Egyenletek, $ C $ rész

A betűvel jelölt, ismeretlen számot tartalmazó egyenlőséget egyenletnek nevezzük. Az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést az egyenlet bal oldalának, a jobb oldalon lévő kifejezést pedig az egyenlet jobb oldalának nevezzük.

Bonyolult egyenletek megoldási sémája:

1. Az egyenlet megoldása előtt fel kell írni a hozzá tartozó területet elfogadható értékek (ODZ).
2. Oldja meg az egyenletet.
3. Válassza ki az egyenlet kapott gyökei közül azt, amelyik kielégíti az ODZ-t.

Különböző kifejezések ODZ (kifejezés alatt alfanumerikus jelölést értünk):

1. A nevezőben szereplő kifejezés nem lehet nulla.

$ (f (x)) / (g (x)); g (x) ≠ 0 $

2. A radikális kifejezés nem lehet negatív.

$ √ (g (x)); g (x) ≥ 0 $.

3. A nevező radikális kifejezésének pozitívnak kell lennie.

$ (f (x)) / (√ (g (x))); g (x)\u003e 0 $

4. Logaritmus esetén: a részlogaritmikus kifejezésnek pozitívnak kell lennie; az alapnak pozitívnak kell lennie; az alap nem lehet egyenlő eggyel.

$ log_ (f (x)) g (x) \\ table \\ (\\ g (x)\u003e 0; \\ f (x)\u003e 0; \\ f (x) ≠ 1; $

Logaritmikus egyenletek

A logaritmikus egyenletek a $ log_ (a) f (x) \u003d log_ (a) g (x) $ alakú egyenletek, ahol $ a $ a $ 1 $ -tól eltérő pozitív szám, és egyenletek, amelyek erre az alakra redukálódnak.

A logaritmikus egyenletek megoldásához ismerni kell a logaritmusok tulajdonságait: figyelembe vesszük a logaritmusok összes tulajdonságát $ a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, m $ - bármilyen valós szám esetén.

1. Bármely valós szám esetén $ m $ és $ n $ az egyenlőség igaz:

$ log_ (a) b ^ m \u003d mlog_ (a) b; $

$ log_ (a ^ m) b \u003d (1) / (m) log_ (a) b. $

$ log_ (a ^ n) b ^ m \u003d (m) / (n) log_ (a) b $

$ log_ (3) 3 ^ (10) \u003d 10log_ (3) 3 \u003d 10; $

$ log_ (5 ^ 3) 7 \u003d (1) / (3) log_ (5) 7; $

$ log_ (3 ^ 7) 4 ^ 5 \u003d (5) / (7) log_ (3) 4; $

2. A szorzat logaritmusa megegyezik az egyes tényezők azonos bázisában lévő logaritmusok összegével.

$ log_a (bc) \u003d log_ (a) b + log_ (a) c $

3. A hányados logaritmusa megegyezik a számláló és a nevező logaritmusának különbségével ugyanazon alap esetében

$ log_ (a) (b) / (c) \u003d log_ (a) b-log_ (a) c $

4. Két logaritmus szorzásakor felcserélheti az alapjaikat

$ log_ (a) b ∙ log_ (c) d \u003d log_ (c) b ∙ log_ (a) d $, ha $ a, b, c $ és $ d\u003e 0, a ≠ 1, b ≠ 1. $

5. $ c ^ (log_ (a) b) \u003d b ^ (log_ (a) b) $, ahol $ a, b, c\u003e 0, a ≠ 1 $

6. Az új bázisra való áttérés képlete

$ log_ (a) b \u003d (log_ (c) b) / (log_ (c) a) $

7. Különösen, ha szükség van az alap és a részlogaritmikus kifejezés cseréjére

$ log_ (a) b \u003d (1) / (log_ (b) a) $

A logaritmikus egyenleteknek több fő típusa létezik:

A legegyszerűbb logaritmikus egyenletek: $ log_ (a) x \u003d b $. Az ilyen típusú egyenletek megoldása a logaritmus meghatározásából következik, azaz $ x \u003d a ^ b $ és $ x\u003e 0 $

Az egyenlet mindkét oldalát logaritmusként képviseljük a $ 2 $ alapra

$ log_ (2) x \u003d log_ (2) 2 ^ 3 $

Ha az azonos bázisú logaritmusok egyenlőek, akkor a részlogaritmikus kifejezések is egyenlőek.

