átlós négyzet. Hogyan találjuk meg a négyzet oldalát az átlója ismeretében. Definíciók és konvenciók
Ha azonos hosszúságú átlójuk, oldaluk és egyenlő szögeik vannak.
Négyzet alakú ingatlanok.
A négyzet mind a 4 oldala azonos hosszúságú, pl. a négyzet oldalai:
AB=BC=CD=AD
A négyzet szemközti oldalai párhuzamosak:
AB|| CD, időszámításunk előtt|| HIRDETÉS
Minden átló a négyzet sarkát két egyenlő részre osztja, így ezek a négyzet sarkainak felezői:
∆ABC = ∆ADC = ∆BAD = ∆BCD
∠ ACB=∠ ACD=∠ BDC=∠ BDA=∠ CAB=∠ CAD=∠ DBC=∠ DBA = 45°
Az átlók a négyzetet 4 egyforma háromszögre osztják, ráadásul az egyszerre kapott háromszögek egyenlő szárúak és téglalap alakúak is:
∆AOB = ∆BOC = ∆COD = ∆DOA
Egy négyzet átlója.
Négyzet átlója bármely szakasz, amely összeköti a négyzet szemközti sarkainak 2 csúcsát.
Bármely négyzet átlója √2-szerese ennek a négyzetnek az oldalának.
Képletek egy négyzet átlójának hosszának meghatározásához:
1. A négyzet átlójának képlete a négyzet oldala szerint:
2. A négyzet átlójának képlete a négyzet területére vonatkoztatva:
3. A négyzet átlójának képlete a négyzet kerülete szerint:
4. Egy négyzet szögeinek összege = 360°:
5. Azonos hosszúságú négyzet átlói:
6. A négyzet összes átlója a négyzetet két azonos, szimmetrikus alakra osztja:
7. A négyzet átlóinak metszésszöge 90°, egymást keresztezve az átlókat két egyenlő részre osztjuk:
8. A négyzet átlójának képlete a szakasz hosszában l:
9. A négyzet átlójának képlete a beírt kör sugara szerint:
R- a beírt kör sugara;
D- a beírt kör átmérője;
d a négyzet átlója.
10. A négyzet átlójának képlete a körülírt kör sugara alapján:
R- a körülírt kör sugara;
D- a körülírt kör átmérője;
d- átlós.
11. A négyzet átlójának képlete egy olyan egyenesen keresztül, amely a sarokból kilép a négyzet oldalának közepéig:
C- egy vonal, amely a saroktól a négyzet oldalának közepéig tart;
d- átlós.
Beírt kör egy négyzetbe- ez egy kör, amely szomszédos a négyzet oldalainak felezőpontjával, és amelynek középpontja a négyzet átlóinak metszéspontjában van.
Beírt kör sugara- a négyzet oldala (fele).
A négyzetbe írt kör területeπ/4-szer kisebb, mint egy négyzet területe.
Négyzet köré körülírt kör egy olyan kör, amely a négyzet 4 csúcsán halad át, és amelynek középpontja a négyzet átlóinak metszéspontjában van.
A körbe írt kör sugara négyzet√2-szer nagyobb, mint a beírt kör sugara.
A négyzet köré írt kör sugara egyenlő az átló 1/2-ével.
Egy négyzet körül körülírt kör területe ugyanannak a négyzetnek a nagyobb területe π/2-szer.
Négyzet egy szabályos négyszög, amelyben minden szög és oldal egyenlő egymással.
Elég gyakran ezt az ábrát speciális esetnek tekintik ill. A négyzet átlói egyenlőek egymással, és az átlón átmenő négyzet területére vonatkozó képletben használatosak.
A terület kiszámításához vegye figyelembe a négyzet területének képletét az átlókban:
Vagyis egy négyzet területe egyenlő az átló hosszának négyzetével osztva kettővel. Tekintettel arra, hogy az ábra oldalai egyenlőek, az átló hosszát kiszámíthatja egy derékszögű háromszög területképletéből vagy a Pitagorasz-tétel segítségével.
Vegyünk egy példát egy négyzet területének az átlón keresztül történő kiszámítására. Legyen adott egy d = 3 cm átlójú négyzet, melynek területét ki kell számítani: 
Ezzel a példával a négyzet területének kiszámítására az átlókon keresztül, 4,5 eredményt kaptunk 
.
Négyzet alakú terület a másik oldalon
Az oldala mellett egy szabályos négyszög területét is megtalálhatja. A négyzet területének képlete nagyon egyszerű:
Mivel a négyzet területének kiszámításának előző példájában az értéket az átmérő alapján számítottuk ki, most próbáljuk meg megtalálni az oldal hosszát:
Cserélje be az értéket a kifejezésben: 
A négyzet oldalának hossza 2,1 cm lesz.
Nagyon könnyű használni a képletet a körbe írt négyzet területére. 
