Frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`
Figyelembe véve, hogy a denominátor egyenlő, hogy nulla lehet, kaphatunk `1 + cos x n 0,` cos x n -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n
A nulla nullánál a numerátor frakció: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0. Majd `sin x \u003d 0` vagy` 1-sin x \u003d 0`.
- `sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ in z`
- `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in z.
Figyelembe véve, hogy a "X \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in z", az oldatok "x \u003d 2 \\ pi n, n \\ in z" és `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ in z`.
Válasz. `x \u003d 2 pi n`,` n \\ in z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in z`.
A trigonometria és a trigonometrikus egyenletek különösen a geometria, a fizika, a mérnökök szinte minden területén használják. A 10. évfolyamos tanulmányozás megkezdődik, a feladatok szükségszerűen jelen vannak a vizsgára, ezért próbáld meg emlékezni a trigonometrikus egyenletek összes formuláira - biztosan fogják használni!
Azonban nem szükséges emlékezni rájuk, a legfontosabb dolog az, hogy megértsük a lényegét, és képes legyen visszavonni. Nem nehéz, ahogy úgy tűnik. Ügyeljen arra, hogy nézze meg a videót.