Válasz: $ x \u003d 8 $

Az űrlap egyenletei: $ log_ (a) f (x) \u003d log_ (a) g (x) $. Mivel az alapok megegyeznek, akkor egyenlővé tesszük a részlogaritmikus kifejezéseket, és figyelembe vesszük az ODZ-t:

$ \\ table \\ (\\ f (x) \u003d g (x); \\ f (x)\u003e 0; \\ g (x)\u003e 0, а\u003e 0, а ≠ 1; $

$ log_ (3) (x ^ 2-3x-5) \u003d log_ (3) (7-2x) $

Mivel az alapok megegyeznek, akkor a szublogaritmikus kifejezéseket egyenlővé tesszük

Az összes kifejezést az egyenlet bal oldalára helyezzük át, és hasonló kifejezéseket mutatunk be

Ellenőrizzük a megtalált gyökereket a $ \\ table \\ (\\ x ^ 2-3x-5\u003e 0; \\ 7-2x\u003e 0; $ feltételekkel

Ha a második egyenlőtlenségbe helyettesítjük, a $ x \u003d 4 $ gyök nem felel meg a feltételnek, ezért idegen gyök

Válasz: $ x \u003d -3 $

• Változtatható helyettesítési módszer.

Ebben a módszerben a következőkre van szükség:

1. Írja le az ODZ egyenletet.
2. A logaritmusok tulajdonságai szerint érje el ugyanazokat a logaritmusokat az egyenletben.
3. Cserélje ki a $ log_ (a) f (x) $ értéket bármely változóra.
4. Oldja meg az új változó egyenletét.
5. Térjen vissza a 3. lépésre, cserélje ki az értéket a változó helyett, és kapja meg az űrlap legegyszerűbb egyenletét: $ log_ (a) x \u003d b $
6. Oldja meg a legegyszerűbb egyenletet.
7. A logaritmikus egyenlet gyökereinek megtalálása után szükséges az 1. tételbe helyezni és ellenőrizni az ODZ állapotát.

Oldja meg a $ log_ (2) √x + 2log_ (√x) 2-3 \u003d 0 $ egyenletet

1. Írjuk fel az ODZ egyenletet:

$ \\ table \\ (\\ x\u003e 0, \\ text "mivel a gyökér és a logaritmus jele alatt áll"; \\ √x ≠ 1 → x ≠ 1; $

2. Tegyük a logaritmusokat a $ 2 $ alapra, ehhez használjuk az új bázisra való áttérés szabályát a második kifejezésben:

$ log_ (2) √x + (2) / (log_ (2) √x) -3 \u003d 0 $

4. T-változóra vonatkoztatva kapunk egy tört - racionális egyenletet

Csökkentsük az összes kifejezést $ t $ közös nevezőre.

$ (t ^ 2 + 2-3t) / (t) \u003d 0 $

A tört nulla, ha a számláló nulla, és a nevező nem nulla.

$ t ^ 2 + 2-3t \u003d 0 $, $ t ≠ 0 $

5. Oldja meg a kapott másodfokú egyenletet Vieta tételével:

6. Térjünk vissza a 3. tételhez, végezzük el a fordított változást és kapjunk két egyszerű logaritmikus egyenletet:

$ log_ (2) √x \u003d 1 $, $ log_ (2) √x \u003d 2 $

Logaritmizáljuk az egyenletek jobb oldalait

$ log_ (2) √x \u003d log_ (2) 2 $, $ log_ (2) √x \u003d log_ (2) 4 $

Allogaritmikus kifejezések egyenlítése

$ √x \u003d 2 $, $ √x \u003d 4 $

A gyökértől való megszabaduláshoz jelölje be az egyenlet mindkét oldalát

$ x_1 \u003d 4 $, $ x_2 \u003d 16 $

7. Helyettesítse a logaritmikus egyenlet gyökereit az 1. tételben, és ellenőrizze az AED állapotát.

$ \\ (\\ table \\ 4\u003e 0; \\ 4 ≠ 1; $

Az első gyök kielégíti az ODV-t.