A körülírt kör átmérője megegyezik a négyzet átmérőjével. Mivel a négyzet szabályos rombusznak számít, használhatja a képletet a rombusz területének kiszámításához. Ez egyenlő az átlók szorzatának felével. A négyzet átlói egyenlőek, így a képlet így fog kinézni:
Vegyünk egy példát a körbe írt négyzet területének kiszámítására.
Adott egy körbe írt négyzet. A kör átlója d = 6 cm. Határozza meg a négyzet területét.
Emlékezzünk arra, hogy a kör átlója egyenlő a négyzet átlójával. Helyettesítjük az értéket a képletben a négyzet területének kiszámításához az átlóin keresztül: 
A tér területe 18
Négyzetes terület a kerületen keresztül
Egyes feladatokban a négyzet kerületét a feltételek adják meg, és szükséges a terület kiszámítása. A kerületen átmenő négyzet területének képlete a kerület értékéből származik. Kerület az ábra minden oldalának hosszának összege. Mivel 4 egyenlő oldalú négyzetben, akkor egyenlő lesz Innen megtaláljuk az ábra oldalát. A négyzet területét a szokásos képlet szerint a következőképpen tekintjük:.
Tekintsünk egy példát egy négyzet kerületén áthaladó területének kiszámítására.
Négyzet egy négyszög egyenlő oldalakkal és szögekkel.
Négyzet átlós egy olyan szakasz, amely két ellentétes csúcsát köti össze.
A paralelogramma, a rombusz és a téglalap is négyzet, ha derékszögük, oldalhosszuk és átlójuk azonos.
Négyzet alakú ingatlanok
1. Egy négyzet oldalainak hossza egyenlő.
AB=BC=CD=DA
2. A négyzet minden sarka jobbra esik.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)
3. Egy négyzet szemközti oldalai párhuzamosak egymással.
AB\párhuzamos CD, BC\parallel AD
4. Egy négyzet összes szögének összege 360 fok.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)
5. Az átló és az oldal közötti szög 45 fok.
\angle BAC = \angle BCA = \angle CAD = \angle ACD = 45^(\circ)
Bizonyíték
A négyzet rombusz \jobbra nyíl AC az A szög felezője, és egyenlő 45^(\circ) . Ekkor az AC \angle A és \angle C szöget 2 45^(\circ) szögre osztja.
6. A négyzet átlói azonosak, merőlegesek és a metszésponttal kettéosztva.
AO=BO=CO=DO
\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^(\circ)
AC=BD
Bizonyíték
Mivel a négyzet téglalap \Jobbra, az átlók egyenlőek; mivel - rombusz \Jobbra nyíl átlói merőlegesek. És mivel ez egy paralelogramma, a \Rightarrow átlóit a metszéspont kettéosztja.
7. Mindegyik átló két egyenlő szárú derékszögű háromszögre osztja a négyzetet.
\háromszög ABD = \háromszög CBD = \háromszög ABC = \háromszög ACD
8. Mindkét átló 4 egyenlő szárú derékszögű háromszögre osztja a négyzetet.
\triangle AOB = \háromszög BOC = \háromszög COD = \háromszög AOD
9. Ha a négyzet oldala a, akkor az átló a \sqrt(2) lesz.
Az iskolai matematika feladatok megoldása során gyakran meg kell határozni, hogy mekkora egy adott négyzet átlója. Némi látszólagos bonyolultság ellenére ez a feladat nagyon egyszerű, és számos egyszerű megoldást tartalmaz. Tekintsük őket, először bemutatunk néhány fogalmat és definíciót.
Definíciók és konvenciók
- Négyzet egyenlő oldalú négyszög, amelynek minden szöge derékszögű, azaz 90 fokkal egyenlő. Ez az ábra egyben rombusz és téglalap is, ezért megőrzi minden tulajdonságát.
- Sokszög átlós egy olyan szakasz, amely két ellentétes csúcsát köti össze. A cikkben d betűvel jelöljük.
- Szemben a nem ugyanazon az oldalon fekvő csúcsokat nevezzük.
- Egy szám négyzetgyöke, egy olyan szám, amelyet önmagával megszorozva az eredetit kapjuk. Csak a geometria használható pozitív értékeket négyzetgyök. A cikkben a rad rövidítéssel fogjuk jelölni (a latin gyökből - gyökér).
- A négyzet oldalát a betű jelöli.
Amint a fentiekből kiderül, a négyzetnek csak két átlója van. Mivel a négyzet téglalap és megtartja tulajdonságait, egyenlőek egymással. Fontolja meg a különböző módszereket a hosszának meghatározására.
Négyzet átlójának kiszámítása ismert oldalról
a legtöbben egyszerű módon egy átlós számítás ha ismert a négyzet oldala. Itt érvényes a derékszögű háromszögekre jól ismert Pitagorasz-tétel. Írjuk fel ezt a képletet: c^2 = a^2+b^2.