$ \\ (\\ table \\ 16\u003e 0; \\ 16 ≠ 1; $ A második gyök is kielégíti az ODV-t.

Válasz: 4 dollár; 16 $

• $ Log_ (a ^ 2) x + log_ (a) x + c \u003d 0 $ alakú egyenletek. Az ilyen egyenleteket egy új változó bevezetésével és a szokásos másodfokú egyenletre való áttéréssel oldjuk meg. Miután megtaláltuk az egyenlet gyökereit, ezeket ki kell választani, figyelembe véve az ODV-t.

Törtrészes racionális egyenletek

• Ha a tört nulla, akkor a számláló nulla, és a nevező nem nulla.
• Ha a racionális egyenlet legalább egy része tartalmaz egy törtet, akkor az egyenletet frakcionális racionálisnak nevezzük.

A tört racionális egyenlet megoldásához a következőkre van szükség:

1. Keresse meg a változó azon értékeit, amelyeknél az egyenletnek nincs értelme (ODV)
2. Keresse meg a törtek közös nevezőjét az egyenletben;
3. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy közös nevezővel;
4. Oldja meg a kapott egész egyenletet;
5. Törölje gyökereiből azokat, amelyek nem felelnek meg a DHS feltételének.

• Ha az egyenlet két törtet foglal magában, és számlálóik egyenlő kifejezések, akkor a nevezők egymással egyenértékűek, és a kapott egyenlet megoldható anélkül, hogy odafigyelnénk a számlálókra. DE megadva a teljes eredeti egyenlet ODV-jét.

Exponenciális egyenletek

Azokat az egyenleteket, amelyekben az ismeretlen az exponensben található, exponenciálisnak nevezzük.

Az exponenciális egyenletek megoldása során a fokok tulajdonságait alkalmazzuk, idézzünk fel néhányat:

1. Ha a fokokat ugyanazokkal az alapokkal szorozzuk, az alap ugyanaz marad, és a mutatókat hozzáadjuk.

$ a ^ n a ^ m \u003d a ^ (n + m) $

2. Ha fokokat osztunk ugyanazokkal az alapokkal, akkor az alap ugyanaz marad, és a mutatókat kivonjuk

$ a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) $

3. Ha egy hatalmat hatványra emelünk, az alap ugyanaz marad, és a mutatók megsokszorozódnak

$ (a ^ n) ^ m \u003d a ^ (n ∙ m) $

4. Amikor egy termék erejére emeljük, minden tényezőt erre a teljesítményre emelünk

$ (a b) ^ n \u003d a ^ n b ^ n $

5. Ha törésértékre emeljük, a számláló és a nevező erre a hatványra emelkedik

$ ((a) / (b)) ^ n \u003d (a ^ n) / (b ^ n) $

6. Ha bármely bázist nulla exponensre emelünk, az eredmény egyenlő

7. Bármely negatív exponens bázisa ugyanabban a pozitív exponensben ábrázolható bázisként, ha megváltoztatjuk a bázis helyzetét a törtrészhez képest

$ a ^ (- n) \u003d (1) / (a \u200b\u200b^ n) $

$ (a ^ (- n)) / (b ^ (- k)) \u003d (b ^ k) / (a \u200b\u200b^ n) $

8. A gyököt (gyököt) egy tört kitevővel rendelkező hatalomként lehet ábrázolni

$ √ ^ n (a ^ k) \u003d a ^ ((k) / (n)) $

Az exponenciális egyenletek típusai:

1. Egyszerű exponenciális egyenletek:

a) $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $ alak, ahol $ a\u003e 0, a ≠ 1, x $ nem ismert. Az ilyen egyenletek megoldásához a fokok tulajdonságát fogjuk használni: az azonos bázisú fokok ($ a\u003e 0, a ≠ 1 $) csak akkor egyenlőek, ha kitevőik egyenlőek.

b) $ a ^ (f (x)) \u003d b, b\u003e 0 $ alak egyenlete

Az ilyen egyenletek megoldásához mindkét félnek logaritmusnak kell lennie a $ a $ bázishoz

$ log_ (a) a ^ (f (x)) \u003d log_ (a) b $

2. A bázisok kiegyenlítésének módszere.

3. A faktorizálás és a változó megváltoztatásának módszere.

• Mert ez a módszer az egész egyenletben a fokok tulajdonságával a fokokat egy alakúra kell átalakítani $ a ^ (f (x)) $ formára.
• Módosítsa a $ a ^ (f (x)) \u003d t, t\u003e 0 $ változót.
• Racionális egyenletet kapunk, amelyet a kifejezés faktorálásával kell megoldani.
• Fordított helyettesítést hajtunk végre, figyelembe véve, hogy $ t\u003e

Oldja meg a $ 2 ^ (3x) -7 2 \u200b\u200b^ (2x-1) + 7 2 ^ (x-1) -1 \u003d 0 $ egyenletet

A fokok tulajdonságával úgy alakítjuk át a kifejezést, hogy a 2 ^ x fokot kapjuk.

$ (2 ^ x) ^ 3- (7 (2 ^ x) ^ 2) / (2) + (7 2 ^ x) / (2-1) \u003d 0 $

Változtassuk meg a $ 2 ^ x \u003d t változót; t\u003e 0 $

Megkapjuk a forma köbös egyenletét

$ t ^ 3- (7 t ^ 2) / (2) + (7 t) / (2) -1 \u003d 0 $

Szorozza meg az egész egyenletet $ 2 $ -val, hogy megszabaduljon a nevezőktől

$ 2t ^ 3-7 t ^ 2 + 7 t-2 \u003d 0 $

Bontsa ki az egyenlet bal oldalát a csoportosítási módszerrel

$ (2t ^ 3-2) - (7 t ^ 2-7 t) \u003d 0 $

Az első zárójelből vegye ki a $ 2 $ közös tényezőt, a második $ 7t $ -ból

$ 2 (t ^ 3-1) -7t (t-1) \u003d 0 $

Ezenkívül az első zárójelben láthatjuk a kockák képletbeli különbségét

$ (t-1) (2t ^ 2 + 2t + 2-7t) \u003d 0 $

A szorzat nulla, ha a tényezők közül legalább az egyik nulla

1) $ (t-1) \u003d 0; $ 2) $ 2t ^ 2 + 2t + 2-7t \u003d 0 $

Oldjuk meg az első egyenletet

Oldjuk meg a második egyenletet a diszkrimináns segítségével

$ D \u003d 25-4 2 2 \u003d 9 \u003d 3 ^ 2 $

$ t_2 \u003d (5-3) / (4) \u003d (1) / (2) $

$ t_3 \u003d (5 + 3) / (4) \u003d 2 $

$ 2 ^ x \u003d 1; 2 ^ x \u003d (1) / (2); 2 ^ x \u003d 2 $

$ 2 ^ x \u003d 2 ^ 0; 2 ^ x \u003d 2 ^ (- 1); 2 ^ x \u003d 2 ^ 1 $

$ x_1 \u003d 0; x_2 \u003d -1; x_3 \u003d 1 $

Válasz: $ -1; 0; 1 $

4. Másodfokú konverziós módszer

• Van egy egyenletünk, amelynek alakja $ A · a ^ (2f (x)) + B · a ^ (f (x)) + C \u003d 0 $, ahol $ A, B $ és $ C $ együtthatók.
• Helyettesítjük a $ a ^ (f (x)) \u003d t, t\u003e 0 $ értéket.
• A $ A t ^ 2 + B t + C \u003d 0 $ alakú másodfokú egyenletet kapjuk. Megoldjuk a kapott egyenletet.
• Fordított cserét hajtunk végre, figyelembe véve azt a tényt, hogy $ t\u003e 0 $. Megkapjuk a legegyszerűbb $ a ^ (f (x)) \u003d t $ exponenciális egyenletet, megoldjuk és beírjuk az eredményt a válaszba.