Vegyük észre, hogy esetünkben a négyzet átlója egy egyenlő szárú háromszög befogója. Írjuk át a képletet a feltételeink alapján: d^2 = a^2+a^2. Átalakítsuk, megkapjuk: d^2 = 2*a^2. A következő lépés a négyzetgyök kinyerése, kiderül: d = rad2*a. Ez a végső képletünk.
Tekintsük a számítást egy példán keresztül. Legyen a = 64. Helyettesítsük be az értékünket a képletbe. d = 64*rad2 kapjuk. Ez a válasz.
Négyzet átlójának kiszámítása ismert területről
Adjuk meg egy négyzet területét, ezt a latin S betű jelöli, keresse meg az átlóját.
Használja a téglalap tulajdonságait, és írja le a terület képletét.
S = a*b. Írjuk át b = a-ra. A következőt kapjuk: s = a^2. Innen az oldalt találjuk: a = radS. Így sikerült kifejeznünk az oldalt a területen keresztül. Helyettesítse a kapott kifejezést az előző rész végső képletébe. A képlet így fog kinézni: d = rad2*a = rad2*radS.
Példa: tegyük fel, hogy a terület 32 négyzetméter. Cseréljük ki ezt a számot. Rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 métert kapunk.
Az átló kiszámítása ismert kerületből
Ismertesse velünk a kerületet. A jövőben latin P betűvel írjuk, megtaláljuk d. Használjuk egy téglalap tulajdonságait, és írjuk fel a kerületére vonatkozó képletet.
P = kettő*(a + b). Írjuk át b = a-ra. A következőt kapjuk: P = kettő*(a + a) = 2*2a = 4*a. Fejezzük ki az oldalt az utolsó képletből. Van: a = P/4. Használjuk azt a tényt, hogy: d = rad2*a. Fejezd ki az oldalt a kerületben. Képletünk a következő lesz: d = rad2*P/4.
Példa: Legyen a kerülete 128 méter. Végezzünk egy egyszerű számítást. Rad =d2*128/4 = 32*rad2 méterünk van.
Számítás a körülírt és beírt kör sugarával
Egy másik módja ami valójában nagyon egyszerű. A körülírt kör sugarát a latin R betűvel, a beírt kör sugarát a latin r betűvel jelöljük.
Először is foglalkozzunk a körülírt körrel. Ebben a helyzetben a sugara pontosan fele az átlónak (ez konstrukcióval könnyen ellenőrizhető), így: R = 1/2*d. innentől kapunk: d = kettő*R. Magyarázzuk meg érvelésünket ismét egy példával. Legyen R = 45 kilométer. Kapunk, d \u003d két * 45 \u003d 90 kilométer.
Végül pedig vegyük figyelembe a beírt kör sugarához kapcsolódó módszert. A konstrukcióból ismét jól látható, hogy a beírt kör átmérője megegyezik a négyzet oldalával. Így a sugara az oldal fele. Írjuk fel képletként: r = 1/2*a. Ebből következik, hogy a = 2*r. Ismét az első módszer képletét használjuk, az oldal helyett a beírt kör sugarán keresztüli kifejezését helyettesítjük. A kifejezés a következő formában lesz: d = rad2*a = rad2*2*r.
Használjuk újra a példát. Legyen r = 98 méter. Ekkor d = rad2*2*98 = 196*rad2.
Következtetés
Így a cikkben öt alapvetően eltérő módszert vettünk figyelembe egy négyzet átlójának kiszámítására. Ha első pillantásra nehéznek tűnt a feladat, akkor okoskodásunk után nyilvánvalóvá vált, hogy itt nincs különösebb probléma. Foglaljuk össze az összes kapott képletet egy táblázatban.
- d = rad2*a;
- d = rad2*radS;
- d = rad2*P/4;
- d = 2*R;
- d = rad2*2*r.
Azt is szeretném megjegyezni hogy képleteink közül az elsőt használva nagyon könnyen megszerkeszthető kettő négyzetgyökével egyenlő szegmens. Ehhez építünk egy négyzetet, amelynek oldala egy, átlója egyenlő lesz a kívánt szegmenssel.
Ha a kapott átlóra téglalapot építünk, hosszként használva, és a szélességét eggyel egyenlőnek vesszük, akkor még egy irracionális számmal egyenlő szakaszt kapunk, a három négyzetgyökével.
Videó
A videóból megtudhatja, hogyan találhatja meg egy négyzet átlóját, ha ismert a területe.
A "Get an A" videó tanfolyam minden olyan témát tartalmaz, amely a sikeres sikerhez szükséges a vizsga letétele matematikából 60-65 pontért. Teljesen minden feladat 1-13 profilvizsga matematika. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem bírja.
Minden szükséges elmélet. Gyors módok a vizsga megoldásai, csapdái és titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz vizsgafeladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referencia anyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből – a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Vizuális magyarázatösszetett fogalmak. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Alap a 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásához.