Faktoring módszerek:

• Kihúzza a közös tényezőt.

A polinom faktorizálásához a zárójelen kívüli közös tényező kiszámításával a következőkre van szükség:

1. Határozza meg a közös tényezőt.
2. Osszuk el vele az adott polinomot.
3. Írja le a közös tényező szorzatát és a kapott hányadost (zárójelbe zárva ezt a hányadost)

A polinom tényezője: $ 10a ^ (3) b-8a ^ (2) b ^ 2 + 2a $.

Ennek a polinomnak a közös tényezője $ 2a $, mivel az összes tagot elosztjuk $ 2 $ -val és "a" -val. Ezután megkapjuk az eredeti polinom "2a" -val való osztásának hányadát, és így kapjuk:

$ 10a ^ (3) b-8a ^ (2) b ^ 2 + 2a \u003d 2a ((10a ^ (3) b) / (2a) - (8a ^ (2) b ^ 2) / (2a) + ( 2a) / (2a)) \u003d 2a (5a ^ (2) b-4ab ^ 2 + 1) $

Ez a faktorizálás végeredménye.

Rövidített szorzóképletek alkalmazása

1. Az összeg négyzetét az első szám négyzetére bontjuk, plusz az első szám szorzatának kétszerese a második számmal, és plusz a második szám négyzete.

$ (a + b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 $

2. A különbség négyzetét az első szám négyzetére bontjuk, mínusz az első szám szorzatának kétszerese a másodikval, és plusz a második szám négyzetét.

$ (a-b) ^ 2 \u003d a ^ 2-2ab + b ^ 2 $

3. A négyzetek különbségét a számok és azok összegének szorzatára bontjuk.

$ a ^ 2-b ^ 2 \u003d (a + b) (a-b) $

4. Az összeg kocka megegyezik az első szám kockájával, plusz az első szám négyzetének háromszorosával a másodikkal plusz az első szorzatának háromszorosával, a második szám négyzetének plusz a második szám kockájával .

$ (a + b) ^ 3 \u003d a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 $

5. A különbség kockája megegyezik az első szám kockájával, mínusz az első szám négyzetének hármas szorzata a második számmal, plusz az első szám hármas szorzata és a második szám négyzete, valamint a mínusz a második szám kocka.

$ (a-b) ^ 3 \u003d a ^ 3-3a ^ 2b + 3ab ^ 2-b ^ 3 $

6. A kockák összege megegyezik a számok összegének a különbség hiányos négyzetének szorzatával.

$ a ^ 3 + b ^ 3 \u003d (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) $

7. A kockák különbsége megegyezik a számok különbségének és az összeg hiányos négyzetének szorzatával.

$ a ^ 3-b ^ 3 \u003d (a-b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) $

Csoportosítási módszer

A csoportosítási módszer akkor kényelmes, ha páros tagszámú polinomot kell faktorizálni. Ebben a módszerben szükséges a kifejezéseket csoportokba gyűjteni, és a zárójelen kívüli csoportokból ki kell venni a közös tényezőt. Több csoportnak, zárójelbe helyezés után, ugyanazokkal a kifejezésekkel kell rendelkeznie, majd ezt a zárójelet mint közös tényezőt előre kell vinni, és szorozni kell a kapott hányados zárójelével.

Faktor polinom $ 2a ^ 3-a ^ 2 + 4a-2 $

Ennek a polinomnak a lebontásához a kifejezések csoportosításának módszerét alkalmazzuk, ehhez az első kettőt és az utolsó két tagot csoportosítjuk, miközben fontos, hogy a második csoportosítás elé a megfelelő jelet tegyük, a + jelet tesszük, és ezért zárójelbe írják a kifejezéseket a saját jelükkel.

$ (2a ^ 3-a ^ 2) + (4a-2) \u003d a ^ 2 (2a-1) +2 (2a-1) $

A közös tényezők kivétele után kaptunk egy pár azonos zárójelet. Most vegyük ki ezt a zárójelet, mint közös tényezőt.

$ a ^ 2 (2a-1) +2 (2a-1) \u003d (2a-1) (a ^ 2 + 2) $

Ezen zárójelek szorzata a faktorizálás végeredménye.

A négyzet alakú trinomiális képletet használva.

Ha van egy $ ax ^ 2 + bx + c $ alakú négyzet alakú háromszög, akkor az a következő képlettel bővíthető

$ ax ^ 2 + bx + c \u003d a (x-x_1) (x-x_2) $, ahol $ x_1 $ és $ x_2 $ a négyzet alakú hárommagú gyökerei

Ma betanítjuk az 5. vizsgafeladat megoldásának képességét - megtaláljuk az egyenlet gyökerét. Meg fogjuk keresni az egyenlet gyökerét. Vizsgáljuk meg az ilyen feladatok megoldásának példáit. De először emlékezzünk - mit jelent megtalálni az egyenlet gyökerét?

Ez azt jelenti, hogy egy ilyen számot találunk titkosítva x alatt, amelyet x helyettesítünk, és egyenletünk a helyes egyenlőség lesz.

Például 3x \u003d 9 egyenlet, és 3. 3 \u003d 9 már valódi egyenlőség. Vagyis a ebben az esetben, az x helyett a 3-as számot helyettesítettük - a helyes kifejezést vagy egyenlőséget kaptuk, ez azt jelenti, hogy megoldottuk az egyenletet, vagyis megtaláltuk a megadott x \u003d 3 számot, amely az egyenletet a helyes egyenlőséggé változtatja.

Ezt fogjuk tenni - meg fogjuk találni az egyenlet gyökerét.

1. feladat - Keresse meg a 2. egyenlet gyökerét 1-4x \u003d 32

Ez egy leleplező egyenlet. Ezt a következőképpen oldják meg - szükséges, hogy az "egyenlőség" jel bal és jobb oldala is azonos bázissal rendelkezzen.

A bal oldalon van egy 2-es fokú bázisunk, a jobb oldalon pedig egyáltalán nincs fokozat. De tudjuk, hogy a 32 az ötödik hatvány. Vagyis 32 \u003d 2 5

Tehát az egyenletünk így fog kinézni: 2 1-4x \u003d 2 5

Balra és jobbra a fokozatunk megegyezik, ami azt jelenti, hogy ahhoz, hogy egyenlőek legyünk, a kitevőnek is egyenlőnek kell lennie:

Rendes egyenletet kapunk. Megoldjuk a szokásos módon - balra hagyunk minden ismeretlent, és jobbra helyezzük az ismertet:

Ellenőrzés: 2 1-4 (-1) \u003d 32

Megtaláltuk az egyenlet gyökerét. Válasz: x \u003d -1.

Keresse meg maga az egyenlet gyökerét a következő feladatokban:

b) 2 1-3x \u003d 128

2. feladat - keresse meg az egyenlet gyökerét

Az egyenletet ugyanúgy oldjuk meg - úgy, hogy az egyenlet bal és jobb oldalát ugyanarra a fokalapra redukáljuk. Esetünkben a 2. fok bázisáig.

A fokozat következő tulajdonságát használjuk:

Ezzel a tulajdonsággal megkapjuk az egyenletünk jobb oldalát:

Ha a fok alapjai megegyeznek, akkor a kitevõk is egyenlõek:

Válasz: x \u003d 9.

Ellenőrizzük - helyettesítjük az x megtalált értékét az eredeti egyenlettel - ha megfelelő egyenlőséget kapunk, akkor helyesen oldottuk meg az egyenletet.

Helyesen találtuk meg az egyenlet gyökerét.

3. feladat - keresse meg az egyenlet gyökerét

Vegye figyelembe, hogy a jobb oldalon van 1/8, és 1/8 van

Ekkor az egyenletünket a következőképpen írjuk fel:

Ha a fok alapjai megegyeznek, akkor a kitevõk is egyenlõek, egyszerû egyenletet kapunk:

Válasz: x \u003d 5. Ellenőrizze maga.

4. feladat - keresse meg a log 3 (15-x) \u003d log 3 2 egyenlet gyökerét

Ez az egyenlet ugyanúgy megoldódik, mint az exponenciális. Azt akarjuk, hogy az egyenlőségjel bal és jobb oldalán lévő logaritmusok alapjai megegyezzenek. Most megegyeznek, ami azt jelenti, hogy a logaritmus jele alatt álló kifejezéseket egyenlővé tesszük:

Válasz: x \u003d 13

5. feladat - Keresse meg a log 3 (3-x) \u003d 3 egyenlet gyökerét

A 3. szám log 3 27. Hogy alulról világossá váljon, a logaritmus előjele alatti index a hatványra emelt szám, esetünkben 3 a logaritmus előjele alatt az a szám, amely akkor kapjuk meg, amikor a hatalomra emeljük - ez 27, és maga a logaritmus az a kitevő, amelyre fel kell emelni 3-at, hogy 27-et kapjon.

Lásd a képet:

Így bármely szám felírható logaritmusként. Ebben az esetben nagyon kényelmes a 3-as számot logaritmusként írni a 3-as bázissal.

log 3 (3-x) \u003d log 3 27

A logaritmusok alapjai megegyeznek, ami azt jelenti, hogy a logaritmus jele alatt lévő számok is megegyeznek:

Nézzük meg:

log 3 (3 - (- 24)) \u003d log 3 27

log 3 (3 + 24) \u003d log 3 27

log 3 27 \u003d log 3 27

Válasz: x \u003d -24.

Keresse meg az egyenlet gyökerét. 6. feladat

log 2 (x + 3) \u003d log 2 (3x-15)

Ellenőrizze: log 2 (9 + 3) \u003d log 2 (27-15)

log 2 12 \u003d log 2 12

Válasz: x \u003d 9.

Keresse meg az egyenlet gyökerét. 7. feladat

log 2 (14-2x) \u003d 2log 2 3

log 2 (14-2x) \u003d log 2 3 2

Ellenőrizze: log 2 (14-5) \u003d 2log 2 3

log 2 9 \u003d 2 log 2 3

log 2 3 2 \u003d 2 log 2 3

2log 2 3 \u003d 2log 2 3

Válasz: x \u003d 2,5

Készüljön fel az Egységes Államvizsgára és az OGE-re - Lásd az előző témákat és.

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre magának egy Google-fiókot (fiókot), és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Dia feliratok:

A MATA-PÉLDÁK ÉS MEGOLDÁSOK HASZNÁLATÁNAK EGYENLŐSÉGEI Kravchenko N.А. Matematikatanár, GBOU 891. számú középiskola, Moszkva Oktatási előadás az egységes államvizsga előkészítéséhez

TARTALOM Feladat jegyzet 1. példa (irracionális egyenlet) 2. példa (exponenciális egyenlet) 3. példa (irracionális egyenlet) 4. példa (tört racionális egyenlet) 5. példa (logaritmikus egyenlet) 6. példa (logaritmikus egyenlet) 7. példa (trigonometrikus egyenlet) 8. példa (exponenciális) egyenlet) 9. példa (irracionális egyenlet) 10. példa (logaritmikus egyenlet)

HIVATKOZÁS TÍPUSA: Egyenlet. A PROBLÉMA JELLEMZŐI: Egyszerű exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus vagy irracionális egyenlet. MEGJEGYZÉS: Az egyenlet egy műveletben lineárisra vagy négyzetre redukálódik (ebben az esetben a válaszban csak az egyik gyököt kell megadnia - nagyobbat vagy kevesebbet). A helytelen válaszok elsősorban a számtani hibáknak köszönhetők.

Oldja meg az egyenletet. 1. példa Megoldás. Szögletezzük: Akkor odaérünk, ahol a Válasz: -2

2. példa Oldja meg az egyenletet. Döntés. Térjünk át a fok egyik alapjára: A bázisok egyenlőségétől a fokozatok egyenlőségéig: Honnan a válasz: 3

3. példa Oldja meg az egyenletet. Döntés. Emeljük az egyenlet mindkét oldalát a harmadik hatványra: Elemi transzformációk után megkapjuk: Válasz: 23

4. példa Oldja meg az egyenletet. Ha az egyenletnek több gyöke van, akkor válaszában jelölje meg a kisebbiket. Döntés. Érvényes értékek tartománya: x ≠ 10. Ezen a területen szorozzuk a nevezővel: Mindkét gyökér az ODZ-ben rejlik. Ezek közül a kisebb −3. Válasz: -3

5. példa Oldja meg az egyenletet. Döntés. A kapott képlet segítségével: Válasz: 6

6. példa Oldja meg az egyenletet. Döntés. Két kifejezés logaritmusa egyenlő, ha maguk a kifejezések egyenlőek és ugyanakkor pozitívak: Honnan kapjuk a választ: 6

7. példa Oldja meg az egyenletet. Válaszában jelölje meg a legkisebb pozitív gyököt. Döntés. Oldjuk meg az egyenletet:

Az értékek nagy pozitív gyökereknek felelnek meg. Ha k \u003d 1, akkor x 1 \u003d 6,5 és x 2 \u003d 8,5. Ha k \u003d 0, akkor x 3 \u003d 0,5 és x 4 \u003d 2,5. Az értékek megegyeznek a gyökerek kisebb értékeivel. A legkisebb pozitív döntés 0,5. Válasz: 0, 5

8. példa Oldja meg az egyenletet. Döntés. Az egyenlet bal és jobb oldalát 6-os hatványokká redukálva kapjuk: Ahol ez azt jelenti, Válasz: 2

9. példa Oldja meg az egyenletet. Döntés. Az egyenlet mindkét oldalát felrajzolva kapjuk: Nyilvánvalóan onnan, hogy Válasz: 5

10. példa Oldja meg az egyenletet. Döntés. Írjuk át az egyenletet úgy, hogy mindkét oldalon logaritmus álljon a 4 alapra: Továbbá nyilvánvaló, hogy hol található a válasz: -11

A felhasznált anyag a következő webhelyről származik: http://reshuege.ru. A kép a következő címen készült: 1038-fh-471- pd-1 & p \u003d 3 & text \u003d egyenletek% 20képek & noreask \u003d 1 & pos \u003d 100 & rpt \u003d simage & lr \u003d 213 & img_url \u003d http% 3A% 2F% 2Fwww.presentermedia.com% 2Ffiles% 2Fclipart% 2F00003000% 2F3804% 2Fquing_path_math_epg

A témában: módszertani fejlesztések, előadások és jegyzetek

Projektmunka Módszertan a hallgatók felkészítésére a matematika vizsgán szereplő "Problémák a mozgáshoz" és "Problémák keverékekhez és ötvözetekhez" témákban.

A matematika állami oktatási szabvány szövetségi összetevőjének domináns gondolata a logikai gondolkodás, a térbeli képzelet, az intenzív fejlesztés, ...

TÁRGYI orientált problémák a matematikában.

Az ismeretek, készségek és képességek kialakításához szükséges feladatok kidolgozása és kiválasztása nagyon fontos feladat. E cél elérése érdekében kétféle problémát alkalmaznak - tisztán matematikai és gyakorlatorientált. Nap ...